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OF THE 

UNIVERSITY 

OF 


MATH.ST*; 


GESCHICHTE DER MATHEMATIK 


ALTERTUM UNO MITTELALTER 


VERLAG VON ANDR. FRED. HOST & SON IN KOPENHAGEN 

DIE LEHRE 

VON DEN 

KEGELSCHNITTEN IM ALTERTUM 

VON 

PROF. DR. H. G. ZEUTHEN 

PREIS 15 MARK 


iM 


ALTERTUM UND MITTELALTER 


VORLESUNGEN 


H. G.iZEUTHEN 

PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT KOPENHAGEN 


KOPENHAGEN 
VERLAG VON ANDR. FRED. HOST & SON 

1896 


M*XJi - 

4 s 


ALLE RECHTE VORBEHALTEN 


Kopenhagen. Granbes Buchdruckerei 


STAT* 
LIBRARY 


Vorrede zur danischen Ausgabe, 


In der hier vorliegenden Geschichte der Mathematik 
habe ich versucht namentlich dasjenige hervorzuheben, 
was fiir Studenten mid Lehrer der Mathematik zu wissen 
wichtig 1st. Fiir diese kommt es nicht so sehr darauf 
an viele historische Einzelheiten zu kennen, zu wissen, 
wer zuerst diese oder jene Wahrheit entdeckt oder dieses 
oder jenes Verfahren erfunden hat, sondern vielmehr 
darauf die Formen zu kennen, unter denen die verschie- 
denen Wahrheiten und Verfahrungsarten entstanden sind, 
sowie die Anwendungen, die man von ihnen gemacht hat. 
Die richtige Erkenntnis ihres Ursprunges wird zugleich 
die Bedingung sein fiir das Verstandnis der Entwickelung, 
die sie fernerhin durchgemacht haben, bis sie nach und 
nach der Mathematik ihre jetzige Gestalt gegeben haben. 

Indem ich namentlich hierauf Gewicht lege, befinde 
ich mich in guter Ubereinstimmung mit dem Programm 
fiir das Schulamtsexamen in Mathematik. Wenn darin 
namlich verlangt wird ein kurzer Abriss der Geschichte 
der Mathematik, im Anschluss an den der Kandidat sich 
direkt mit Euklids Elementen und Descartes Geometrie 
bekannt gemacht haben muss, so weist diese Forderung 


II 

darauf bin, dass ein solches Verstandnis der Geschichte 
der Mathematik verlangt wircl, wie es nur durch einige 
Bekanntschaft mit der Mathematik der entschwundenen 
Zeiten erreicht werden kann. In deui voiiiegenden Bande, 
der nur Alterturn und Mittelalter behandelt, habe ich es 
von den beiden genannten Scbriftstellern nur mit Euklid 
zu tbun. Indem ich unter ausdriicklichem Hinweise auf 
die einzelnen Siitze die Stellen anfiihre und erklare, aus 
denen namentlich etwas zu lernen ist, suche ich eine 
fruchtbare Bekanntschaft mit ihm zu vermitteln. Ferner 
suche ich im Anschluss hieran verstandlich zu machen, 
was ich von den iibrigen Schriftstellern mitzuteilen habe, 
von denen ich nicht erwarten kann, dass die Leser sie 
in die Hande bekommen. Unter anderem habe ich Eu- 
klids Elemente benutzt zur Erklarung der logischen For- 
men, die von den griechischen Mathematikern so strenge 
beobachtet werden. Ich habe mich dabei nicht nur an 
die Bedeutung gehalten, die diese Formen fiir die Griechen 
batten, sondern zugleich - - in Zusatzen mit kleinerem 
Druck - gepriift, welche Bedeutung ihnen an und fiir 
sich zukommt. Ich hoffe dadurch namentlich den Leh- 
rern Veranlassung gegeben zu haben unter ihnen zu wahlen 
und auszuscheiden, denn zu beiden Dingen ist Veranlas 
sung vorhanden. 

Wenn ich nun auch mit dem hier ausgesprochenen 
Zweck vor Augen keineswegs beabsichtige dem historischen 
Rahmen eine sehr grosse Ausdehnung zu geben, so muss 
dieser doch so gut und zuverlassig sein wie moglich. Das 
wird leicht erreicht durch Benutzung von Cantors Vor- 
lesungen uber die Geschichte der Mathematik , eines Wer 
kes, das alle faktischen Aufklarungen, die sich herbei- 
schaffen lassen, mit ungewohnlicher Vollstandigkeit und 
Zuverlassigkeit giebt. Von diesen Eigenschaften habe ich 
auch wahrend der Untersuchungen Nutzen ziehen konnen, 


Ill 


die nach dem Plane meines Buches zunachst meine eigene 
Arbeit ausmachen mussten. Allerdings musste das Material 
fur diese vorzugsweise dem Studium der bedeutendsten 
mathematischen. Schriftsteller aus den Zeiten, die ich be- 
handle, entnommen werden ; aber wahrend dieses Studiums 
gewahrten mir Cantors Ausziige gute Anleitung um das 
zu finden, was ich brauchte, selbst dann, wenn ich es 
nachher anders aufgefasst und benutzt habe als er. Zu- 
gleich wusste ich, dass ich mich auf seine Mitteihmgen 
Tiber den Inhalt der weniger bedeutenden Werke sicher 
veiiassen konnte, die mir nicht zuganglich waren oder 
mit denen mich direkt bekannt zu machen es mir an 
Gelegenheit fehlte. Ich habe jedoch nicht allein in rein 
thatsachlichen Fragen auf Cantor gebaut. An seine Be- 
urteilungen habe ich mich zum grossen Teil gehalten mit 
Bezug auf die Zeiten, wo die Mathematik entweder nur 
Ruckschritte machte oder doch keine von den wirklichen 
Fortschritten, deren Verfolgung meine Aufgabe war. Was 
ich bei spiels weise liber das Rechnen auf dem Abacus im 
Mittelalter und seinen Ursprung nritteile, sind die Resul- 
tate von Cantors sorgfaltigen und scharfsinnigen Unter- 
suchungen. 

1m iibrlgen 1st es selbstverstandlich, dass, wahrend 
ich rnein Studium auf die iiberlieferten Werke der grossen 
Mathematiker, auf ihren Zusammenhang unter einander 
und mit den niathematischen Arbeiten und Resultaten, 
die nur aus Berichten bekannt sind, richtete, ich die 
Hiilfe benutzt habe, die in der heutigen reichen Littera- 
ttir iiber die Geschichte der Mathematik geboten war. 
Der didaktische Charakter des vorliegenden Buches hat 
mich jedoch davon abgehalten anzufiihren, was ich diesem 
oder jenem verdanke. Um das zu thun hatte ich nam- 
. lich nicht nur den Gedanken oder die Auffassung dar- 
stellen miissen, die ich dem betreffenden unmittelbar 


IV 

verdankte, sondern auch liber die Modifikationen berichten 
miissen, die solche Gedanken unter nieiner weiteren Bear- 
beitung erfahren batten und iiber die Griinde hierfiir. 
Dazu war kein Raum, vielmehr musste ich mich damit 
begniigen kurz die Griinde fur die Auffassungen anzu- 
fiihren, bei denen ich stehen geblieben war. An einem 
anderen Orte jedoch babe ich mich einer solchen ein- 
gehenden Diskussion, bei der ich auch Gelegenheit hatte 
auszusprechen, was ich jedem einzelnen Schriftsteller ver 
dankte, nicht entzogen, namlich in meiner Arbeit iiber 
die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (Kgl. Danske 
VidenskabernesSelskabsSkrifter, G.Rsekke, 3. Bind; deutsche 
Ausgabe von R. v. Fischer-Benzon, Kopenhagen, Andr. 
Fred. H0st & S0n, 1886). Allerdings wird hierin nur die 
hohere Geometrie des Altertums behandelt, aber diese 
hing selbstverstandlich so genau mit der elementaren 
Mathematik zusammen, dass ich auch wesentliche Seiten 
meiner Auffassung von dieser begriinden musste, und 
diese Auffassung steht wieder in genauem Zusammen- 
hange mit fast allem, was ferner in diesem Bande er- 
wahnt wird. 

Deshalb begniige ich mich im wesentlichen damit 
an dieser Stelle die Manner anzufiihren, deren Arbeiten 
iiber die Geschichte der Mathematik Einfluss verschiedener 
Art auf meine eigenen Studien und dadurch auf die vor- 
liegende Arbeit gehabt haben: Chasles, Brettschneider, 
Hankel, Cantor, P. Tannery, Heiberg, Allmann 1 , 
und als Herausgeber, tJbersetzer und Kommentatoren 
wieder Heiberg, Hultsch, Wertheim, Colebrooke, 
Woepcke, Boncompagni. Von Einzelheiten muss ich 
jedoch hinzufiigen, dass ich ausser vielem anderen, was 


1 Soria s umfassendes Werk, Le Sciense esatte nell antica 
Grecia 72, lag damals noch nicht vor. 


zumteil in der Lehre von den Kegelschniiten im Altertum 
erwahnt 1st, die Erklarung (S. 33) des Berichtes liber die 
Geometrie des Thales P. Tannery (Geometric grecque 
S. 89 ff.) verdanke, ebenso wie die Erklarung (S. 64, 65) 
von Pythagoras Satz, dass die Dinge Zahlen sind (Geom. 
gr. S. 124). Ferner muss ich noch anfiihren, dass des- 
selben Verfassers griindliches und geistreiches Werk, Re- 
cherches sur I astronomie ancienne, Paris 1893, allerdings 
erst in meine Hande gelangte, nachdem der Druck rneines 
Buches begonnen war, dass es mich aber dennoch ver- 
anlasste die damals noch ungedruckten Abschnitte iiber 
die berechnende und spharische Geometrie der Griechen 
umzuarbeiten. In einem Buche wie dem vorliegenden 
konnte ich jedoch nur mit einiger Vorsicht das benutzen, 
was er selbst ausdriicklich als Hypothesen bezeichnet, wie 
natiirlich auch die Erklarung scheinen mag, die diese 
Hypothesen von Verhaltnissen geben, iiber deren genauen 
Zusammenhang in der iiberlieferten Litteratur keine hin- 
reichenden Angaben vorliegen. 

Kopenhagen, im September 1893. 


Vorrede zur deutschen Ausgabe, 


Wie aus der obenstehenden Vorrede zur danischen 
Ausgabe hervorgeht, ist das vorliegende Buch urspriing- 
lich dazu bestimmt, von Studenten an unserer danischen 
Universitat benutzt zu werden. In tlbereinstimmung mit 
dem Programm fur das Schulamtsexamen an dieser treten 
recht bedeutende Abschnitte nahezu als Komrnentare zu 
Euklids Elementen auf, und es ist vorausgesetzt, dass der 


VI 

Leser selbst imstande 1st die angefiihrten Stellen in diesen 
nachzusehen. Das wird jedoch kaum ein Hindernis da- 
fur sein, mein Buch auch ausserhalb Danemarks zu be- 
nutzen; denn um das rechte Verstandnis fur die Ent- 
wickelung der Mathematik iiberhaupt zu gewinnen, muss 
man aus eigener Anschauung wenigstens das Werk kennen, 
das wahrend dieser ganzen Entwickelung die Hauptrolle 
gespieli hat. 

Grosseres Bedenken sollte es vielleicht in mir hervor- 
rufen, dass ich versuche einem historischen Buche, das 
in historischer Beziehung auf den Arbeiten von Zeitgenossen 
aufgebaut ist, ausserhalb der Kreise, fur die es zuerst be- 
stimmt war, Verbreitung zu verschafEen. Indessen ist dies 
Buch zugleich eine Frucht selbstandiger und personlicher 
Arbeit, aber von mehr mathematischer Art, namlich eines 
eingehenden Studiums der grossen Schriftsteller aus den 
Zeiten, die erwahnt werden. Dieses Studium, bei dem 
ich mich nicht mit solchen Thatsachen begniigen wollte, 
wie dass dieser oder jener Schriftsteller diesen oder jenen 
Satz kannte, auch nicht damit, dass er ihn auf diese 
oder jene Weise beweist, sondern auch versucht habe zu 
verstehen, weshalb Satz und Beweis unter damaligen Ver- 
haltnissen gerade in dieser oder jener Gestalt auftreten 
mussten, hat mir selbst so viel Zeit und Nachdenken ge- 
kostet, dass ich es fur nutzlich halten darf, die gewonnene 
Ausbeute fiir solche darzustellen, die nicht in der Lage 
sind die erforderliche Zeit und Arbeit auf ein solches 
Studium zu verwenden. 

Da die Aufgabe, die ich mir gestellt habe, in man- 
chem mit derjenigen zusammenfallt, die Hankel in sei- 
nem Buche Zur Geschichte der Mathematik im Altertum 
und Mittelalter, Leipzig 1874, behandelt hat, so beeile 
ich mich zu bemerken, dass gerade dieses geistreiche 
Werk in mir den Geschmack an solchen Studien hervor- 


VII 


gerufen hat. Dass meine Arbeit dennoch nicht iiberfliissig 
sein werde, hoffe ich teils deshalb, well Hankels friiher 
Tod die Behandlung mehrerer der wichtigsten Abschnitte 
verhindert hat, teils deshalb, weil ich, der ich auf neuere 
historische Untersuchungen habe fussen konnen, in man- 
cher Beziehung zu anderen Ergebnissen gelangt bin. Unter 
den Schriftstellern der Gegenwart ist Paul Tannery der- 
jenige, dessen Auffassung ich am haufigsten geglaubt habe 
mir aneignen zu miissen. Die wichtigste von den Ande- 
rungen, die in der vorliegenden Ausgabe vorgenommen 
worden sind, besteht darin, dass ich mich jetzt an die 
neuesten Ermittelungen liber Heros Lebenszeit habe halten 
konnen, Ermittelungen, die so vortrefflich zu dem Ein- 
druck stimmen, den die iiberlieferten Werke dieses Schrift- 
stellers in uns hervorrufen. Ausserdem habe ich jetzt 
etwas mehr Riicksicht auf Tannerys Recherches sur I a- 
stronomie ancienne nehmen konnen als in der danischen 
Ausgabe. 

Schliesslich mochte ich meine Freude dariiber zum 
Ausdruck bringen, auch diese Ubersetzung von Professor 
v. Fischer -Benzons kundiger und sorgfaltiger Hand 
ausgefiihrt zu sehen. 

Kopenhagen, im Juli 1895. 

H. G. Zeuthen. 


E1NLEITUNG. 


1. Vorgeschichte der Mathematik, 

Bei einer historischen Vorlesung erhebt sich immer 
die Frage, wo man zu beginnen habe. Man kann dort 
anfangen, von wo an zuverlassige positive Angaben vor- 
liegen, die unmittelbar ein zuverlassiges positives Wissen 
gewahren, und es ist dann Aufgabe des Historikers hierin 
den richtigen Zusammenhang herzustellen ; oder man kann 
mit der Vorgeschichte anfangen, und diese ist dann ab- 
zuleiten durch Kombinieren einer Menge ausserst ver- 
schiedener Nachrichten und Thatsachen, die, einzeln ge- 
nommen, nicht als historische Quellen betrachtet werden 
konnen. Unter diesen kommen die Traditionen und Sagen 
iiber Sitten und Begebenheiten in noch alteren Zeiten, die 
sich in den altesten wirklichen Uberlieferungen vorfinden, 
wirklicher Geschichte am nachsten. Die Erklarung dieser 
Sagen muss sich stiitzen auf solche aufgefundene Gegen- 
stande, die in jenen alten Zeiten hervorgebracht und ge- 
braucht worden sind. Die Bedeutung solcher Funde ist 
ins Licht zu setzen durch ihr gegenseitiges Verhaltniss in 
Bezug auf Zeit und Ort. Umgekehrt tragen sie wieder 
dazu bei die Verbindungen klar zu legen, die zwischen 
den Fundstellen bestanden haben, und die zeitliche Auf- 
einanderfolge der Geschlechter zu bestimmen, die sie be- 

1 


2 Einleitung: 

nutzt haben. Was sich in diesen verschiedenen Be- 
ziehungen fiber aufbewahrte aussere Dinge sagen lasst, 
das gilt auch fur diejenigen Worte der Sprache, deren 
Alter aus ihrem Vorkommen in verschiedenen bekannten 
lebenden und toten Sprachen hervorgeht. Diese zeugen 
von alter Bekanntschaft mit entsprechenden Begriffen. 

Bei der Behandlung des auf solche Weise gewonnenen 
Stoffes muss man wieder zu anderen Hiilfsquellen seine Zu- 
fiucht nehmen. Um sich eine Meinung dariiber zu bilden, wie 
ein Gegenstand hervorgebracht und gebraucht, wie ein Be- 
griff entstanden und mit anderen in Verbindung gesetzt 
worden ist, muss man zuerst wissen, wie derartiges uber- 
haupt geschehen kann und wie es mit den Hiilfsmitteln und 
der Auffassung der Dinge, die man als damals iiblich an- 
nehmen darf, hat geschehen konnen. Oft ist es schwierig 
hieriiber zu urteilen, namentlich fiir einen Kulturmenschen 
der Gegenwart, der gewohnt ist sich einer Menge jetzt 
existierender, korperlicher und geistiger Hiilfsniittel oder 
angeeigneter Fertigkeiten zu bedienen, ohne selbst recht zu 
wissen, welchen Nutzen sie ihm gewahren, oder welche 
von ihnen leicht und welche schwierig durch andere ersetzt 
werden konnten. Um dariiber etwas zu erfahren, sind 
wir darauf angewiesen teils unsere eigenen Kinder zu 
beobachten, teils uncivilisierte Volkerschaften oder auch 
nur Volkerschaften, die eine andere Civilisation haben als 
wir. Dafiir wird dasjenige, was durch die Vorgeschichte 
klargelegt wird, uns helfen die Entwicklung des Erkennt- 
nisvermogens bei Kindern und die Sitten und Gebrauche 
der verschiedenen Volkerschaften verstehen zu lernen. 

Man sieht also, dass sowohl Historiker und Archa- 
ologen von Fach, sowohl Naturforscher, die die Funde, 
als Sprachforscher, die die Worte ihrem Alter und ihrem 
Zusammenhange nach bestimmen, dass sowohl Padagogen 
ja selbst Psychologen und Erkenntnistheoretiker, wie auch 


1. Vorgeschichte der Mathematik. 


Ethnographer! ihren Beitrag zu einen Studium der Vor 
geschichte liefern miissen. Bezieht sich diese auf ein be- 
stimmtes Fach, so muss der betreffende Fachmann selbst 
hinzutreten, um die innere Verbindung zwischen den zu- 
sammengebrachten Thatsachen herzustellen ; alle oben 
genannten Forscher aber werden aus den vorhistorischen 
Studien Ausbeute fiir ihr eigenes Fach gewinnen. 

Auch die Mathematik hat ihre Vorgeschichte, und 
diese gehort keineswegs zu den am wenigsten bedeutungs- 
vollen. Bei der Beschrankung auf einen eng begrenzten 
und selbstandig auftretenden Stofl kann sie zu verhaltnis- 
massig sichren und klaren Ergebnissen fiihren. Was man 
dabei iiber die Art und Weise erfahrt, wie friihere Volker- 
schaften Grossen durch Zahlen und raumliche Darstellung 
behandelten, das liefert uns einen wesentlichen Beitrag 
zum Verstandnisse ihres Vermogens, sich die Erde unter- 
thanig zu machen, und macht es uns dadurch leichter 
die iibrigen Zeugnisse iiber ihr Leben und Treiben zu 
verwerten. Durch Klarstellung der Grundlage, auf der 
das Menschengeschlecht spater eine besser geordnete Be- 
handlung der Mathematik aufgebaut hat, liefert sie auch 
einen schatzenswerten Beitrag zur scharferen Erfassung 
der erkenntnistheoretischen Grundlage fiir die ersten und 
wichtigsten Begriffe dieser Wissenschaft. 

Um die Vorgeschichte der Mathematik ans Licht zu 
ziehen, muss man bei den Sprachforschern Belehrung 
suchen iiber das Alter der Benennungen fiir die ein- 
fachsten Zahlen und iiber die in verschiedenen Sprachen 
angewandten Mittel, um Zahlen zu benennen, die nach 
Zehnern, Zwanzigern u. s. w, zusammengesetzt sind oder 
auf irgend eine andere Art, wie sie fiir Einteilung von 
Maassen oder Miinzen (Zwolfersystem, Sechzehnersystem 
u. s. w.) benutzt sein konnte. Man muss auf Inschriften 
oder in alten Schriftdenkmalern erst die Bezeichnungen fiir 


4 Einleitung: 

einfache Zahlen suchen, die in fniheren Zeiten meist in 
einer Marke oder einem Zeichen fiir jeden Einer bestehen, 
und darauf die mehr entwickelten Zeichen fur zusammen- 
gesetzte Zahlen, die z. B. durch Wiederholung eines Zeichen s 
fiir jede decimale Einheit, wie bei den Romern, gebildet 
sein konnen. Man muss die Spuren der Anwendung 
dieser Zeichen oder auch mechanischer Hiilfsmittel zur 
Ausfiihrung einfacher Rechnungen auf suchen. Moglicher- 
weise kann man dann auch in der Bilderschrift alter 
Zeiten Operationszeichen finden, wie wenn in agyptischen 
Papyrushandschriften ein Vogelfuss durch die Seite, nach 
der er sich wendet, auf sehr deutliche Weise angiebt, ob 
eine Zahl zu oder ab zu zahlen ist, also eine ahn- 
liche Rolle spielt wie unsere Zeichen + und . 

Was nun die raumliche Anschauung betrifft, so ist 
die erste Abbildung, auf welche man trifft, ein Zeugnis 
fiir eine Vorsteilung von Figuren, von denen die eine im 
Kleineren das ist, was die anderen im Grosseren, arlso 
von ahnlichen Figuren. Das Zeugnis ist um so beweisender, 
als die Perspektive damals nicht bekannt sein konnte, 
der Darsteller also, wenn auch oft nur mit wenig Gliick, 
eine wirkliche Ahnlichkeit anstrebte. Dieses Streben muss 
bewusst gewesen sein, wenn die Abbildung dieselbe Anzahl 
von Dimensionen hat wie der darzustellende Gegenstand, 
wenn sie also entweder eine Skulptur ist, oder wenn ein 
durch seine Umrisse in der Ebene dargestellter Gegenstand 
selbst eben ist oder als eben betrachtet werden kann. 
Besonders gilt dies, wenn die Darstellung pich als ein 
Modell auffassen lasst, als eine Karte oder als den Grundriss 
eines Gebaudes, und um so mehr, wenn man sie als den 
Versuch zu einer geometrischen Figur betrachten kann. 
Da es klar ist, dass es bei der ersten Benutzung solcher 
Figuren, sei es bei der Entwicklung des Menschengeschlechts 
oder bei dem Unterricht unserer Kinder, gleichgiiltig bleibt, 


1. Vorgeschichte der Mathematik. 5 

ob die Figur etwas kleiner oder etwas grosser gezeichnet 
wird, so wird hier, lange bevor eine klare Definition von 
ahnlichen Figuren gegeben werden kann, eine bewusste 
Anwendung von solchen geraacht. 

Eine altagyptische Grabkammer, cleren Dekoration 
unvollendet ist, zeigt wie diese Vorstellung sogar zu einer 
planmassigen Hervorbringung von Ahnlichkeit gefuhrt hat. 
In dieser sieht man namlich, dass man, um ein Bild 
nach einem neuen Maassstabe auf die Wand zu ubertragen, 
diese Wand und das Bild durch zwei Systeme von 
Parallelen in Quadrate geteilt und darauf in jedes Qua 
drat der Wand das eingetragen hat, was sich auf dem 
entsprechenden Quadrat der Vorlage befindet. Das an- 
gewandte Hiilfsmittel besteht in Wirklichkeit in einer 
Anwendung rechtwinkeliger Koordinaten, die in ganzen 
Zahlen durch die benutzte Quadratseite als Einheit aus- 
gedriickt sind; entsprechende Punkte werden als solche 
bestimmt, deren beide Koordinaten, jede fur sich, in einem 
gegebenen Verhaltnis stehen. 

Bei der weiteren Durchforschung aufgefundener Ab- 
bildungen oder Dekorationen muss man besonders nach 
solchen Figuren suchen, die Bekanntschaft mit einigen 
einfachen geometrischen Konstruktionen verraten konnen 
oder wenigstens von einer geometrischen Auffassung der 
Figuren zeugen. Das Bestreben Senkrechten oder Parallelen 
zu zeichnen findet man sicher auf den kindlichsten Stand- 
punkten; bei mehr entwickelten Volkern hat man solche 
Linien gewiss mechanisch konstruiert, anfangs vielleicht 
durch ebenso einfache Mittel wie wir sie benutzen, wenn 
wir gerade Linien, Parallelen oder Senkrechten durch ge- 
spannte Schniire, durch Falten von Papier etc. herstellen. 
Eine vollkommenere Konstruktion diirfte wohl benutzt 
worden sein, wenn man solche Linien zu der oben er- 
wahnten Ubertragung eines Bildes in einem neuen Maass- 


(5 Einleitung: 

stabe angewandt hat. Verzierungen, die auf irgend eine 
Weise regelmassige Sechsecke benutzen, beweisen die Be- 
kanntschaft mil der einfachen Kortstruktion dieser Figur, 
zu deren Herstellung kein von einem Mechaniker her- 
gestellter Zirkel notwendig ist. Dagegen wird man selbst 
bei ziemlich hoch entwickelten Volkerschaften vergebens 
nach der Benutzung regelmassiger Funf- oder Zehnecke 
suchen. Diese sind aber auch erst durch ein ziemlich 
kompliciertes Verfahren herzustellen ; nicht einmal auf 
den alten agyptischen Monumenten hat man derartige 
Vielecke gefunden. 

Eine keineswegs geringere Bedeutung als iiberlieferte 
Zeichnungen haben die erhaltenen Reste von Gebauden. 
Sogar auf den friihesten Entwicklungsstufen wird man 
das Be.streben finden, dem Grundriss der Gebaude eine 
bestimmte Figur, wie Rechteck oder Kreis, zu geben, 
und bei den vollkommeneren Bauten, wie den agyptischen 
Tempeln und Pyramiden, miissen die rechten Winkel 
durch Konstruktion hergestellt sein. Hieran kann man um 
so weniger zweifeln, als die Gebaude genau nach den 
Himmelsgegenden orientiert sind, so dass man auch ver- 
standen haben muss die hochste Stellung der Sonne durch 
Konstruktion zu benutzen. Die Pyramiden bauten zeugen 
von der Bekanntschaft mit bestimmten geometrischen 
Figuren, und eine umsichtige Konstruktion ist erforder- 
lich gewesen, um zu erreichen, dass die Pyramiden wirk- 
lich gerade standen und gegenseitig dieselbe Gestalt er- 
hielten. Gleichgewicht hervorzubringen in so gewaltigen 
Bauten, wie die agyptischen Tempel es sind, so dass sie 
bis auf die Gegenwart haben stehen konnen, und Obelisken 
zu transportiren und aufzurichten, hat auch eine recht 
bedeutende mechanische Einsicht verlangt. 

Ich habe mich bestrebt hier klar zu legen, was man 
unter Vorgeschichte der Mathematik zu verstehen habe, 


1. Vorgeschichte der Mathematik. 7 

und einige von den Mitteln anzugeben, wodurch man sie 
kennen lernen kann. Ich hoffe zugleich dadurch an- 
gedeutet zu haben, von welcher Bedeutung es sein kann 
sie zu studieren, aber die Zeit erlaubt es mir nicht, in 
diesen Vorlesungen genauer auf diese Untersuchungen 
einzugehnn. Ich muss nicht nur die vorhistorische 
Mathematik iibergehen, sondern zum grossten Teile auch die 
vorwissenschaftliche Mathematik 1 ). Darunter ver- 
stehe ich diejenige, die nur in der Zusammenfassung solcher 
Regeln besteht, die sich aus Versuchen oder durch zu- 
fallige Erfahrungen haben ergeben konnen - - das letzte 
kann z. B. mit der Sechsteilung des Kreises der Fall ge- 
wesen sein oder vielleicht auch in alteren Zeiten durch 
mehr exakte Untersuchungen, die nun verloren, also vor- 
historisch sind. Von der vorwissenschaftlichen Mathema 
tik werde ich nur soviel mitteilen, dass man dadurch 
eine Vorstellung gewinnen kann von dem im voraus be- 
kannten Material, aus dem die wissenschaftliche Mathema 
tik aufgefiihrt ist. Als Einleitung in die griechische 
Geometric muss ich deshalb das anfiihren, was die Griechen, 
wie wir annehmen diirfen, von den Agyptern und Baby- 
1 onier n gelernt haben. Das Zahlenrechnen der Griechen 
werde ich dagegen im wesentlichen nur behandeln konnen 
als vorwissenschaftliche Einleitung zu der Rechenkunst, die 
entstand, als die Inder die nun gebrauchliche Schreibung 
der Zahlen durch Ziffern mit Positionswert erfanden. Denn 
einmal stand das Zahlenrechnen der Griechen auf alle 


In Betreff der vorhistorischen sowohl als der vorwissenschaft 
lichen Mathematik kann ich auf P. la Gour, Historisk Mathe 
matik, Et indledende Kursus, Kj0benhavn 1888, verweisen. 
Nach dem Plane dieses Werks, welches zur Einfiihrung in 
die ersten Elemente der Mathematik die Wege ihrer Ent- 
stehung benutzt, machen die beiden genannten Disciplinen 
einen wesentlichen Teil desselben aus. 


8 Einleitung: 

Falle weit zuriick hinter ihrem sonstigen roathematischen 
Vermogen, und zweitens konnen wir durch Anwendung 
ihrer Zahlzeichen und ihrer Hiilfsmittel fiir das Rechnen, 
wenn sie auch von ihren eigenen grossen Mathematikern 
mit Erfolg haben benutzt werden konnen, nichts hervor- 
bringen, was dasjenige iiberragt, was wir sonst zur vor- 
wissenschaftlichen Mathematik rechnen. Indessen moge 
das doch mit dem Vorbehalt gesagt sein, dass diese 
Hiilfsmittel des Rechnens sich vielleicht bei genauerer 
Untersuchung besser erweisen konnen, als sie uns zu- 
nachst vorkommen 1 ); denn giebt es einen Fehler, der 
Schaden verursachen kann und verursacht hat nicht nur 
bei derartigen historischen, sondern auch bei ahnlichen 
ethnographischen Untersuchungen, so ist es der, den Wert 
des Gefundenen nur nach seiner grosseren und geringeren 
Ahnlichkeit mit dem zu messen, was ein Kulturmensch 
jetzt gebraucht, und das geringe zu achten, was der Kultur 
mensch, nur weil er es nicht kennt oder nicht versteht, 
nicht glaubt gebrauchen zu konnen. 


2, Agypter und Babylonier, 

Was diese beiden Volkerschaften betrifft, so wollen wir, 
wie schon oben angegeben, nur kurz die mathematischen 
Kenntnisse und Fertigkeiten erwahnen, die sie besessen 
haben, als sie mit den Griechen in Beriihrung kamen, 
und die die Griechen von ihnen ubernommen haben 


Die sachverstandigste Autoritat auf dem hier beriihrten Ge- 
biete, Paul Tannery, hat erklart, dass er bei einem Ver- 
suche, sich praktisch in der Benutzung der griechischen Zahl 
zeichen zu iiben, diese viel zweckmassiger gefunden habe 
als sie uns erscheinen, die wir von Kindheit an in der Be 
nutzung eines anderen Zeichensystemes geiibt sind. 


2. Agypter und Babylonier. 


konnen. Um zunachst mit den Agyptern zu beginnen, 
so weisen griechische Schriftsteller durchweg darauf bin, 
class ihre eigenen altesten Forscher die Agypter zu Lehr- 
meistern gehabt haben, und bericbten davon, wie ihnen 
die Gelehrsamkeit der agyptischen Priesterkaste zuganglich 
gemacht worden sei. Als Veranlassung zu der Beschafti- 
gung der Agypter mit Geometric wird hingewiesen auf 
die Uberschwemmungen des Nils und die damit ver- 
bundenen Bestrebungen, jedermann hinterher den ihm 
gehorigen Grund und Boden genau wieder zukommen zu 
lassen. In jedem Falle ist es klar, dass der sebr bohe 
Wert der schmalen fruchtbaren Landstreifen zwischen der 
Wiiste und dem Flusse zu einer genauen Landmessung 
auffordern musste. Wie grosse Bedeu^ung die agyptischen 
.Regeln Fur das Landmessen gehabt haben, geht auch dar- 
aus hervor, dass, nachdem die Griechen die Geometrie 
so hoch entwickelt batten, es dennoch im wesentlichen 
die agyptischen Regeln waren, die von den romischen 
Landmessern (Agrimensoren) benutzt wurden, denn diese 
verstanden die griechischen Begriindungen sicher nur in 
sehr geringem Maasse. Als ein in manchen Beziehungen 
geschaftlich tiichtiges Kulturvolk und als ein bauendes 
Volk wie wir bereits beriihrt haben haben die 
Agypter auch eine gewisse Rechenfertigkeit und andere 
geometrische Kentnisse notig gehabt als diejenigen sind, 
die beim Landmessen gebraucht werden. Ein anderes 
Zeugnis fiir eine gewisse mathematische Einsicht ist ihre 
Astronomie, die an Bedeutung jedoch kaum der baby-, 
lonischen gleichkam. 

Was nun die Agypter in spateren Zeiten wussten, 
das ergiebt sich teils aus dem, was die Griechen und 
spater die Romer von ihnen erhalten haben, teils aus ein- 
zelnen direkt iiberlieferten Aufzeichnungen. Das scheint 
indessen nur sehr wenig von dem abgewichen zu haben, 


10 Einleitung: 

was man nach einer uralten Papyrushandschrift, dem so- 
genannten Rechenbuche des Konigs Ahmes, bereits 1700 
2000 Jahre vor Christ! Geburt wusste. Deshalb 1st 
diese Sammlung von Aufgaben nebst ihren Losungen die 
beste Quelle, urn agyptische Mathematik und Rechen- 
kunst kennen zu lernen. 

Indem wir nun diese und andere Quellen benutzen, 
wollen wir hier unserem Plane gemass nicht darauf ein- 
gehen, wie die Agypter ganze Zahlen dargestellt und mit 
ihnen gerechnet haben. Ausser diesen kannten sie Briiche 
und rechneten mit ihnen. Briiche werden gewohnlich in 
Stammbniche zerlegt, dass heist in solche mit dem Zahler 1. 
Das Rechenbuch des Ahmes enthalt eine Tabelle iiber 
eine derartige Zerlegung von Quotienten mit dem Divi- 
denden 2 und mit Divisoren von 3 bis 99; diese Tabelle 
schliesst mit fa = -fa -f~ T ^ B . Eine solche Zerlegung ist 
spater auch von den Griechen benutzt worden, und wie 
wenig praktisch sie auch dem Anschein nach gewesen 
sein mag, so hat ihre Anwendung doch Einblick in die 
verschiedene Zusammensetzung ganzer Zahlen gewahrt. 
Die Agypter verstanden in der sogenannten Hau-Rech- 
nung soche Aufgaben zu losen, die in unserer mathe- 
matischen Sprache durch Gleichungen ersten Grades mit 
einer Unbekannten ausgedriickt werden: 

ax f- bx -f- ex -\- . . . = d, 

wo a, b, c ... d aus ganzen Zahlen und Briicher bestehen, 
die aus Stammbriiehen zusammengesetzt sind; ferner be- 
handelten sie solche Aufgaben, die unter die Gesellschafts- 
rechnung gehoren, ja einzelne, die zu ihrer Losung ein- 
fache arithmetische und geometrische Reihen erfordern. 
Bei der Losung von Aufgaben, die, wenn man sie auf 
die Form einer Gleichung gebracht haben wurde, von 
Gleichungen der oben stehenden Form abhangen wiirden, 
treffen wir zum ersten Male eine Anwendung der Methode 


2. Agypter und Babylonier. 


des falschen Ansatzes, der sogenannten Regula falsi, 
auf die wir spater an vielen Stellen treffen werden. Sie 
besteht darin, dass man x einen Versuchswert x-^ beilegt; 
liefert dieser durch Einsetzen d l statt d, so 1st 

d 

* = *!-[-. 

In der Geometrie musste nach dem Gesagten die 
Bestimmung von Flacheninhalten zu den Hauptsachen 
gehoren. Bei den Agyptern wie bei mehreren anderen 
Volkern war es nicht ungewohnlich, den Flacheninhalt 
eines Vierecks mit den Seiten a, b, c und d nach der 
unrichtigen Formel 

a -|- c b + d 

2 2 

zu berechnen, und den Inhalt eines Dreiecks mit den 
Seiten a, a und b nach der darin enthaltenen Grenzformel 

b 
a -; 

aber diese Formeln liefern keine iible Annaherung, sobald 
die Winkel des Vierecks oder die Winkel an der Drei- 
ecksseite b sich nur wenig von einem Rechten unter- 
scheiden. Der Ausdruck fiir den Inhalt liefert dann nur 
einen Fehler, den wir von zweiter Ordnung nennen. Wenn 
auch die Aufstellung dieser Formeln zur Anwendung auf 
andere Falle hat verleiten konnen, so haben doch die 
Agypter - - so weit man aus der Grosse der Seiten in 
den vorgefundenen Beispielen mit einiger Sicherkeit 
schliess^i kann -- sie vorzugsweise da angewandt, wo sie 
eine gute Annaherung geben. Dje Nachahmer der Agypter, 
die romischen Landmesser, kamen dagegen auf die Idee, 
sie auf gleichBeitige Dreiecke anzuwenden, obgleich sie 
bessere Berechnungsmethoden fiir diese besassen. Den 
Inhalt eines Kreises mit dem Durchmesser d berechneten 


12 Einleitung: 

/ 8 \ 2 
die Agypter nach der Formel ( d j , was desselbe 1st, 

als wenn man jz = ( j , also gleich 3,16 setzt. Die 

benutzten Formeln zeigen, dass die Agypter ebenso wie 
wir als Flacheneinheit das Quadrat mit der Langenein- 
heit als Seite benutzt haben. Die Konstruktion von rech- 
ten Winkeln im Felde scheinl durch Konstruktion eines 
Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5 geschehen zu sein. 
Bei der Konstruktion der Pyramiden, oder wenigstens bei 
der Bestimmuiig ihrer Dimensionen scheint man die 
Grosse des Verhaltnisses zwischen der halben Diagonale 
der Grundflache und einer Seitenkante benutzt zu haben, 
also das, was wir den co sinus des Winkels nennen, den 
die Seitenkante mit der Grundflache bildet. Wenn ubri- 
gens noch Demokrit zu einer Zeit, wo die griechische 
Geometric eine keineswegs geringe Entwickelung erfahren 
hatte, als Zeichen fur seine eigene Fertigkeit in geometri- 
schen Konstruktionen anfiihren kann, dass er darin nicht 
einrnal iibertroffen werde von den agyptischen Harpedo- 
napten (Seilspannern), d. h. von den Mannern, die unter 
Beobachtung feierlicher Gebrauche dafiir zu sorgen hatten, 
dass die Grundrisse der Tempel richtig zur Sonne lagen, 
so kann die Tiichtigkeit dieser Manner sich nicht auf die 
Anwendung so einfacher Konstruktionen, wie die von 
uns genannten es sind, beschrankt haben. 

Wahrend die Griechen namentlich von den Agyptern 
Impulse erhielten zur Bildung der Geometric, desjenigen 
Teiles der Mathematik, den sie zur grossten Vollkommen- 
heit entwickelten, so waren die Babylonier ihre Lehr- 
meister in Astronomic und in der Ausfiihrung der dazu 
gehorigen Berechnungen. Von daher schreibt sich die 
noch heute gebrauchliche Teilung des Kreises in Grade, 
Minuten und Sekunden nach dem Sexagesimalsystem. 


2. Agypter und Babylonier. 13 

Die Teilung in 360 (= 2 3 . 3 2 . 5) hangt vielleicht damit 
zusammen, dass das Jahr ehemals zu 360 Tagen ange- 
nommen wurde. Die weitere sexagesimale Teilung kann 
teils hiervon abhangig sein, teils kann sie auf der Er- 
kenntnis der Vorteile beruhen, die ein Zahlensystem ge- 
wahren muss, in dem die Grundzahl 2 2 . 3 . 5, wegen 
ihrer Zusammensetzung aus den niedrigsten Primzahlen, 
einen sehr grossen Teil der niedrigeren Zahlen als Fak- 
toren enthalt. Zeugnisse fiir die konsequente Benutzung 
dieses Zahlensystemes hat man in Inschriften gefunden, 
die Tabellen enthalten iiber die Quadratzahlen bis 60 2 
und die Kubikzahlen bis 32 3 , geschrieben nach diesem 
System. Diese Inschriften sind einige Tausend Jahre alt. 
Es ist auch wahrscheinlich, dass verschiedene von 
den Zahlenspekulationen , die mehrere Untersuchungen 
der Griechen iiber ganze Zahlen nach sich gezogen haben, 
urspriinglich der Zahlenmystik der Chaldaer und Baby 
lonier ihren Ursprung verdanken. 


Die griechische Mathematik. 


1. Historischer Oberblick, 

Da wir bei unserer Besprechung der griechischen 
Mathematik oft die Behandlung einzelner Gegenstande 
durch lange Zeitraume hindurch verfolgen rniissen, so 
wird es niitzlich sein, im voraus einen historischen tJber- 
blick zu geben, in dem wir teils die zeitliche Reihenfolge, 
in der die einzelnen Entwickelungsstufen hervortreten und 
die verschiedenen Mathematiker thatig waren, auseinander- 
setzen, teils die Verbal tnisse beleuchten, unter denen die 
Mathematiker ihre Wirksamkeit iibten. 

Ein Mittelpunkt in der griechischen Mathematik wird 
von Euklid gebildet, der etwa 300 Jahre v. Chr. lebte. 
In seinen sogenannten Elementen besitzen wir ein 
Lehrbuch der Geometric, das noch an einzelnen Stellen 
als solches benutzt wird, und das das elementar-geo- 
metrische Lehrgebaude enthalt, dessen Hauptprincipien 
iiberall unter verschiedenen Formen dem Unterrichte noch 
heutigen Tages zu Grande gelegt werden. In diesem 
Werke mussen wir auf der einen Seite Aufklarung iiber 
die zerstreuten Angaben suchen, die wir iiber die altere 
griechische Mathematik besitzen ; denn diese beziehen sich 
im wesentlichen auf die Entstehung der euklidischen 
Geometrie. Auf der anderen Seite muss dieses Werk die 


1. Historischer Uberblick. 15 


Grundlage fur unser Verstandnis der spateren Schriftsteller 
bilden; denn es war die Grundlage, auf der diese selber 
welter bauten. Auch in ausserer historischer Beziehung 
bildet Euklid einen Mittelpunkt. Er war namlich der 
erste grosse Mathematiker der sogenannten alexandrini- 
schen Schule, und wirkte unter ganz anderen Umstanden 
als seine Vorganger. 

Die voreuklidische EntwickelungderMathematik 
erstreckt sich liber die drei vorhergehenden Jahrhunderte 
mid hat in jedem von diesen einen etwas verschiedenen 
Charakter. 

Der erste griechische Mathematiker war Thales von 
Mi let, der die Sonnenfinsternis vom 28sten Mai 585 
vorhersagte. Hierzu muss er Regeln benutzt haben, die 
direkt von den Agyptern herriihrten und sich auf lang- 
jahrige Beobachtungen dieser stiitzen. Von den Agyptern 
stammen gewiss auch die meisten seiner mathematischen 
Kentnisse. Die Hauptsache ist jedoch, dass die Griechen 
init ihm und der von ihm gestifteten philosophischen 
Schule, der sogenannten jonischen, anfingen nicht nur das 
mathematische Wissen zu sammeln, was sie von den 
Agyptern erhalten konnten, sondern auch dies Wissen nach 
verschiedenen Richtungen hin zu erweitern. Diese Arbeit 
des sechsten Jahrhunderts nahm ihren Anfang auf 
der kleinasiatischen Kiiste, aber durch die lebhaften 
Handelsverbindungen der Griechen wurde sie auch nach 
anderen Gegenden, wo die Griechen ansassig waren, ver- 
pflanzt. 

Wir sehen deshalb auch an einem ganz anderen Orte, 
namlich in Siiditalien, den Hauptheerd fur die Ent- 
wickelung der Mathematik im fiinften Jahrhundert. 
In diesem hatte man erkannt, dass die nach und nach 
gesammelten und gefundenen mathematischen Wahrheiten 
auf sicheren Grand lagen aufzubauen seien, und gleich- 


16 Die griechische Mathematik: 

zeitig mit der Entwickelung dieser benutzte man die mittler- 
weile sicher gestellten Resultate als Ausgangspunkte fur 
neue und wichtige Erweiterungen. 

Der Mann, dem wenigstens die Tradition den grossten 
Einfluss auf diese Arbeit zuschreibt, ist Pythagoras von 
Sam os, den wir deshalb beim fiinften Jahrhundert be- 
sprechen, wenn auch seine eigene Wirksamkeit wohl zum 
Teil vor das Jahr 500 fallt. In Grossgriechenland&gt;;, 
wie die damals reich bliihenden griechischen Kolonien in 
Suditalien genannt wurden, stiftete er eine philosophische 
Schule, die sich stark nach aussen hin abschloss und 
sich, wie es scheint, durch mystische Ceremonien und 
Geheimhaltung ihrer Lehren in dieser Abgeschlossenheit 
zu erhalten suchte. Diese aristokratische Schule suchte 
sich auch politisch gel tend zu machen, erregte aber den 
Unwillen aussen stehender und wurde gesprengt, als die 
Demokraten in Grossgriechenland die Gewalt an sich 
rissen. Da in weit spaterer Zeit die sogenannten Neu- 
pythagoreer meinten, dass ihre Lehren, die zum Teil von 
religios-ethischer Art waren, auf Pythagoras zuriick- 
zufiihren seien, so umgaben sie diesen ihren vermeint- 
lichen geistigen Vater mit so vielen legendenhaften Er- 
zahlungen, dass es schwierig ist, den wahren Kern darin 
zu finden. Was von diesen Erzahlungen Interesse fiir 
uns haben kann, das sind die Berichte iiber seine Reisen 
nach Agypten, wo er recht wohl gewesen sein kann, 
ebenso wie spater Plato und Eudoxus, und der Bericht 
iiber eine sehr zweifelhafte Reise nach Babylon. Von 
Bedeutung fiir die Entwicklung der Mathematik ist die 
grosse Abgeschlossenheit dieser Schule gewesen, denn 
diese veranlasste das wirksame Zusammenarbeiten von 
Mannern, die sich gegenseitig verstanden, tragt aber auch 
andererseits die Schuld dafur, das wir so wenig dariiber 
wissen, was dem Meister gehort, und was den Schiilern. 


1. Historischer Uberblick. 17 


Die Sprengung der Schule war die Veranlassung, dass 
wenigstens ihre mathematischen Lehren spater iiber die 
verschiedenen Gegenden ausgebreitet warden, in denen 
das griechische Volk sich niedergelassen hatte. 

An anderen Orten haben diese Lehren sich aber 
gewiss vereinigt mit den Friichten der Arbeit, die von 
anderen auf philosophischem oder mathematischem Gebiete 
ausgefiihrt worden war. Es ist deshalb nicht leicht zu 
entscheiden, wie viel oder wie wenig von seiner Mathe- 
matik ein so selbstandiger Denker wie der Philosoph 
Demokrit von Abdera (um 460 v. Chr.) von den Py- 
thagoreern gelernt hat. Der etwas altere Hippok rates 
von Chios, der sich, nachdem er Kaufmann gewesen war 
mid sein Vermogen verloren hatte, in Athen aufhielt und 
dort Unterricht in der Mathematik erteilte, kann vielleicht 
verschiedenes von den Pythagoreern gelernt haben, gehorte 
aber keinenfalls ihrer Schule an. Er erhalt eine besondere 
Bedeutung dadurch, dass wir ihm ein zusammenhangendes 
Stiick Geometric verclanken, die einzige derartige Probe, 
die aus dem 5ten Jahrhundert erhalten geblieben ist, und 
ferner dadurch, dass er in Athen wirkte, derjenigen 
Stadt, die schon damals im Begriffe stand der Mittel- 
punkt zu werden fiir das griechische Geistesleben, fiir 
griechische Kunst und Wissenschaft, und fiir den Kampf 
zwischen Sophisten - unter denen z. B. Hippias von 
Elis ein tiichtiger Mathematiker war und Philosophen, 
und die im folgenden Jahrhundert auch der Hauptsitz 
fiir die mathematische Entwickelung wurde. In Siiditalien 
nahm unterdessen die Entwickelung pythagoreischer Leh 
ren ihren Fortgang, und ein bedeutender Mathematiker, 
Archytas von Tarent, den wir dort gerade am Schlusse 
des 5ten Jahrhunderts antreffen, wird ausdrucklich als 
der letzte bedeutende Pythagoreer bezeichnet; er lebte in 

2 


18 Die griechische Mathematik: 

seiner Geburtsstadt, wo er sowohl als Staatsmann, wie 
als Heerfiihrer und Mathematiker angesehen Avar. 

Durch Archytas 1st die durch die alte pythagoreische 
Schule und ihre nachsten Nachfolger gewonnene Ent- 
wickelung weiter getragen zu denjenigen, die namentlich 
die mathematische Arbeit des 4ten Jahrhunderts leiten 
sollten, namlich zu Plato von Athen und Eudoxus von 
Knidos, denn beide wurden auf ihren Studienreisen 
nach Suditalien mit Archytas bekannt und wurden von 
ihm beeinflusst. Bevor ich auf diese bei den Manner 
und ihre Schulen genauer eingehe, will ich, im Anschluss 
an meine Bemerkungen uber die beiden vorhergehenden 
Jahrhunderte, im allgemeinen iiber das 4te Jahrhundert 
bemerken, dass es damals klar geworden war, dass voile 
Genauigkeit erst erreicht werden konne durch Bildung 
eines zusammenhangenden Systems. Teils durch wieder- 
holte Versuche solche Systeme zu bilden, teils durch Ent- 
wickelung der notwendigen Methoden und durch Erweite- 
rung und Verbesserung des Stoffes brachte man die ele- 
mentare Geometric auf den Standpunkt, den wir bei Euklid 
finden. Gleichzeitig hatte man begonnen eine hohere 
Geometric zu entwickeln, in der die Lehre von den Kegel- 
schnitten zur grossten Bedeutung gelangte. 

Plato (429 348) ist der bekannte grosse Philosoph, 
der Schiller des Sok rates und Stifter der Schule, die 
nach der Stelle in Athen, wo sie sich um Plato schaarte, 
die Akademie genannt wurde. Plato s Interesse fur die 
Mathematik schreibt sich nicht von Sokrates her, denn 
dieser wollte die Mathematik auf praktische Anwendungen 
beschrankt wissen. Aber Sokrates war auch nicht sein 
einziger Lehrer, und nach dessen Tode fand er Gelegen- 
heit erst in Kyrene und dann in Siiditalien sich in die 
Mathematik und Philosophic der Pythagoreer hineinzu- 
versetzen. In Kyrene studierte er Mathematik bei dem- 


1. Historischer Uberblick. 19 


selben Lehrer wie ein anderer Athener, der bedeutende 
Mathematiker Theatet, nach dem er einen seiner Dia- 
loge benannt hat; vielleicht waren er und Theatet gleich- 
zeitig in Kyrene. In Sicilien schlo&s er Freundschaft mit 
Archytas; auch Agypten besuchte er. 

Wenn wir das richtig erfassen wollen, worin Plato s 
Einfluss auf die Entwickelung der Mathematik bestanden 
hat, so begegnen wir denselben Schwierigkeiten wie bei 
Pythagoras. Wie die Neu-Pythagoreer dem Pytha 
goras, so haben die Neu-Akademiker dem Plato in 
ihren Berichten gern die Ehre fiir das denkbar mogliche 
zuerteilen wollen. Selbst diese schreiben ihm jedoch nicht 
personliche mathematische Untersuchungen von weiterer 
Bedeutung zu, sondern zeigen sich vielmehr geneigt ihm 
die Ehre fiir die Methoden, die zu seiner Zeit in Gebrauch 
kamen, zuzuerkennen, und ihn den Ratgeber derjenigen 
sein zu lassen, die die eigentlichen mathematischen Fort- 
schritte machten. Haben diese Angaben auch nicht viel 
Wahrscheinlichkeit fiir sich, so war es doch auf alle 
Falle von der grossten Bedeutung fiir den Fortschritt der 
Mathematik, dass derjenige von denSchiilern desSokrates, 
der vor alien andern Trager der geistigen Entwickelung 
wurde und lernbegierige Menschen aus den Landern und 
Rolonien der Griechen nach Athen zog, dass dieser grosses 
Interesse fiir die Mathematik und ihre weitere Entwicke 
lung besass. 1st es auch nur eine Legende, dass er liber 
den Eingang zur Akademie schreiben Hess: jurjdels ayeo- 
juTQr)Tos elohco, d. h. Keiner, der nicht Geometric kann, 
trete ein!, so geht doch aus semen eigenen Arbeiten 
hervor, dass er eine gewisse geometrische Vorbildung als 
Voraussetzung fiir das Eindringen in die Philosophic 
betrachtete. So ist der Gebrauch, der in einem seiner 
Dialoge von den fiinf regelmassigen Korpern gemacht 


20 Die griechische Mathematik: 

wird, die Ursache gewesen, dass diese den Namen pla- 
tonische K6rper erhalten haben. 

Auch der nachste grosse Philosoph, Aristoteles, 
der sich viel mit Naturwissenschaften beschaftigt hat, legt 
Interesse fiir Mathematik an den Tag, ohne jedoch an 
irgend einer Stelle eine besonders hervortretende mathe- 
matische Einsicht zu verraten. Die Stellung beider Manner 
zu diesem Fache war derartig, dass die Mathematiker 
Platz iinden konnten in den wissenschaftlichen Gesell- 
schaften der damaligen Zeit, der akademischen Schule 
Plato s und der peripatetischen des Aristoteles, dass 
sie in diesen mit andern Forschern zusammen arbeiten 
und bei ihnen Verstandnis finden konnten, und dass 
Mathematik und Philosophic gegenseitig Impulse geben 
und empfangen konnten, sowohl durch friedliche Ver- 
handlungen, als auch durch Zwistigkeiten. Teils wurde 
die Mathematik dadurch ein Glied in der hoheren grie- 
chischen Bildung, teils lasst die Gestalt, die sie eben in 
dieser Zeit gewann, aufs deutlichste erkennen, dass sie 
sich ausgebildet hat in Kreisen fein gebildeter und mit 
Riicksicht auf die Korrektheit des Ausdrucks anspruehs- 
voller Denker. 

Von mehr direkter Becleutung fiir die Entwickelung 
der Mathematik als diese beriihmten philosophischen 
Schulen war jedoch eine mathematisch-naturwissenschaft- 
liche Schule, die sich zu Plato s Zeit in der bliihenden 
Handelsstadt Kyzikos am Marmorameere urn den als 
Arzt, Astronom und Mathematiker hoch angesehenen 
Eudoxus von Knidos sammelte. Als junger Mann hatte 
er sowohl Suditalien als Agypten besucht. An der letzten 
Stelle war zu damaliger Zeit fiir eineii griechischen Mathe 
matiker kaum noch ( twas in der Geometrie zu lemcn. 
Dagegen sind dem Eudoxus als Astronomen die uralten 
Beobachtungen der A&lt;iy])ter selir zu Statten gekommen. 


1. Historischer Uberblick. 21 

&gt;iese hat er denn anch zu benutzen verstanden ; ihm ge- 
ihrt namlich das Verdienst, die Astronomie allein auf 
iobachtungen und geometrische Untersuchungen gegriindet 
haben mit Ausschluss der Sterndeuterei und leerer 
)ekulationen. In Siiditalien studierte er Medicin und 

reometrie, die letzte namentlich bei Archytas. 

Die Verbindung beider Stifter mit den Pythagoreern 
1st gewiss eine gute Vorbedingung gewesen fiir das Zu- 
sammenarbeiten der Schulen, die sich an Plato und 
Eudoxus anschlossen, ein Zusammenarbeiten, dass ge- 
legentlich auch die Form von Streitigkeiten annabm. 
Der Verkehr zwischen den beideii Schulen in Athen und 
Kyzikos wurde nicht nur hergestellt auf den zufalligen 
Wegen, zu denen der lebhafte Handel zwischen den beiden 
Stadten Veranlassung geben konnte, sondern Eudoxus 
hat Athen besucht zusammen mit seinen Schiilern, die 
dann Platos Vortrage gehort haben; mehrere von ihnen 
sollen sich in der Philosophic an Plato angeschlossen 
haben. Die am meisten bekannten Schiiler von Eudoxus 
waren die Briider Menachmus und Diiio stratus. Von 
diesen soil Menachmus in philosophischem Anschluss 
an Plato tiber den Staat geschrieben haben. 

Welche Resultate nun in den drei hier besprochenen 
Jahrhunderten erreicht waren, und welche Formen sich 
fur Beweise und Darstellung entwickelt batten, das lasst 
sich recht gut erkennen aus dem, was beim Beginn der 
nun folgenden alexandrinischen Schule vorhanden war, 
ferner aus den Satzen, die Plato in seinen Dialogen be- 
nutzt, und aus der Betrachtung der von Ar is to teles 
aufgestellten logischen Formen. Das Material, worauf 
diese letzteren sich in der einfachsten und genauesten 
Weise haben anwenden lassen, ist namlich die Mathematik 
selber. Sie haben sich dann sicher auch eben durch den 
Gebrauch entwickelt, den die Mathematiker davon machten, 


22 Die griechische Mathematik: 

uncl sie haben omen Teil der Ausbeute enthalten, die die 
Philosophic aus dem bier geschilderten Zusammenarbeiten 
niit der Mathematik davongetragen hat. Wenn wir im 
Folgenden den Standpunkt, der erreicht worden war, nicht 
nur als vollendete Thatsache schildern, sondern zugleich 
auch dariiber Recbenschaft ablegen, was den Einzelnen 
zu verdanken 1st und wie sich die Ideen nach und nach 
niit einander verkiipft haben, so stiitzen wir uns dabei 
teils auf die bei den spateren Schriftstellern zerstreuten 
Ausserungen hieriiber, teils auf einen Geschichtsschreiber 
der Mathematik aus dem Schlusse der hier erwahnten 
Periode, den Peripatetiker Eudemus von Rhodus. Wir 
besitzen allerdings auch sein Werk nicht, wohl sind aber 
einzelne wichtige Ausziige daraus bei spateren Schrift 
stellern aufbewahrt worden. Durch ihn, also durch dritte 
Hand, sind wir niit dem oben erwahnteri Bruckstiicke 
des Hippok rates von Chios bekannt gew^orden. 

Es ist ein etwas unruhiges Bild, das die Betrachtung 
der verflossenen drei Jahrhundert in uns hervorgerufen 
hat. Die Mathematik nimmt ihren Anfang an der Kiiste 
Kleinasiens. Darauf lenkt ihre Entwickelung in Siid- 
italien besonders unsere Aufmerksamkeit auf sich. Dann 
zieht Athen durch seine ganze geistige Uberlegenheit auch 
die Mathematiker an sich. Sicher ist auch dauernd an 
anderen Orten gearbeitet worden, wie in Siiditalien, wo 
anderthalb Jahrhunderte nach Archytas den Griechen 
ihr grosster Mathematiker in Archimedes erstehen sollte; 
aber aus der ganzen geistigen Oberherrschaft Athens folgte 
auch, dass die Arbeiten der in Athen lebenden Mathe 
matiker am wenigsten vergessen wurden. Die grosse Ver- 
breitung des mathematischen Stadiums wahrend der hier 
erwahnten Zeit hat ihren Grand teils in den lebhaften 
Handelsverbindungen, die zwischen den zerstreuten Grie 
chen bestanden, teils in den vielen Kriegen und politischen 


1. Historischer Dberblick. 23 

Jnruhen, durch die hervorragende Manner von einem 
Ort zum andern getrieben wurden. Unter ahnlichen Un- 
ruhen haben auch die gewirkt, die an derselben Stelle 
haben bleiben konnen, wie namentlich in Athen. Gleich- 
zeitig werden die Mathematiker allerlei geistige Kampfe 
zu bestehen gehabt haben, sowohl unter sich als auch 
mit Sophisten und Philosophen. 

Unter solchen Umstanden gewann die Mathematik 
nicht nur so grosse Verbreitung iiber manche Gegenden 
und zu alien wissenschaftlichen Forschern, sondern sie um- 
gab sich auch mit dem sicheren Riistzeug in Beweisfuh- 
rung und Darstellungsform, das wir heute noch so hoch 
bewundern. Ja in der Beweisfiihrung konnen wir in der 
Regel nichts besseres thun als sie nachzuahmen ; mit Bezug 
auf die Darstellungsform miissen wir jedoch sagen, dass 
die Sicherheit in dem Grade auf Kosten der Zuganglichkeit 
gewonnen war, dass sie spaterhin mit Schuld daran wurde, 
dass der erreichte hohe Standpunkt nicht bewahrt werden 
konnte, als die miindliche Tradition verloren ging, und dass 
das voile Verstandnis fiir den Tiefsinn der griechischen 
Mathematiker erst in der neueren Zeit hat wiedererworben 
werden konnen, wo die Mathematik, wenn auch immer 
in etwas von der griechischen Mathematik beeinflusst, 
sich allmahlich wieder auf den von den Griechen be- 
handelten Gebieten zu derselben Hohe erhoben hat. 

Der erwahnte Niedergang der Mathematik begann 
jedoch keineswegs, wie es mit der Dichtkunst, der Be- 
redsamkeit und anderen Kiinsten, sowie mit der Philo 
sophic der Fall gewesen war, damals, als die ausseren 
Verhaltnisse sich so wesentlich nach Alexanders der 
Grossen Tode anderten, im Gegenteil, damals trat die 
reichste Bliite der Mathematik ein. Wie bekannt iiber- 
nahrn bei der Teilung des Reiches Ptolemaus, der Sohn 
des Lagus, Agypten mit der neu angelegten Stadt Alex- 


24 Die griechische Mathematik: 

andria, und er und seine Nachfolger machten diese 
nicht nur zu dem wichtigsten Handelscentrum, sondern 
auch zu einem wissenschaftlichen Mittelpunkte ersten 
Ranges. Unter ihm und seinen nachsten Nachfolgern, 
die auch den Narnen Ptolemaus fiihrten, wurde das 
Museum gegnindet, in dem gelehrte Manner ohne Sorge 
fur ihren Unterhalt der Wissenschaft leben konnten. Die 
Ptoleniaer griindeten und vermehrten die alexandrinische 
Bibliothek, in der nach und nach Abschriften von alien 
bedeutenden griechischen Arbeiten, die sich auftreiben 
liessen, gesammelt wurden. Wie an einer modernen Uni- 
versitat versammelten sich die wissbegierigen griechischen 
Jiinglinge in Alexandria und nahmen Unterricht bei den 
dortigen Forschern, namentlich in Grammatik und Mathe 
matik. 

Diese Verhaltnisse konnten nur niitzlich sein fiir die 
Mathematik, die der Ruhe bedurfte, teils urn die vielen 
gewonnenen aber zerstreuten Resultate in festen System en 
zu vereinigen, teils urn die bereits gewonnenen frucht- 
baren Methoden der Betrachtung dazu zu benutzen, sich 
auf noch grossere Hohen zu erheben als bisher erreicht 
waren. Ruhe war erforderlich fur den fortgesetzten 
miindlichen Unterricht, denn ohne diesen wiirde die Form, 
wodurch die Zuverlassigkeit gewahrleistet wurde, grossere 
schriftliche Darstellungen nur wenig zuganglich gemacht 
haben. Da die Mathematik nunmehr zu einer selbstan- 
digen Wissenschaft herangewachsen war, so bedurfte man 
ferner Mathematiker von Fach, die nicht notig batten 
bestandig mit den Philosophen liber ihr Fach zu ver- 
handeln und selbst Philosophic zu treiben. Eine der- 
artige Verteilung der Facher bei den alexandrinischen 
Gelehrten verhinderte jedoch nicht, dass ein und der- 
selbe Mann in mehreren Fachern thatig war. Das war 
z. B. der Fall mit Eratosthenes von Kyrene, der in 


1. Historischer Uberblick. 25 


der letzten Halfte des 3ten Jahrhunderts wirkte und eine 
Zeitlang der alexandrinischen Bibliothek vorstand. Ausser 
mit Philosophic und Sprachwissenschaft beschaftigte er 
sich mit Geographic - - ja mit hoherer Geodasie, in so- 
fern er die erste Gradmessung vornahm - - sowie mit 
Chronologie und Mathematik. Die Ruhe, die den Mathe- 
matikern in Alexandria gegonnt wurde, mochte jedoch 
auch ihre Gefahren mit sich bringen, z. B. was Selbst- 
vergotterung und Kameraderien betraf, und man darf es 
deshalb nicht beklagen, dass Archimedes, der grosste 
Mathematiker der alexandrinischen Zeit, nicht in Alex 
andria lebte, sondern in Syrakus. Von da aus sandte 
er nach und nach sowohl seine fertigen Arbeiten wie 
vorlaufige Resultate nach Alexandria, und da gewisse hier 
lebende Mathematiker sich einige der letzteren dadurch 
aneignen wollten, dass sie sie hinterher bewiesen, so 
fiihrte er sie einmal dadurch an, dass er ihnen einige 
unrichtige Resultate iibersandte - - denn auch diese be 
wiesen sie. Archimedes Aufenthalt ausserhalb Alex 
andria hat iibrigens clen fiir unsere Kenntnis seiner Werke 
niitzlichen Umstand im Gefolge gehabt, dass er vieles 
schriftlich hat abfassen rniissen, wahrend er sich in Alex 
andria damit begniigt haben wiirde, es seinen Umgangs- 
genossen und Schulern mlindlich mitzuteilen, oder es doch 
nur auf eine fiir diese bestimmte Form zu bringen. 

Diejenigen Mathematiker aus dieser Periode, die uns 
bedeutende rein mathematische (geometrische) Werke 
hinterlassen haben, und die sicher auch die librigen tuch- 
tigen Mathematiker der damaligen Zeit bedeutend iiber- 
ragten, sind Euklid, etwa 800 v. Chr., Archimedes, 
t 212, und Apollonius, etwa 200 v. Chr. 

Von Euklid, von dessen personlichem Leben in 
Alexandria man nicht viel weiss, besitzen wir ausser seinen 
bereits genannten Elementen auch eine andere elementare 


26 Die griechische Mathematik: 

Schrift, die gewohnlich mit dem lateinischen Namt&gt;n 
Data bezeichnet wird. Teilweise wcnigstens kennt man 
eine Schrift iiber die Teilung der Figure n, eine astro- 
nomische Schrift, Phaenomena, und eine Optik, die die 
alloresten Elemente der Perspektive behandelt. Verloren 
sind seine vier Biicher iiber Kegelschnitte und seine 
zwei Biicher iiber Oberflachenorter, ferner die Schrift 
iiber Por ism en und eine Schrift liber false he Schliisse. 
Auf den Inhalt dieser Schriften kann man schliessen aus 
spateren Sammlungen von Hiilfssatzen und aus Kommen- 
taren. So haben die Por is men mehrere von den Satzen 
iiber Transversalen und Punktreihen enthalten, die jetzt 
in der projektivischen Geometric behandelt werden. 

Archimedes lebte in Syrakus, wo er ein sehr 
angesehener Mann war, ein Freund des Konigs Hiero. 
Bei der Einnahme von Syrakus durch die Romer fand 
er seinen Tod, nachdem er sein mechanisches Wissen auf 
verschiedene Weise bei Verteidigung der Stadt angewandt 
hatte. Sicherlich hat er seinerzeit Alexandria besucht 
und Verbindungen mit den Mannern angeknupft, clenen 
er spater seine Schriften sandte. Von diesen sind fol- 
gende erhalten: Uber Kugel und Cylinder; Messung 
des Kreises; Uber Konoide und Sphaeroide; Uber 
Spiralen; Uber das Gleichgewicht ebener Figuren; 
Sandrechnung; Quadratur der Parabel und Uber 
Korper, die auf einer Fliissigkeit schwimmen, die 
letzte jedoch nur in lateinischer tlbersetzung. Durch 
spatere griechische Schriftsteller und durch arabische 
Uberlieferung besitzen wir ferner einige Bruchstiicke, von 
denen wir eine Arbeit iiber halbregelmassige Korper und 
eine Reihe geometrischer Satze, Die Archimedischen Hiilfs- 
satze, nennen wollen. Die Hiilfssiitze sind vielleicht 
jedoch zum Teil neueren Ursprungs. 

Apollo n ius von Perga ist sicher in Alexandria 


1. Historischer Uberblick. 27 


Ithatig gewesen. Von ihm sind sieben von den acht Bii- 
chern erhalten, die er iiber die Kegelschnitte geschrieben 
hat; die vier ersten hat man auf griechisch, die drei 
folgenden kennt man durch eine arabische Ubersetzung. 
Auf dieselbe Weise ist uns eine Schrift iiber den Ver- 
haltnisschnitt erhalten, wahrend wir nur durch spatere 
Mitteilungen Kenntnis haben von den Schriften iiber den 
bestimmten Schnitt, den Flachenschnitt, iiber Be- 
riihrungen und Einschiebungen. Apollonius scheint 
auch wesentlich zur Anwendung der Mathematik auf die 
Astronomie beigetragen zu haben. 

Unter der Zeitgenossen, den nachsten Vorgangern 
und Nachfolgern der drei grossen Mathematiker wollen wir 
erwahnen: Aristaus, der etwas alter als Euklid war 
und verloren gegangene Arbeiten iiber raumliche Orter 
und regulare Polyeder geschrieben hat, ferner den 
schon erwahnten Eratosthenes, Nikomedes, der zwi- 
schen Archimedes und Apollonius lebte, sowie Dio- 
kles, Perseus und Hypsikles. Der letzte hat ein 
Buch iiber regulare Polyeder geschrieben, das in die ge- 
wohnlichen Ausgaben des Euklid als 14tes Buch auf- 
genommen zu sein pflegt. Was die iibrigen betrifft, so 
kennen wir von ihnen nur durch Erwahnung bei spateren 
Schiftstellern einige verlorene Schriften oder einzelne Re- 
sultate. 

Auch nach der hier geschilderten Zeit treifen wir auf 
bedeutungsvolle Fortschritte in einzelnen Richtungen der 
griechischen Mathematik, und zwar zunachst in solchen, 
die Anwendung auf die Astronomie finden. Obgleich 
wir uns nicht auf eine Geschichte der Astronomie ein- 
lassen konnen, so wollen wir hier doch einen Uberblick 
geben iiber diejenigen astronomischen Schriftsteller aus 
verschiedenen Zeiten des griechischen Altertums, deren 


28 Die griechische Mathematik: 

Arbeiten eine solche Bedeutung fiir die Mathematik er- 
halten haben, dass wir sie genauer erwahnen miissen. 

Wir haben bereits gesagt, dass Eudoxus, dem die 
Mathematik die tiefsinnigsten Methoden verdankt, auch 
eine griechische, wissenschaftliche Astronomie begriindete. 
Diese erfuhr jedoch bald eine Beeinflussung von aussen 
her, denn der Eroberungszug Alexanders des Grossen 
machte die Griechen mit der alten chaldaischen Astrono 
mie bekannt. Die grossen alexandrinischen Mathematiker 
waren, wie schon erwahnt, zugleich Astronomen. Zwischen 
diese, und zwar zwischen Euklid und Eratosthenes, 
haben wir A ri starch von Samos (etwa 270 v. Chr.) ein- 
zuschieben, der bereits diejenige Hypothese iiber das Welt- 
system aufgestellt hatte, die anderthalb Jahrtausende spater 
von Koppernikus bewiesen wurde. Die Arbeiten des 
Eratosthenes in der mathematischen Geographic mussten 
sich unter anderem als niUzlich erweisen fiir die Reduk- 
tion der Beobachtungen, die von chaldaischen Astronomen 
an anderen Orten ausgefiihrt worden waren. Apollonius 
verdankt man gewiss nicht wenige der geometrischen Vor- 
aussetzungen, die den Fortschritten in Beobachtung und 
Berechnung zu Grunde lagen, die in der nachfolgenden 
Zeit von den griechischen Astronomen welter entwickelt 
wurden. Seine nachsten Nachfolger waren wohl noch in 
Alexandria thatig, aber der Mann, der die hochste Stelle 
unter den griechischen Astronomen eingenommen hat, 
Hipparch von Nikaa (etwa 150 v. Chr.), beobachtete 
auf Rhodus. Er benutzte unter anderem die uralten 
chaldaischen Beobachtungen in erschopfender Weise, und 
ungefahr von seiner Zeit an hat sich morgenlandischer 
Einfluss auch ausserlich gezeigt durch Teilung des Kreises 
in 360 und durch allgemeine Benutzung des Sexagesimal- 
systemes bei astronomischen und trigono.metrischen Be- 
rechnungen. Unter den spateren Astronomen ist in der 


1. Historischer Uberblick. 29 

Geschichte der Mathematik Menelaus von Alexandria 
aus der letzten Halfte des ersten Jahrhunderts n. Chr. 
zu nennen, und namentlich der ein halbes Jahrhundert 
jiingere Ptolemaus, durch dessen Grosse Zusammen- 
stellung (jueydty avvta&g), am bekanntesten unter dem 
entstellten arabischen Namen Almagest, wir die griechi- 
sche Astronomic (mit dem sogenannten ptolemaischen 
Weltsystem) nnd die da mit verbundene Trigonometrie am 
vollstandigsten kennen. Das meiste von dem, was sich 
bei ihm findet, riihrt namlich von alteren Astronomen 
her, besonders von Hipp arch, von dem keine Schrift 
erhalten geblieben 1st. 

Wahrend die Anwendung auf Astronomic auch nach 
der Zeit der grossen Mathematiker eine fordernde Riick- 
wirkung auf die eigene fernere Entwickelung der Mathe 
matik ausgeiibt hat, so ist das nicht in irgendwie hervor- 
tretender Weise mit der Anwendung auf Landmessung 
und praktische Mechanik der Fall gewesen. Die theo- 
retische Grundlage fur das Landmessen war bereits in 
der griechischen Geometric vorhanden, und das, was von 
theoretischer Mechanik aus dem Altertum herruhrt, ist 
am klarsten und vollstandigsten von Archimedes ent- 
wickelt worden. Dass dieser und seine Zeitgenossen zu- 
gleich bedeutende praktische Anwendung von der Mecha 
nik gemacht haben, wissen wir aus spateren Berichten, 
und dass die griechische Geometric von Anfang an An 
wendung auf das Landmessen gefunden hat, das geht 
sowohl aus ihrem agyptischen Ursprunge wie aus ihrem 
Namen hervor. Dieser bedeutet namlich geradezu Land 
messung, wenn auch das praktische Landmessen bereits 
zu Aristoteles Zeiten den besonderen Namen Geodasie 
fiihrte. Zugleich wurde das Landmessen sowohl wie die 
Logistik oder Rechenkunst von den eigentlichen Geo- 
metern als un wissen schaftlich bei Seite gelassen. Des- 


30 Die griechische Mathematik. 

halb wird in Euklids Elementen ebenso wenig Riicksicht 
genommen auf das Landmessen wie auf andere Anwen- 
dungen der Mathematik, die zu numerischen Bestimmungen 
fuhren. 

Eine bedauerliche Folge hiervon ist die, dass wir 
keine direkte Kenntnis davon haben, wie man es in den 
besten Tagen der griechischen Mathematik verstand, die 
Ausbeute dieser Wissenschaft praktisch zu verwerten. 
Auskunft hieriiber miissen wir, ausser bei den astronomi- 
schen, bei noch spateren Schriftstellern suchen. Unter 
diesen ist besonders Hero von Alexandrien zu nennen, 
dessen Lebenszeit man bis jetzt kurz nach der besten 
alexandrinischen Zeit gesetzt hatte, der aber nach den 
neuesten Forschungen fruhestens im 2ten Jahrhundert n. Chr. 
gelebt zu haben scheint. Seine Arbeiten, in denen rich- 
tige griechische Methoden und Formeln neben agyptischen 
Naherungsformeln von verschiedenem Werte vorkommen, 
haben eine wichtige Rolle gespielt als Anleitung zum 
Feldrnessen und zu anderen praktischen Anwendungen 
der Geometrie wahrend der langen Zeitraume, wo man 
nicht verstand in die exakte griechische Geometrie ein- 
zudringen oder sie iiberhaupt nicht kannte. Was sie da- 
fur namentlich geschickt macht, ist der Umstand, dass 
sie zahlreiche numerische Aufgaben behandeln. Eben 
hierauf beruht auch Hero s Bedeutung fur die Geschichte 
der Mathematik, da er uns doch zu einer leidlichen Vor- 
stellung davon verhilft, w 7 ie weit und auf welche Weise 
die Zahlenrechnungen, zu denen die wissenschaftlichen 
Resultate der griechischen Geometrie fiihren miissen, wirk- 
lich ausgefiihrt worden sind. Schade nur, dass man so 
wenig dariiber weiss, in welchem Umfange die bei Hero 
vorgefundenen Methoden des Rechnens in Gebrauch ge- 
wesen sind, als die griechische Geometrie sich auf ihrer 
hochsten Hohe befand, und in welchem Umfange sie erst 


1. Historischer Uberblick. 31 

durch die auch nach jener Zeit dauernd von ihnen ge- 
machte Anwendung entwickelt worden sind. 

Die Entwickelung derjenigen Seiten der griechischen 
Mathematik, denen sie ihre eigentliche Grosse verdankt, 
war indessen schon vor dem Beginn unserer Zeitrechnung 
zum Stillstand gekommen. Um die Grande hierfur zu 
verstehen, die in der eigenen Beschaffenheit der griechischen 
Mathematik lagen, miissen wir diese selbst zuerst kennen 
lernen. Hier konnen wir nur hervorheben, dass die giin- 
stigen ausseren Verhaltnisse, unter denen im ersten Teile 
der alexandrinischen Periode gearbeitet worden war, auf- 
gehort batten. Die Gelehrten waren bereits weniger gut 
gestellt unter einzelnen der spateren Ptolemaer als unter 
den ersten Konigen dieses Namens; aber die giinstigen 
Verhaltnisse horten ganz auf, als die Homer in der Mitte 
des letzten Jahrhunderts v. Chr. Herren in Alexandria 
wurden, wie sie es an den meisten anderen Orten ge- 
worden waren, wo Griechen ansassig waren. In der 
Mathematik zeigten sie sich namlich keineswegs als lern- 
begierige Schiller der Uberwundenen. Im Laufe der Zeiten 
erlitt die alexandrinische Bibliothek, die dazu bestimmt 
gewesen war die gewonnene wissenschaftliche Ausbeute 
aufzubewahren, verschiedene Feuersbriinste. Wenn Alex 
andria nichtsdestoweniger fortfuhr der Ort zu sein, wo das 
Verstandnis der alten Mathematik sich am besten erhielt, 
gelegentlich auch starker aufleuchtete, so hangt das sicher- 
lich damit zusammen, dass dies immer noch der Ort war, 
wo die meisten Arbeiten aufbewahrt wurden. So lebte 
dort Pappus am Ende des 3ten Jahrhunderts n. Chr.; 
er war gewiss kein grosser Mathematiker im Vergleich 
mit denen, die zu den Zeiten der Ptolemaer an derselben 
Stelle thatig gewesen waren, aber seine mathematischen 
Sammlungen sind von unschatzbarer Bedeutung gewor- 
den durch die Aufklarungen, die sie uns direkt oder 


32 Die griechische Mathematik : 

indirekt durch Reihen von Hiilfssatzen iiber jetzt verlorene 
Werke der grossen griechischen Mathematiker gebracht 
haben. 

In einem einzelnen Zweige der Mathematik ist jedoch 
noch zu Pappus Zeit etwas Neues hervor gebracht wor- 
den, namlich in der Arithmetik. Aus der Zeit zwischen 
den grossen Mathematikern nnd Pappus besitzen wir 
Arbeiten von mehreren arithmetischen Schriftstellern, 
unter denen namentlich Nikomachus (etwa 100 n. Chr.) 
grossen Ansehen genoss. Er hat eine erhaltene Ein- 
fiihrung in die Arithmetik geschrieben. Dass er und 
einige andere arithmetische Schriftsteller uns etwas Neues 
haben bringen konnen, hat seinen Grund zunachst wohl 
darin, dass weitergehende arithmetische Untersuchungen 
nicht in den Rahmen der Arbeiten hineinpassten, die uns 
aus der besten Zeit aufbewahrt sind. Dagegen nehmen 
die Arbeiten, welche wir von Pappus Zeitgenossen Dio- 
phant besitzen, eine derartige Sonderstellung ein, dass wir 
darin eine wirkliche Erweiterung der griechischen Mathe 
matik erblicken mussen. Von seiner Hand ist uns das Meiste 
von einem grossen Werke iiber arithmetische Dinge 
erhalten ; ob eine kleine Schrift iiber Polygonalzahlen einen 
Teil dieser grosseren ausgemacht hat, wissen wir nicht. 


2, Die pythagoreische Mathematik, 

Wenn wir uns nun dem mathematisclien Inhalt der 
griechischen Geometrie zuwenden und mit der altesU ii 
Zeit beginnen, so erfahren wir iiber das Bte Jahrhundert 
nur ausserordentlich wenig. Allerdings schreibt Eudemus 
dem Thales verschiedene Satze zu. Unter diesen kann 
er recht wohl den gekannt haben, dass der Peripherie- 
winkel auf dem Halbkrcise ein Rechter ist, einerlei ob 


2. Die pythagoreische Mathematik. 33 

er ihn selbst gefunden oder von den Agyptern erhalten 
hat; denn der Satz ergiebt sich ohne weiteres aus der 
leicht erkennbaren Thatsache, dass sich um ein Rechteck 
ein Kreis beschreiben lasst. Dagegen 1st es schwierig 
irgend welchen Sinn darin zu finden, werm Eudemus 
dem Thales den Satz zuschreibt, dass ein Kreis von 
einem Durchmesser halbiert wird, denn man kann kaum 
damit begonnen haben etwas so in die Augen fallendes 
zu beweisen. Eudemus kann jedoch gemeint haben, 
dass Thales notwendigerweise denselben Satz gekannt 
haben miisse, der zu Eudemus eigenen Zeiten fur not- 
wendig angesehen wurde, um den Satz iiber Peripherie- 
winkel im Halbkreise zu beweisen. Auf ahnliche Weise 
kann es sich mit den gleichfalls von Eudemus genann- 
ten Satzen verhalten, dass Scheitehvinkel oder Winkel an 
der Grundlinie eines gleichschenkeligen Dreiecks gleich gross 
sind, oder dass ein Dreieck durch eine Seite und die 
beiden anliegenden Winkel bestimmt 1st. Der letzte Satz 
namentlich erhalt erst seine Bedeutung als theoretischer 
Satz, wenn er in seiner naturlichen Verbindung mit ande- 
ren ahnlichen erscheint. Da iiber Thales Bekanntschaft 
mit solchen nichts mitgeteilt wird, so hangt die Sache 
vielleicht damit zusammen, dass die Tradition dem Tha 
les gewisse praktische Operationen beigelegt hat, zu deren 
theoretischer Begriindung dieser Satz notwendig ist. Hier- 
bei kann man denken an die dem Thales zugeschriebene 
Bestimmung des Abstandes von unzuganglichen Punkten 
oder Hohenmessung durch Schatten. Der Satz wurde zu- 
nachst darauf hindeuten, dass diese Messungen mit Hiilfe 
kongruenter Dreiecke ausgefiihrt worden sind. Die von 
den Agyptern vorgenommene Bestimmung der Neigung 
einer Pyramidenkante deutet darauf hin, dass sie dazu 
ahnliche Dreiecke zu benutzen verstanden, also welter 
waren als Thales; diesem fallt aber doch die Ehre zu, 

3 


34 Die griechische Mathematik: 

zuerst unter den Griechen mathematische Untersuchungen 
aufgenommen zu haben. Wieweit man ausserdem im 
(Hen Jahrhundert gekommen war, das sieht man am 
besten aus dem, worauf man im nachsten Jahrhundert 
weiter bauen konnte. Wenn die Pythagoreer beispielsweise 
die 5 regularen Polyeder entdeckten, so hat das jeden- 
falls mehr als unbedeutende, von ihren Vorgangern ent- 
Avickelte, geometrische Voraussetzungen erfordert. 

Weit mehr befriedigende Mitteilungen liegen vor uber 
die Mathematik der Pythagoreer. Sind diese auch nicht 
nur unzuverliissig mit Bezug auf das, was dem Meister an- 
gehort und was den Schiilern, sondern auch vielleicht 
geneigt den Pythagoreern vieles zuzuerkennen, was nur zu 
ihrer Zeit bekannt wurde, so geben sie doch demjenigen, 
der mit der spateren griechischen Mathematik vertraut 
ist, ein so zusamrnenhangendes, deutliches und verstand- 
liches Bild von ihrer ersten Entwicklungsstufe, von den 
Bestrebungen, die friih rege waren und spater so deutliche 
Spuren in der griechischen, ja in der spatern Mathematik 
iiberhaupt, hinterlassen haben, dass sie es verdienen zu- 
sammengestellt zu werden. Dadurch wird man die Grund- 
lage fiir die folgenden Arbeiten am Schlusse desselben 
Jahrhunderts erhalten und zugleich erreichen, deren Zweck 
richtig zu verstehen, und dabei wird auch die Gestalt, 
die man, narnentlich im folgenden Jahrhundert, der Mathe 
matik gab, ihre Erklarung finden. 

Nach dem Bericht des Eudemus haben die Pytha 
goreer zunachst die Geometric zu einer wirklichen 
\Vissenschaft erhoben, indem Pythagoras ihre Grund- 
lage von einem hoheren Gesichtspunkte aus betrachtete 
und ihre Lehrsatze rnehr immateriell und intellektuell er- 
forschte. Er hat ferner die irrationalen Grossen entdeckt 
und die Konstruktion der kosmischen Figuren (der regu 
laren Polyeder). Zu den specielleren Nachrichten, die 


2. Die pythagoreische Mathematik. 35 

r ir anderen Schriftstellern verdanken, gehort - - ausser 
jinigen mehr philosophischen als mathematischen Defini- 
tionen von Punkt, Linie, Flache und Korper - - auch 
die, dass die Pythagoreer die VVinkelsumme des Dreiecks 
kannten und die Einteilung der Ebene in (wahrscheinlich 
regulare) Polygone, von denen um einen Punkt herum 6 
Dreiecke oder 4 Vierecke oder 3 Sechsecke liegen konn- 
ten. Sie sollen die sogenannte Flachenanlegung er- 
funden haben, worunter man, wie wir sehen werden, die 
Auflosung quadratischer Gleichungen in geometrischer 
Form verstand, und die bekannte Konstruktion eines 
Polygons, das einem gegebenen gleich und einem anderen 
ahnlich ist. Von einem Pythagoreer wird erzahlt, dass er 
sich des Verbrechens gegen die Schule schuldig machte, 
den Satz von 12 Funfecken in einer Kugel zu verraten. 
Endlich kann angefuhrt werden, dass als pythagoreisches 
Zeichen das sogenannte Pentagramm angegeben wird, ein 
regelmassiges Sternfiinfeck, dessen Seiten in dem umbe- 

schriebenen Kreise Sehnen zu Bogen von der Grosse 

o 

sind. Wahrend einzelne Falle des Satzes, der noch heu- 
tigen Tages der pythagoreische genannt wird, gewiss schon 
friiher bekannt gewesen sind, wird der allgemeine Satz 
den Pythagoreern zugeschrieben ; ferner eine von den Re- 
geln, nach denen man rationale Zahlen fiir die Seiten 
eines rechtwinkeligen Dreiecks bilden kann, namlich die 

Zahlen a, - und ~~ , worin a eine ungerade Zahl 

( a \2 /\ 2 

- J 1 und f 1 + li 

worin a eine geradeZahl bedeutet, dem Plato zugeschrieben 
werden. Es wird berichtet, dass die Pythagoreer die drei 
Proportionen kannten, namlieh die arithmetische , die 
geometrische und die harmonische, ferner die Dreiecks- 

3* 


36 Die griechische Mathematik: 

zahlen, d. h. die Summen der ersten Zahlen der natur- 
lichen Zahlenreihe, und dass sie sich iiberhaupt mit Diffe- 
renzreihen beschaftigten. Endlich wird berichtet, dass 
Pythagoras die Zahl zum Princip aller Dinge gemaeht 
habe, und dass die Pythagoreer sich mit Untersuchungen 
liber gewisse ganze Zahlen beschaftigt haben, wie &lt; be- 
freundete Zahlen , von denen die eine gleich der Summe 
der Faktoren der anderen ist, und vollkommene Zahlen , 
die gleich der Summe ihrer eigenen Faktoren sind (wie 
6 = 1 + 2+- 3). Endlich soil Pythagoras Arithmetik 
und Musik mit der Geometric in Verbindung gebracht 
haben. 

Wir werden ausfiihiiicher tiber mehrere von diesen 
Gegenstanden und ihre Bedeutung fur die griechische 
Mathematik sprechen, wollen aber erst kurz den Zusam- 
menhang zwischen ihnen nachweisen und die gute Uber- 
einstimmung zwischen den Angaben, die aus Quellen von 
verschiedenem Werte stammen. 

Zunachst sei auf das Bestreben hingewiesen, die Be- 
griffe Punkt, Lime u. s. w. klar von einander zu schei- 
den. Es ergiebt sich auch, dass man bereits im Besitze 
des Winkelbegriffs war. Hiervon hat man Anwendung 
gemaeht sowohl bei der Teilung der Ebene als bei der 
Untersuchung dariiber, welche regular en Polyeder iiber 
haupt moglich waren. Sicherlich war viel Arbeit zu lei- 
sten, bevor man zu einer so vollkommenen Bestimmung 
und Konstruktion auch vom Dodekaeder und Ikosaeder 
gelangte wie die ist, die wir bei Euklid finden; aber der 
erste Schritt hierzu, die Konstruktion des regelmassigen 
Fiinfecks, war gemaeht, und man war sichtlich stolz dar- 
auf, soweit gekommen zu sein. In der Konstruktion der 
Fiinfecks- oder Zehnecksseite haben wir bereits dasjenige 
Beispiel fur die geometrische Auflosung einer Glei- 
chung zweiten Grades, welches die grosste Rolle bei 


2. Die pythagoreische Mathematik. 37 


Iuklid spielt. Dass die Pythagoreer indessen bei 
esem einen Falle nicht stehen geblieben sind, geht nicht 
ir aus der allgemeinen Erwahnung der Flachenanlegung 
jrvor, sondern auch aus der besonderen Erwahnung des 
fur diese Untersuchungen, wie wir sehen vverden, so be- 
deutungvollen pythagoreischen Lehrsatzes und einer 
dafur eben so wichtigen Konstruktion. Daran hat sich 
denn auch die Entdeckung angeschlossen, dass Gleichun- 
gen zweiten Grades Veranlassung gaben zu inkommen- 
surablen, numerische Gleichungen zu irrationalen Gros- 
sen (worunter wir bestandig solche verstehen wollen, die 
mit der gebrauchten Einheit inkommensurabel sind). 
Wenn auch ein Teil ihrer zahlentheoretischen Untersu 
chungen eine Fortsetzung der Zahlenmystik der Babylonier 
gewesen sein mag, so ging doch ein anderer Teil darauf 
aus solche quadratische Gleichungen zu bilden, bei denen 
die Irrationalitat vermieden wird. 

Bei allgemeinen Untersuchungen lassen sich irratio- 
nale Grossen nun einmal nicht vermeiden. Dadurch 
wurden aber die bis dahin benutzten mathematischen Be- 
grundungen unzuverlassig, und es 1st das grosse Verdienst 
der Pythagoreer hierauf aufmerksam geworden zu sein. 
Man kannte namlich wohl Proportionen und hat sie 
wahrscheinlich in der einen oder anderen Form schon 
friih angewandt; aber vor Eudoxus Zeit konnte hierbei 
nur die Rede sein von Gleichheit der Verhaltnisse zwischen 
ganzen Zahlen, oder von der Gleichheit solcher Verhalt 
nisse mit den Verbal tnissen zwischen geometrischen Grossen, 
die folglich kommensurabel sein mussten. Man benutzte 
die einfachen Rechnungsarten, z. B. die Multiplikation, 
und wusste edenso wie die Agypter, dass z. B. ein Recht- 
eck, wenn die Flacheneinheit das Quadrat iiber der 
Langeneinheit ist, gleich dem Produkte der Seiten wird ; 
wenn aber die Seiten inkommensurabel sind, so wird nicht 


38 - Die griechische Mathematik: 

nur der Beweis durch Einteilung in Quadrate unbrauch- 
bar, sondern der Satz selbst wird sinnlos, da es dem 
beim gewohnlichen Rechnen gebildeten Begriffe eines Pro- 
duktes widerstreitet, wenn die Faktoren irrationale Zah- 
len sind. 

Diese Schwierigkeit war es, die die Pythagoreer und 
mit ihnen die folgenden griechischen Mathematiker iiber- 
wanden durch geometrische Darstellung der all- 
gemeinen Grosse. 1m ersten Augenblick kann es aller- 
dings so aussehen, als ob hiermit nur wenig gewonnen 
sei, da eine beliebig gezeichnete Strecke ebensowohl eine 
bestimmte Grosse hat wie eine beliebig gewahlte Zahl. 
Die gezeichnete Figur dient jedoch nur dazu die Figur 
festzuhalten, die beschrieben wird, und in dieser konnen 
die Grossen alle die Werte annehmen, die zu der Beschrei- 
bung stimmen. Die Darstellung einer Grosse durch die 
Lange einer Strecke kann dadurch, ebenso wie die in der 
Algebra gebrauchliche Darstellung durch einen Buchstaben, 
auf kontinuierlich variierende Grossen angewandt werden. 
Die Griechen wussten allerdings ebensowenig etwas von 
negativen wie von imaginaren Grossen; aber das Bediirf- 
nis nach den ersteren wird dadurch etwas verringert, dass 
die Variationen der Figur teilweise dieselben Verallgemeine- 
rungen darbieten konnen, die wir nun durch Benutzung 
negativer Grossen erreichen. 

Aus diesen Bemerkungen lasst sich erkennen, dass 
die Operationen mit den geometrisch dargestellten Grossm 
eine ahnliche Rolle spielen wie unsere algebraischen Ope 
rationen. Wir wollen deshalb die Lehre von diesen geo- 
metrischen Operationen die geometrische Algebra 
nennen. Diese soil hier so dargestellt werden, wie wir 
sie kennen teils aus dem zweiten Buche von Euklids 
Elementen, teils aus der Anwendung, die iiberall von ihr 
in der griechischen Mathematik gemacht wird, namentlich 


2. Die pythagoreische Mathematik. 39 

i, wo man jetzt Gleichungen zweiten Grades benutzt. 
Sowohl bei Euklid als auch bei anderen liegt die geo 
metrische Algebra so vielen Dingen zu Grunde, dass sich 
auch hieraus ein Beweis ergiebt fur das hohe Alter, das 
wir ihr in Ubereinstimmung mit dem Bericht iiber die 
Bekanntschaft der Pythagoreer mit der Flaclienanlegung 
beilegen. Ihre Anwendbarkeit auf beliebige Grossen, irra- 
tionale sowohl wie rationale, und ihre hieraus folgende 
abstrakte Natur stimmt gut zu der Ausserung des Eude- 
mus iiber Pythagoras immaterielle Behandlung der 
Geometric. 

Es ist jedoch wohl moglich, dass diese abstrakte 
Natur nicht von vornherein so bewusst und ausgepragt 
gewesen ist, wie sie es zu Eudemus Zeit geworden war 
und bei Euklid ist. Irn Gegenteil ist es natiiiiich und 
wohl ubereiiistimmend mit den Berichten iiber die Ver- 
kniipfung von Geometrie und Arithmetik durch die Py 
thagoreer, wenn man annimmt, dass die entsprechende 
geometrische Behandlung ganzer Zahlen, die bei Euklid 
zum Teil als eine Anwendung der allgemeineren geometri- 
schen Algebra auftritt, vorangegangen ist. In den nahe- 
liegenden geometrischen Darstellungen von Eigenschaften 
ganzer Zahlen, mit denen man begonnen hat, hat man 
dann eine Darstellungsform gehabt, die von selbst ebenso 
leicht auf allgemeine kontinuierliche Grossen anwendbar 
war. Dessen ist man sich jedoch nur erst ganz allmah- 
lich bewusst geworden. A us diesem Grunde wollen wir 
zuerst reden iiber die geometrische Arithmetik der 
Griechen als Einleitung zu ihrer geometrischen Algebra. 


40 Die griechische Mathematik: 


3, Die geometrische Arithmetik, 

In unseren Lehrbiichern findet man durchgehends 
einen geometrischen Beweis fiir den Satz, dass in einem 
Produkte von ganzen Zahlen die Reihenfolge der Faktoren 
beliebig ist. Dieser besteht darin, dass man die Einheiten 
oder die Punkte, die diese darstellen, in Form eines 
Rechtecks hinschreibt. Jede horizontale Reihe enthalt 
die Einheiten des Multiplikanden, und die Anzahl der 
Reihen ist der Multiplikator. Die Vertauschung der hori- 
zontalen Reihen mit den vertikalen ergiebt dann die Ver- 
tauschbarkeit der Faktoren. Benutzt man statt der Ein 
heiten kleine Quadrate mit der Seite 1, so hat man gleich- 
zeitig den geometrisohen Satz bewiesen, dass die Grosse 
eines Rechtecks durch das Produkt der Seiten ausgedruckt 
wird. Unterlasst man dagegen eine bestimmte Einheit 
zu wahlen, so erhalt man, wenn die Seiten kommensu- 
rabel sind, den Satz, dass zwei Rechtecke sich wie die 
Produkte ihrer Seiten verbal ten. 

Von dieser Darstellung riihrt die bei den Griechen 
allgemein gebrauchliche Benennung ebene Zahlen her 
fiir solehe, die aus zwei Faktoren zusammengesetzt sind, 
also eine rechteckige Flache bilden, und die noch jetzt 
gebrauchliche Quadratzahl. Ebene Zahlen heissen iihn- 
lich, wenn ihre Faktoren proportional sind; sie verhalten 
sich dann wie zwei Quadratzahlen. 

Aus dem Quadrat, das eine gewisse Quadratzahl (rc 2 ) 
darstellt, erhalt man die nachste (rc-|-l) 2 , indem man 
langs den beiden Seiten 2 n neue kleine Quadrate legt 
und noch eins in den dadurch entstehenden einspringen- 
den Winkel. Diese gauze Erganzungsfigur, sowie im all- 
gemeinen eine Figur, die die Differenz zwischen zwei per- 
spektivisch ahnlichen Figuren mit einem Eckpunkt als 


3. Die geometrische Arithmetik. 


41 


Jmlichkeitspunkt darstellt, heisst ein Gnomon. Im vor- 
liegenden Falle ist dieser 2n-\-l. Man findet auf diese 

r eise, dass die Quadratzahlen sich als Summen der ersten 
mgeraden Zahlen bilden lassen. Lasst man 2n-\- 1 selbst 
dne Quadratzahl sein, so erhalt man diejenige Bestim- 

mng der rationale!) Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks, 

ler diejenige Losung der unbestimmten Gleichung 

ganzen Zahlen, die(S. 3 5) dem Pythagoras zugeschrieben 
irde. Diejenige, welche Plato zugeschrieben wurde, er- 
alt man dadurch, dass man dern Gnomon die Breite 2 giebt. 
Wenn man dem Gnomon eine beliebige Breite giebt, 
erhalt man die allgemeinste Losung der eben genann- 
m Gleichung in ganzen Zahlen. Um dies zu erreichen, 
mutzt Euklid im Isten Hiilfssatze zu Satz 28 des lOten 
Juches eine Umformung, die in unserer algebraischen 
jprache am nachsten einer Einfuhrung der neuen Unbe- 
innten z-\-x = u, z x=-=v (d.h. Breite des Gnomons 
p) entsprechen wur- 
le;Mpinussdanngleich A_ 
einem Quadrat^ 2 sein. 
Um uns enger an Eu- 
kli^d anzuschliessen, 
der sich in diesem 
Falle auf die in sei- 
nem 2 ten Buche ent- 


B D 


M 


wickelte geometrische 

Algebra stiitzen kann, wollen wir aus dieser bereits hier 
den 6ten Satz des 2ten Buches, zu dem wir bald gelangen 
werden, anfiihren. Dieser sagt aus (vergl. im Folgenden 
S. 48), dass, wenn C Mittelpunkt der Strecke A B, D ein 
Punkt ihrer Verlangerung ist, 


(d. h. mit den oben benutzten Zeichen: 


a? 2 ). 


Die griechische Matheraatik. 

- -len hier alle .Strecken gauze Zahlen darstelle: 
miissen zunachst AD(=u) und BD(=c] beide entweder 
gerade oder beide ungerade Zahlen sein, damit A B = 1 
(oder u v = 2 x) gerade werden kann. Die notwendige 
und ausreichende Bedingung dafiir, dass der Gnomon 
AD . BD eine Quadratzahl wird, ist demnachst die, 
A D und BD ahnliche Zahlen darstellen, oder in un~ 

he, dass AD = am*, BD=an 2 1 also 

m 2 - n- 
; = L D = a -, x = L B= a , y = a 

Aus einer sole-hen Darstellung von Zahlen durch 
Rechtecke und Quadrate hat sich, wie wir sehen werden, 
die Grundlage fur die geometrische Algebra entwickelt: 
aber die geometrische Arithmetik hat auch andere Figuren 
benutzt. Wir haben gesehen, dass den Pythagoreern 
die Kenntnis der Dreieckszahlen zugeschrieben wurde. 
Unter diesen versteht man Surnmen der ersten Zahlen 
der natiirlichen Zahlenreihe, und zwar setzt man die 
Einer der einzelnen Zahlen als Reihen von Punkten unter- 
einander, so dass sie ein Dreieck bilden. Man sieht leicht, 
wie diese Darstellung sich zu einer wirklichen Berechnung 
hat benutzen las.ren. Man brauchte namlich nur ein 
zweites kongruentes, aus Punkten gebildetes Dreiecv 
an das erste zu legen, dass beide zusammen ein Parallelo 
gram bildeten. Da nun in jeder Reihe gleich viele Pi; 
liegen (n -f- 1 bei n Reihen von Zahlen), so wird die 
zahl aller Punkte des Parallel ogramms, also das Dop] 
der Dreieckszahl, n n 1;. U dieses Ver- 

fahren ganz dasselbe 1st wie das algebraische, bei dem 
man die arithmetische Reihe in umgekehrter Ordnung 
zu sich selbst addiert. 

Da die Einheit, die in dieser Reihe die Differei;/ 
willkiirlich gewahlt werden kann, und da ein konstanter 


3. Die geometrische Arithmetik. 43 

iddend in jedem Gliede nur ein Produkt giebt, das zur 
Summe hinzugefugt werden soil, so hat man nun leicht 
eine beliebige arithrnetische Reihe summieren 

konnen. Ubrigens kann man die | | _ i H 

Differenz auch wie in der neben- 

stehenden Figur als eine Strecke , H | \ i 

abtragen, die unmittelbar eine be 
liebige Grosse bezeichnet. Aus einer " 
weitergehenden Untersuchung von arithmetischen Reihen, 
die Archimedes in seiner Schrift iiber die Spiralen vor- 
mmrnt, ergiebt sich, dass die Summation auf die an- 
gedeutete Weise vorgenommen worden ist. 

Indera wir uns zuriickwenden zur Darstellung der 
Einer durch Punkte, wollen wir noch ein, namentlich 
durch Nikomachus bekanntes, Mittel erwahnen zur geo- 
metrischen Darstellung arithmetischer Reihen mit dem 
Anfangsglied 1 und einer beliebigen ganzen Zahl (n 2) 
als Differenz. Dieses besteht in der Anwendung der so- 
genannten Potygonalzahlen (/i-eckszahlen). Man tragt das 
zweite Glied (n 1) durch Punkte ab, die mit einem 
festen Punkte ein n-eck bilden. Fiir den festen Punkt 
als Ahnlichkeitspunkt wird dieses Vieleck zu einer Reihe 
ahnlicher ra-ecke erganzt durch eine Reihe von Gnomonen, 
von denen jeder ein Glied der Reihe darstellt. Ftir n = 4 
erhalt man die Viereckszahlen, oder, da die Gestalt des 
Vierecks gleichgiiltig ist, die oben genannten Quadrat- 
zahlen. 

Die hier erwahnte geometrische Arithmetik hat man 
auch auf den Raum ausgedehnt. Raumliche Zahlen 
sind solche, die durch ein Parallelepipedon dargestellt 
werden, also Produkte aus 3 Faktoren. Sind diese gleich 
gross, so erhalt man Kubikzahlen. Bei zwei ahnlichen 
raumlichen Zahlen sind die Faktoren proportional; ihr 
Verhaltnis ist also gleich dem zwischen zwei Kubikzahlen. 


44 Die griechische Mathematik: 

Eine Pyramidalzahl 1st die Summe einer Reihe von 
n-eckszahlen, anfangend rait 1. Die Vielecke denkt man 
sich iiber einander gelegt, so dass sie eine Pyramide 
(einen Kugelhaufen) bilden. 


4, Die geometrische Algebra. 

Eine allgemeine, rationale oder irrationale Grosse 
lasst sich erstens durch die Lange einer (geradlinigen) 
Strecke darstellen. Addition und Subtraktion der in dieser 
Weise dargestellten Grossen findet statt durch Abtragen 
der einen Strecke auf der anderen oder auf ihrer Ver- 
langerung. Ein Beispiel fiir die wirkliche Benutzung dieser 
Darstellung haben wir soeben gehabt in der Summation 
arithrnetischer Reihen, die wir bei Archimedes kennen 
lernten. Sie lasst sich iiberhaupt benutzen zur Veran- 
schaulichung von Gleichungen ersten Grades mit ganzen 
Koefficienten oder nur mit rationalen, da sich diese 
zu ganzen machen lassen. 

Multiplikation von zwei allgem einen Grossen hat 
nach ihrer unmittelbaren Bedeutung keinen Sinn. Man 
half sich indessen dadurch, dass man die geometrische 
Darstellung eines Produktes von zwei ganzen Zahlen, die 
wir bereits kennen gelernt haben, auf allgemeine Grossen 
ubertrug. Jedoch erweiterte man nicht, wie in der mo- 
dernen Mathematik, die arithmetischen Begriffe Multipli 
kation und Produkt, sondern statt von einem Pro- 
dukte der allgemeinen Grossen sprach man von dem 
Rechteck aus den beiden Strecken, die die Faktoren dar 
stellen, und mit diesem Rechteck nahm man die Opera- 
tionen vor. Als Anleitung fiir die Behandlung konnte 
man indessen, wegen der hiermit gleichartigen Darstellung 
von wirklichen Produkten ganzer Zahlen, bestandig die 


4. Die geometrische Algebra. 45 

ithmetische Behandlung dieser benutzen. Es kann des- 
ilb nicht irrefiihrend sein, wenn ich im Folgenden mit 
und a 2 das Rechteck aus a und b und das Quadrat 
iber a bezeichne. 

Auf diese Weise hat man erne zweite geometrische 
Darstellung von Grossen erhalten, namlich als Flachen, 
vorlaufig von Rechtecken und Quadraten. Um sie addieren 
t und subtrahieren zu konnen, musste man ihnen eine ge- 
meinschaftliche Seite verschaffen, und zwar musste dies 
ohne Benutzung der Lehre von den Proportionen geschehen, 
denn diejenige, die man im 5ten Jahrhundert besass, war 
auf den ausschliesslichen Gebrauch von kommensurablen 
Grossen gegriindet. Die Einfiihrung einer neuen Seite in 
ein Rechteck wurde mit Hiilfe des folgenden Satzes vor- 
genommen. Ein Rechteck wird durch Parallelen zu den 
Seiten, die durch einen Punkt derselnen Diagonale gehen, 
in vier Rechtecke geteilt, von denen die beiden, durch 
welche die Diagonale nicht geht, gleich sind (vergl. im 
Folgenden die Figuren auf S. 46 48, wo man sich dann 
im gegenwartigen Zusammenhange die Quadrate mit Recht 
ecken vertauscht denken muss). 1st das eine von diesen 
das gegebene, so ist es leicht, dem anderen eine gegebene 
Seite zu geben. Diese Konstruktion, welche der Division 
entspricht, ebenso wie die Konstruktion eines Rechtecks 
aus gegebenen Seiten der Multiplikation, hat den beson- 
deren Namen Flachenanlegung (naQa^oXrj] erhalten, oder 
einfache Flachenanlegung im Gegensatze zu der spater 
folgenden elliptischen und hyperbolischen Flachenanlegung. 
Die hierfur benutzte Figur findet, wie wir bald sehen wer 
den, auch andere wichtige Anwendungen. Derjenige Teil 
der Figur, der aus den beiden gleich grossen Rechtecken 
und einem der beiden anderen besteht (z. B. C BEM in 
der Figur auf S. 47) heisst hier wie in der geometrischen 
Arithmetik Gnomon. 


46 


Die griechische Mathematik: 


Der hier angefiihrte Satz findet sich, und zwar auf 
die angegebene Weise angewandt, bei Euklid I, 43 44, 
wo er jedoch in einer etwas allgemeineren Form auftritt, 
insofern die Rechtecke mit Parallelogrammen von gleich 
grossen Winkeln vertauscht sind. In Euklids 2 tern 
Buche wird dagegen mit Rechtecken operiert. Eine Auf- 
klarung liber den Gebrauch, den man, gem ass den Mit- 
teilungen liber die Bekanntschaft der Pythagoreer mit 
Flachenanlegung, von den Satzen dieses Buches lange vor 
Euklid gemacht haben muss, miissen wir indessen in 
seinem 6 ten Buche suchen, wo die Anwendungen jedoch 
in einer verallgemeinerten Form vorkommen, die erst von 
Euklid oder semen nachsten Vorgangern heriihrt 1 . 

Ein Rechteck, dessen Seiten selbst Summen sind, 
wird die Summe aller der Rechtecke, die ein Glied in 
jeder der gegebenen Summen zu Seiten haben. An Stelle 
der modernen Formel 


trat die nebenstehende Figur (Euklid II, 4): 


a/ 

/ 


ab 


1 Die Bedeutung der Verallgemeinerung wird in unserem 16ten 
Abschnitte erklart werden. 


4. Die geometrische Algebra. 


47 


Die Aufgabe, die man jetzt durch die Gleichung 
ax x *--^b &lt; * (1) 

larstellen wiirde, driickten die Alten f olgendermassen aus : 
n eine gegebene Strecke AB (= a) em Rechteck 
M gleich einem gegebenen Quadrat (b 2 ) so an- 
zulegen, dass das (am Rechteck a x liber A B] feh- 
lende Flachensttick ein 
Quadrat (BJ/=a? 2 )wird. 
DieseKonstruktion, welche 
die elliptischeFlachen- 


N 


anlegung (von 

der Mangel, das Auslassen) 

genannt wird, ergiebt sich, 

wenn man die Figur, durch welche die Aufgabe gelost 

wird, auf die vorhergehende zuriickfuhrt. 1st namlich 

C die Mitte von A B, und legt man das Rechteck C K 

an die Seite D B (als D E\ so sieht man, dass das Recht 

eck A M gleich einem Gnomon wird, namlich gleich der 

Differenz der Quadrate iiber B C und C Z), oder in der 

Sprache unserer Algebra, dass 


ax 


Da nun b und CB 


- bekannt sind, so kann man 

2 


CD = x durch den pythagoreischen Lehrsatz finden, 

und dadurch x. 

Dass man die Aufgabe etwa in dieser Weise gelost 
hat, lasst sich aus Euklid VI, 28 schliessen, wo sie je- 
doch in einer allgemeineren Form vorkommt. Die hier 
benutzte Umformung ist aber schon bewiesen in Euklid 


48 


Die griechische Mathematik: 


II, 5, wo gesagt wird, dass, wenn C die Mitte und D 
einen anderen Punkt von A B bedeutet, 


ist. 

Dieser Satz giebt unmittelbar die Losung derselben, 
aber in anderer Form ausgedriickten, Aufgabe, namlich: 
Teile eine gegebene Strecke A B in zwei Al&gt;- 
schnitte, die ein Rechteck von gegebenem Inlialt 
bilden (diesen Inhalt miissen wir uns jedoch vorlaufig, 
um den pythagoreischen Lehrsatz anwenden zu konnen, 
in Form eines Quadrates b 2 gegeben denken). Aus Eu- 
klids Data 85 konnen wir sehen, dass die Alten die 
Aufgabe auch in dieser Gestalt gekannt haben, in der 
sie die geometrische Form fiir die Aufgabe ist, zwei 
Grossen zu bestimmen, deren Summe und Produkt ge 
geben ist. Der tfbelstand, der mit der zuerst angefuhrten 
Darstellung der Aufgabe in Form einer elliptischen Fla- 
chenanlegung verbunden war, dass namlich die Alten ge- 
wohnlich nur die eine Losung der Gleichung (1) mitteilen, 
fiel hierbei von selbst fort. 

Auf ganz dieselbe Weise giebt Euklid in II, 6 eine 
(in VI, 29 einbegriffene) Losung der Gleichung 

ax + x 2 =b 2 , (2) 

die die Alten folgendermassen ausdriicken: An eine 

gegebene Strecke 

A f B D AB(= a) ein Recht 

eck A M gleich 
einem gegebenen 
Quadrat(6 2 )so anzu- 
legen,dassdas (liber 
das Rechteck ax iiber 
A B) iiberschies- 

q 

sende Fliicli en- 
stuck BM ein Quadrat (b 2 ) wird. Diese Konstruktion 


4. Die geometrische Algebra. 49 

heisst die hyperbolische Flachenanlegung (von vneg- 
/3ohr}, Uberschuss). 1st die Aufgabe gelost, und bedeutet 
C die Mitte von A B, so wird das Rechteck A M dadurch 
in einen Gnomon verwandelt, dass das Rechteck iiber 
A C in die Lage G M gebracht wird. Man findet hier, 
wo D ein Punkt der Verlangerung von A B 1st, dass 

AD.BD=CD* CB 2 . 

Diese geometrische Umformung stimmt iiberein mit 
der algebraischen, durch die man jetzt die Gleichung (2) 
lost, namlich 


CD(= -\- xj lasst sich dann mit Hiilfe des pythago- 

reischen Lehrsatzes bestimmen. 

Euklids Satz II, 6 enthalt unmittelbar die Losung 
derselben Aufgabe in einer anderen Form, namlich der- 
jenigen, zwei Strecken (A D und BD) zu bestimmen, 
deren Differenz und deren Rechteck (gleich dem 
Quadrat 6 2 ) gegeben sind, und diese ist wieder die 
geometrische Form fur folgende: zwei Grossen zu bestim 
men, deren Differenz und Produkt gegeben ist. Da die 
Aufgabe auch in dieser zweiten Form bei den Alten vor- 
kam (vergl. Euklids Data 84), so ist es ohne Bedeutung, 
dass sich bei ihnen keine Form findet, deren Wortlaut 
ebenso unmittelbar die Gleichung 

xtax^bt (3) 

wiedergiebt, wie die Flachenanlegungen die Gleichungen 
(1) und (2). Ob wir in unserer algebraischen Sprache 
die Gleichung (2) oder (3) erhalten, beruht namlich nur 

4 


50 Die griechische Mathematik: 

darauf, ob wir in unserer modernen Umschreibung von 
Euklid II, 6 

BD = x oder AD = x 
setzen. 

Wir sehen also, dass die Alien alle Formen der 
Gleichung zweiten Grades behandelt haben, die positive 
Wurzeln ergeben, und von anderen konnte nicht die Rede 
sein, da negative Grossen ein unbekannter Begriff waren 
(sonst batten sich II, 5 und II, 6 zu einem Satze vereinigen 
lassen). Wegen der bier mitgeteilten geometriscben Lo- 
sung setzten wir jedoch -voraus, dass das gegebene Glied, 
das der Homogenitat wegen in jedem Falle eine Flache 
sein musste, in Form eines Quadrates gegeben ware, und 
die Losung wurde dann durch den sogenannten pytha- 
goreischen Lehrsatz bewerkstelligt. Dieser, von welchem 
wenigstens spezielle Falle den Agyptern bereits bekannt 
waren, wird dem Pythagoras zugescbrieben, ohne dass 
man jedoch etwas dariiber weiss, wie er ihn bewiesen 
hat. Der Beweis kanri moglicherweise durch Benutzung 
ahnlicher Dreiecke gefiihrt worden sein. kann also mit 
der damals bekannten Lehre von den Proportionen nur 
exakt gew r esen sein, wenn die Seiten kommensurabel waren; 
derm die Einfuhrung der allgemein giiltigen geometrischen 
Begriindungen hatte damals soeben begonnen, und der 
allgemein gultige Beweis bei Euklid (I, 47) soil, wie 
ausdriicklich bemerkt wird, von ihm selbst herruhren. 
Da Euklid beweist, dass das Quadrat iiber einer Kathete 
gleich dem Rechteck aus ihrer Projektion auf die Hypote 
nuse und der ganzen Hypotenuse 1st, so liegt es nicht 
fern anzunehmen, dass fur den alteren Beweis, den er 
ersetzen will, die ihm entsprechenden Satze iiber mittlere 
Proportionalen benutzt worden sind. 

Was dennachst die Verwandlung einer Figur in ein 
Quadrat betrifft, die entweder benutzt worden sein muss, 


4. Die geometrische Algebra. 51 

den Gleichungen die hier angenommene Form zu 
geben, oder um ohne Benutzung des pythagoreischen 
Lehrsatzes die Grosse zu konstruieren, die bei der mo- 
dernen Losung durch eine Quadratwurzel dargestellt wird, 
so wird den Pythagoreern ausdriicklich die Kenntnis der 

IAufgabe zugeschrieben : eine Figur zu konstruieren, die 
einer gegebenen gleich und einer zweiten ahnlich ist. 
Jedenfalls kann hierbei nur von geradlinigen Figuren die 
Rede gewesen sein, und in dem speciellen Falle, mit dem 
wir hier zu thun haben, ist die zweite Figur ein Quadrat. 
Die allgemeinere Form der Aufgabe ist diejenige, welche 
bei Euklid VI, 25 vorkommt, wo sie fur Euklids ver- 
allgemeinerte Flachenanlegung benutzt werden soil. Wenn 
nun ein spaterer Berichterstatter den Pythagoreern die 
Losung der Aufgabe in dieser Form zugeschrieben hat, 
so hat er damit zu erkennen geben wollen, dass sie im 
Besitze der fiir Flachenanlegung notwendigen Voraus- 
setzungen waren; fiir die einfache Flachenanlegung ist 
aber nur die Verwandlung in ein Quadrat erforderlich. 

Die Verwandlung einer geradlinigen Figur in ein 
Rechteck hat keine besonderen Beschwerden verursacht. 
Wie man clemnachst ein Rechteck hat in ein Quadrat 
verwandeln konnen ohne sich durch Benutzung des Be- 
griffes mittlere Proportionale auf die vor Eudoxus un- 
vollstandige Lehre von den Proportionen zu stiitzen, das 
ersieht man aus Euklid, der sich in II, 14 nur auf die 
geometrische Algebra stiizt. Die Konstruktion beruht 
namlich auf dem eben erwahnten Satze II, 5 (oder (&gt;), 
nach dem ein Rechteck dargestellt wird als Differenz 
zwischen zwei Quadraten; danach lasst sich die Seite des 
dem Rechteck gleichen Quadrates mit Hiilfe des pytha 
goreischen Lehrsatzes konstruieren. Die Umformung ent- 
spricht der Gleichung 


52 Die griechische Mathematik: 


Diese Umformung enthalt die Losung der rein quadra- 
tischen Gleichung. 

Eine bestimmte geometrische Anwendung der Flachen- 
anlegung wird den Pylhagoreern zugeschrieben, namlich 
die Konstruktion der Seite des regelmassigen Fiinfecks 
(und Zehnecks). Diese hangt bekanntlich ab von der 
Gleichung 

x 2 = a (a a?), 
die sicli umformen lasst in 

a 2 =a? 2 -f- ax; 

diese Gleichung wird durch hyperbolische Flachenanlegung 
gelost. In II, 11 benutzt Euklid genau dieselbe Um 
formung der Gleichung in geometrischer Form fiir die 
Losung der genannten Aufgabe. 

Die Satze II, 5 und 6 werden nicht ausschliesslich 
i iir die Auflosung von Gleichungen zweiten Grades benutzt. 
Wir haben bereits (S. 41) eine arithmetische Anwendung 
erwahnt, die Euklid davon im lOten Buche macht, und 
s;oel)en haben wir besprochen, wie sich die Benutzung der 
mittleren Proportionale auf diesem Wege vermeiden lasst. 
Elin anderes Beispiel dafiir, dass die geometrische Algebra 
die Benutzung von Proportionen iiberflussig macht, findet 
sich in Euklids Beweisen in III, 35 37 fiir die Satze 
iiber die Potenz eines Punktes mit Bezug auf einen Kreis. 
Die Satze II, 5 und 6 sagten aus (vergl. die Figuren S. 
47, 48), unter der Voraussetzung dass C die Mitte von 
A B und D ein Punkt auf A B oder ihrer Verlangerung 
ist, dass 

AD.DB = (CB* CD 2 ). 


Die geometrische Algebra. 53 


Sind nun A und B die Schnittpunkte mit einem Kreise, 
dessen Mittelpunkt 0, so erhalt man durch den pytha- 
goreischen Lehrsatz, dass 

CB 2 C/) 2 = OB* OD 2 , 
und damit sind die Potenzsatze bewiesen. 

Die Elemente der geometrischen Algebra, die hier 
dargestellt sind, umfassen indessen namentlich die Behand- 
lung der Gleichungen zweiten Grades, also gerade das 
Gebiet, auf dem sich wegen des Auftretens der irrationalen 
Grossen die Notwendigkeit einer anderen Darstellung als 
durch Zahlen fiihlbar gemacht hatte. Bei dieser Behand- 
lung konnte man sich mit der Benutzung von Rechtecken 
und Quadraten begniigen, sofern nicht bereits eine schon 
gegebene Grosse durch die Flache einer anderen Figur 
dargestellt war. Wahrend der weiteren Entwickelung der 
geometrischen Algebra und ihrer Anwendung - - nament 
lich auf die Lehre von den Kegelschnitten wurde sie 
jedoch so erweitert, dass auch andere Figuren zur Dar 
stellung derjenigen Grossen dienten, mit denen operiert 
wurde. Es ist indessen klar, dass die geometrische Alge 
bra ausschliesslich in ihrer Anwendung auf Rechtecke 
und - - da man in der geometrischen Algebra niemals 
bestimmte Einheiten einfuhrt, also mit homogenen Glei 
chungen operiert - Parallelogramme die geometrische 
Arithnietik mit einbegreift; denn nur dann konnen die 
Punkte, die in der Arithnietik die Einer darstellen, mit 
Quadraten von gleicher Grosse oder mit kongruenten 
Parallelogram men vertauscht werden. Die Dreieckszahlen 
z. B. haben nichts mit dem Fliicheninhalt des Dreiecks 
zu thun, ein Missverstandnis, das spater die romischen 

Landmesser dahin gebracht hat, die Formel zvir 

Berechnung des Inhaltes eines gleichseitigen Dreiecks mit 
der Seite a zu benutzen. 


54 Die griechische Mathematik: 

5, Numerische quadratische Gleichungen; 
Ausziehen der Quadratwurzel, 

Aus der tTbereinstimmung zwischen der geometrischen 
Algebra und der geometrischen Arithmetik, angewandt 
auf Rechtecke, geht hervor, dass es von vornherein sehr 
nahe gelegen hat, die gefundene allgemeine Losung der 
quadratischen Gleichungen auf das Gebiet numerisch ge- 
gebener Gleichungen zu iibertragen. Hier begegnete man 
indessen dem Ubelstand, dass die Wurzeln im allgemeinen 
irrational wurden. Dass man nach Beispielen gesucht 
hat, bei denen dies vermieden wurde, ergiebt sich aus 
den Bestrebungen solche unbestimmte Gleichungen wie 
x&lt;i ~\~ */ 2 = % 2 zu losen. In den Aufgaben, welche die 
Geometric oder andere Anwendungen darboten, musste 
man dagegen die Grossen so nehmen wie sie waren. 
Wenn man nun eine rationale Losung, also eine solche, 
die sich durch Zahlen genau ausdriicken lasst, nicht fin- 
den konnte, so waren zwei Dinge zu thun. Einmal 
musste bewiesen werden, dass die gesuchten Grossen 
wirklich nicht rational wurden, und wenn man zu Glei 
chungen iiberging, bei denen die gegebenen Grossen be- 
reits irrational waren, so gait es ferner die verschiedenen 
irrationalen Grossen, die vorkommen konnten, zu klassifi- 
cieren; zwei tens musste man der Anwendungen wegen 
auch die irrationalen Grossen mit moglichst grosser An- 
naherung ausrechnen. 

Am weitesten brachten die alten Griechen es in der 
ersten der beiden genannten Richtungen. Ein Beispiel 
fiir eine hierher gehorende Untersuchung haben wir be 
n-its angefiihrt, namlich Euklids Losung der Gleichung 
x * -f- r y 2: =^ 2 , und da er diese vollstandig loste, so fand 
er nicht nur die ausreichenden sondern auch die not- 


5. Num. quadr. Gleichungen; Quadratwurzel. 55 

rendigen Bedingungen dafiir, dass "V/a? 2 + # 2 und }/x 2 z/ 2 
itional werden. Er land also, dass sie irrational sind, 
,-enn die Bedingungen nicht erfiillt werden. Von ein- 
jherer Beschaffenheit ist ein wahrscheinlich sehr alter 
lachweis dafiir, dass \/2 irrational ist; dieser hat - 
wenn auch mit Unrecht einen Platz am Ende des 
lOten Baches in einigen Ausgaben von Euklid erhalten. 
Abgesehen von der geometrischen Darstellung lasst er sich 

etwa folgendermassen ausdriicken. Soil V 2 = sein, wo 

n 

der Bruch --so viel wie moglich verkurzt ist, so muss 
n 

man m 2 = 2 n 2 haben. Hieraus folgt, dass m 2 eine ge- 

rade Zahl ist, also auch m. Da - - unverkiirzbar ist, 

n 

muss n also ungerade sein. Wenn aber m gerade ist, 
so folgt daraus, dass m 2 teilbar sein muss durch 4, mit- 
hin n 2 durch 2, folglich dass n gerade ist. Da nun n 
nicht zugleich gerade und ungerade sein kann, so kann 
y 2 nicht ein unverkiirzbarer Bruch sein. 

Ein ahnliches Verfahren lasst sich wie bekannt im 
allgemeinen benutzen um nachzuweisen, dass eine Wurzel 
aus einer ganzen Zahl kein Bruch sein kann. Mehrere 
Satze im 8 ten Buche Euklids mogen urspriinglich mit 
diesem Ziel vor Augen entwickelt und in alterer Zeit auch 
dafiir benutzt worden sein. Das gilt z. B. vom 6ten Satz, 
der - - wenn auch in einer anderen Form ausdriickt, 
dass eine Potenz eines unverkiirzbaren Bruches selbst ein 
unverkiirzbarer Bruch sein muss. Indessen giebt es noch 
ein allgemeines Mittel, das Euklid im lOten Buche giebt 
um die Rationalitat einer Grosse zu priifen oder, was 
dasselbe ist, die Kommensurabilitat zweier Grossen. Dieses 
besteht in der Anwendung derselben Operation, die zur 
Bestimmung des grossten gemeinschaftlichen Maasses der 


56 Die griechische Mathematik: 

beiden Grossen dient. Sind die Grossen durch Strecken 
dargestellt, so muss man die kleinere b auf der grosseren 
so oft abtragen, dass der Rest c kleiner wird als b, dar- 
auf c auf b u. s. w. Lasst diese Operation sich bis ins 
Unendliche fortsetzten, so sind die Grossen inkommensu- 
rabel. Auf diese Weise findet man leicht, dass eine Strecke 
durch stetige Teilung in Abschnitte geteilt wird, die in- 
kommensurabel mil sich und der Strecke selbst sind. 
Heisst namlich die Strecke a und die Abschnitte x und 
y, so hat man 

a x y 


x y x y 

Die Operation, die zum grossten gemeinschaftlichen Maass 
fiihren soil, wird also eine fortgesetzte Teilung der neuen 
Abschnitte, so dass sie sich offenbar nicht zu Ende fiih 
ren lasst. 

Da nun solche Wurzeln von Gleichungen zweiten 
Grades, die mit den gegebenen Grossen inkommensurabel 
werden, sich nicht durch diese und durch Zahlen aus- 
driicken lassen, so ist es begreiflich, dass die Griechen 
bei exakten Untersuchungen keine Naherungswerte ein- 
fuhrten, sondern welter operierten mit den gefundenen 
Grossen, die dargestellt wurden durch die Strecken, die 
sich aus der, der Losung der Gleichung entsprechenden, 
Konstruktion ergaben. Es ist das ganz ebenso, wie wenn 
wir Wurzeln nicht ausrechnen, sondern uns damit begnligen 
diese durch Quadratwurzelzeichen und andere algebraische 
Zeichen auszudriicken. Da indessen eine Strecke wie die 
andere aussieht, so erhielt man dadurch nicht denselben 
Uberblick, den die Zeichensprache uns gewahrt. Deshalb 
wurde es notwendig eine Klassifikation der irrationalen 
Grossen vorzunehmen, die sich durch successive Losung 
von Gleichungen zweiten Grades ergeben batten. Eine 


5. Num. quadr. Gleichungen; Quadratwurzeln. 57 

solche Klassifikation wurde zu Platos Zeit von Theatet 
vorgenommen, und seine Arbeit ist von Euklid fort- 
gesetzt und ins lOte Buch der Elemente aufgenommen 
worden. Bei Besprechung dieses Buches werden wir dar- 
auf zuriickkommen und wollen hier nur bemerken, dass 
diese Arbeit auch eine Priifung der Falle enthalten musste, 
in denen eine Grosse, die scheinbar einer Klasse an- 
gehort, sich in Wirklichkeit auf eine andere zuruckiiihren 
lasst, also die Aufhebung doppelter Irrationalitat. 

Die Anwendungen dieser Klassifikation finden wir 
da, wo eine exakte Bestimmung von Grossen gewiinscht 
wird, die von Quadratwurzeln abhangen oder iiberhaupt 
bei Gleichungen zweiten Grades gefunden werden. In der 
elementaren Geometrie gilt dieses von den Seiten regu- 
larer Poly gone oder den Kanten regularer Polyeder. Mit 
dieser letzten Anwendung hat Theatet sich besonders 
beschaftigt und sie spielt eine Hauptrolle in Euklids 
Elementen. 

In diesem Werk vermisst man dagegen jede genaherte 
numerische Berechnung. Das findet vielleicht seine Er- 
klarung darin, dass man durch eine solche Berechnung 
die absolut exakte Bestimmung bei Seite lassen wurde, 
die in der Geometrie beabsichtigt war; aber andererseits 
diirfte es auch damit zusammenhangen, dass den Griechen 
sowohl das Vermogen wie gute Hulfsmittel zu jeder wirk- 
lichen Berechnung fehlten, ein Mangel, der in verstarkter 
Weise hervortritt, wenn man liber die vier einfachen Rech- 
nungsarten hinausgehen muss, also schon bei der Berech 
nung der Quadratwurzel. 

Indem wir uns vorlaufig an das allgemeine Hiilfs 
mittel halten, so wird sich die griechische Zahlbezeich- 
nung (von der wir spater Gelegenheit finden werden rnehr 
zu sagen) doch wohl, wenn man sie so einiibte, wie wir 
in unserer Kindheit in .der unsrigen geiibt werden, weit 


58 Die griechische Mathematik: 

brauchbarer erweisen, als man sich von vornherein vor- 
stellt. Bei Berechnungen hat man wohl auch solche me- 
chanische Mittel wie eingeteilte Rechenbretter zu Hiilfe 
genommen. Dass die Zahlbezeichnung nicht ausreichte, 
wenn es sich urn die Darstellung grosser Zahlen handelte, 
sieht man jedoch daraus, dass damals, als die griechische 
Mathematik auf ihrer grossten Hohe stand, Archimedes 
und Apollo n ius Manner, in deren Schriften em wohl 
unterrichteter Mathematiker der Gegenwart ihm unbekannte 
Satze und Beweise finden kann - - besondere Systeme 
haben bilden miissen, um Zahlen von unbegrenzter Grosse 
bezeichnen zu konnen. Archimedes thut das in seiner 
Schrift iiber Sandrechnung, in der er eine Vorstellung 
von der Unendlichkeit der Zahlenreihe geben will und 
besonders berechnet, wie viele Sandkorner es in der ganzen 
Welt geben kann, wenn man dieser und den Sandkornern 
gewisse Grossen beilegt. Es spricht auch keineswegs zu 
Gunsten der den Griechen selbst eigentiimlichen Mittel 
der Zahlenberechnung, dass die griechischen Astronomen 
diese fur nicht hinreichend entwickelt hielten, sondern 
zugleich mit der babylonischen Astronomic das Sexagesi- 
malsystem der Babylonier fiir astronomische Rechnungen 
aufnahmen. 

Was nun die Berechnung der Quadratwurzel bei den 
Griechen betrifft, so wollen wir zuerst eine besondere 
Bestimmung von V 2 erwahnen, die man allerdings zunachst 
von einem spaten arithrnetischen Schriftsteller kennt, die 
sich aber viel weiter zuriickfuhren lasst, und deren Be- 
grundung sich bei Euklid II, 9 (und 10) findet. Diese 
Begriindung ist zugleich ein Beispiel dafur, wie die geo- 
metrische Algebra angewandt wurde. Ist C die Mitte 
und D ein anderer Punkt der Strecke AB, so sagt Sat/ V 

a us, class 

AD 2 + DB* = 1 2A C 2 + 2 CD 2 . 


5. Num. quadr. Gleichungen; Quadratwurzeln. 


59 


Dieser Satz hatte durch Umlegungen von Rechtecken 
jwiesen werden konnen, aber bei Euklid 1st er bewiesen 
dt Hiilfe des pythagoreischen Lehrsatzes, angewandt auf 
gleichschenkelige rechtwinkelige Dreiecke. Das diirfte da- 
mit in Verbindung stehen, dass y 2 eben als Hypotenuse 
AB ernes solchen Dreiecks AEB dargestellt wird. 1st 
nun Z der Punkt, in dem die Senkrechte auf A B in D 
die Kathete EB schneidet, so wird DB = DZ und 


AD* 


Um die Anwendung der gefundenen Gleichung deut 
licher zu zeigen, wollen wir 


setzen, wodurch 


Bezeichnet man die letzten beiden Grossen mit y l und 
a? if so hat man 


Die gefundene Gleichung dient dazu, aus einer Losung 
von einer der beiden unbestimmten Gleichungen 

2 a? 2 1/ 2 =1 


60 Die griechische Mathematik: 

in ganzen Zahlen eine Losung der anderen in den grosseren 
Zahlen Xl =xy und y l = 2 x + y abzuleiten. Fahrt 

man auf diese Weise fort, so werden die Werte 

a x, 
u. s. w., die abwechselnd zu klein und zu gross sind, 

sich /2 immer mehr nahern. Man kann ausgehen von 
a *|f" 1. 

Auf ahnliche Weise kann man in anderen speciellen 
Fallen das Ausziehen der Quadratwurzel vorgenommen 
haben. Das hat dann in Verbindung mit den unbestimm- 
ten Gleichungen (wie x 2 -\- y 2 = 3 2 ), mit deren Hiilfe 
man Zahlenbeispiele bildete, bei denen das Ausziehen der 
Quadratwurzel vermieden wurde, dazu beigetragen bei den 
Griechen die Fertigkeit in der Behandlung gewisser un- 
bestimmter Gleichungen zweiten Grades zu entwickeln, 
von der in einer viel spateren Zeit die Schriften des Dio- 
phant Proben enthalten. Dass man zu solchen speciellen 
Methoden seine Zuflucht genommen hat, zeugt dagegen 
nicht von einer irgendwie allgemeinen Fertigkeit im Aus 
ziehen der Quadratwurzel. Von allgemeinen Hiilfsmitteln 
hatte man jedoch erstens dasselbe zur Verfiigung, das wir 
benutzen, namlich den Ausdruck fiir (a-\-b) 2 , dessen 
geometrische Form den Anwendungen kaum ferner lag 
als unsere algebraische. Zweitens fiihrte eben das Ver- 
fahren, durch das man, wie wir gesehen haben, priifte, 
ob eine Grosse irrational sei, geradeswegs zu einer Me- 
thode der Berechnung, die ungefahr mit einer Entwicke- 
lung in Kettenbriiche zusammenfallt. 

Wie man aber verfahren ist, das lasst sich unrnittel- 
bar aus den Schriftstellern, bei denen sich genaherte Aus- 
driicke fiir Quadratwurzeln finden, nicht ersehen, da sie 
nur die Resultate anfiihren; aber man erhalt doch eine 
Vorstellung da von, wie sehr oder richtiger wie wenig ent- 


5. Num. qnadr. Gleichungen; Quadratwurzeln. (&gt;1 


Ickelt die Methoden waren. Sehr bezeichnend 1st es, 
,ss erst Archimedes eine Bestimmung von 71, als 
zwischen den Grenzen 3^ und 3^ liegend, durchgefiihrt 
hat. Aus dem Folgenden wird man namlich erkennen, 
dass man vor ihm ohne grosse Miihe im Stande gewesen 
sein muss, die geometrischen Schwierigkeiten zu iiber- 
winden. Es ist also die numerische Berechnung und 
namentlich wohl die in dieser vorkommende Ausziehung 
von Quadratwurzeln, vor der man vor Archimedes zu- 
riickgeschreckt ist. 

Unvermeidlich waren die entsprechenden Berechnun- 
gen, wenn man praktische Anwendung von Quadratwur 
zeln machen wollte. Es ist deshalb natiirlich, dass man 
die meisten von diesen bei Hero findet, der mit prak- 
tischen Anwendungen vor Augen schrieb. Man findet so 
viele, dass es cleutlich wird, dass er im Besitze einer 
wirklichen Methode gewesen ist. In seinen Bestimmungen 
ist der Grad der Genauigkeit jedoch nicht sehr gross im 
Verhaltnis zu der allgemeinen theoretischen Einsicht, in 
deren Besitz man damals schon seit Jahrhunderten ge 
wesen war. Der Um stand, dass er wirklich Quadratwur 
zeln auszieht, steht in Verbindung damit, dass wir zum 
ersten Male bei ihm Beispiele fur eine durchgefuhrte Be- 
handlung numerischer Gleichungen vom zweiten Grade 
fin den. So sehen wir, dass, wenn das Glied a? 2 einen 
Zahlenkoefncienten a hat, er dieses in a 2 x 2 verwandelte 
durch Multiplikation der Gleichung mit a, und demnachst 
a x als Unbekannte betrachtete. Euklid hatte allerdings, 
wie wir sehen werden, auch derartige Gleichungen behandelt 
und iiberdies auf eine allgemein giiltige Weise, die auch 
anwendbar bleibt, wenn der Koefficient a irrational ist; 
aber gerade diese allgemein giiltige Form der Behandlung 
zeigt nicht deutlich, wie man sich bei der praktischen 
Berechnung verhalten hat. 


62 Die griechische Mathematik: 

Indem wir ganz zu Hero hinuntergegangen sind, 
haben wir jedoch die Berechnungen ausser Acht gelassen, 
die bereits vor seiner Zeit ausgefiihrt worden waren bei 
der Ausarbeitung der Sehnentafeln der astronomischcn 
Schriftsteller. Diese waren in dem, in der Zwischen/cit 
von den Chaldaern eingefiihrten, Sexagesimalsystem aus 
gefiihrt. Da Hero hiervon keinen Gebrauch nmcht, so 
diirfen wir annehmen, dass sein Verfahren im wesent- 
lichen das urspriinglich griechische war, das darnals nur 
mehr entwickelt gewesen ist als zu der Zeit, mit der wir 
uns jetzt zunachst beschaftigen. Die Quadratwurzeln, die 
sich beiPtolemaus finden, sind dagegen in sexagesimalen 
Einheiten etwa auf dieselbe Weise ausgerechnet, wie man 
jetzt Wurzeln in Decimalbriichen berechnet. Es \\iirdc 
vorhin beriihrt, dass die Griechen friiher schon die theo- 
retische Grundlage fur eine solche Berechnung nach der 
Formel fur (a -[- &) 2 besassen; diese konnte sie also natur- 
gemass bei dem grosseren Bediirfnis der Astronomic nach 
numerischer Genauigkeit zu einer wirklichen Ausiuhrung 
solcher Rechnungen fiihren. Die schon erwahnten alten 
Tafeln iiber Quadrat- und Kubikzahlen im Sexigesimal- 
system (S. 13) konnten jedoch wohl darauf hindeuten, 
dass das Wurzelausziehen in den babylonischen Landern 
lange bekannt gewesen sein mag, und dass die Griechen 
auch in dieser Beziehung etwas von den ostlichen Volkern 
haben lernen konnen, als das Sexagesimalsystem bei ih- 
nen eingefiihrt wurde. 

Wir werden kaum fehl gehen, wenn wir in der Ent- 
deckung und der spateren Behandlung der irrationalen 
Grossen den Ausgangspunkt sehen fiir das, was sowohl die 
Hauptstarke, als auch die allerschwachste Seite der griechi- 
schen Mathematik ausmachte. Unter der bestiindig fort- 
geeetzten Bemiihung jeden Beweis auch auf diejenigen Grossen 


5. Num. quadr. Gleichungen; Quadratwurzeln. 


I endbar zu machen, die sich nur naherungsweise durch 
len ausdrticken lassen mid bei denen deshalb Zahlen- 
eise ungeniigend sein wiirden, entwickelten . sich die 
strengen Anspriiche an die Unfehlbarkeit der Schliisse 
und die Genauigkeit des Ausdrucks, durch deren Erfiil- 
lung die Mathematik die exakte Wissenschaft gewor- 
den ist, und die Worte mathematische Gewissheit und 
absolute Gewissheit identisch geworden sind. Die Griechen 
haben dadurch den Grund gelegt, der erforderlich war 
um den hochragenden Gedankenbau des Archimedes 
und Apollonius zu tragen. Zu derselben Grundmauer 
hat die moderne Mathematik zuriickkehren miissen, als 
sie nach langem Zwischenraurne wieder ihre wissenschaft- 
liche Bedeutung aufrichten sollte; ja zu den von den 
( Jriechen entwickelten und hochgehaltenen logischen Grund- 
satzen nimmt sie sogar in unseren Tagen ihre Zuflucht, 
um aufs neue der, jetzt auf arithmetischem Wege auf- 
gefiihrten, Mathematik dieselbe Sicherheit zu geben wie 
die war, die die Griechen unter geometrischer Form er- 
reichten, oder um die Infinitesirnalrechnung unanfechtbar 
zu machen. 

Eine so grossartige Leistung hatte keineswegs Gleich- 
giiltigkeit zu zeigen brauchen gegeniiber den Versuchen 
dasjenige naherungsweise zu berechnen, was sich mit voller 
Genauigkeit nicht geben lasst. Archimedes zeigte, dass 
man auch die Resultate einer solchen Rechnung auf un- 
anfechtbarer Weise aufstellen und beweisen kann, namlich 
durch Angabe der Grenzen, zwischen denen die gesuch- 
ten Grossen liegen miissen, aber sein Beispiel wurde in 
den iibrigen streng mathematischen Werken nicht befolgt. 
So kam es, dass die praktische Berechnung als etwas 
Untergeordnetes betrachtet wurde und nicht die verdiente 
Aufrnerksamkeit bei den eigentlichen Mathematikern fand, 
die doch am besten imstande gewesen waren die dahin 


64 Die griechische Mathematik: 

gehorenden Methoden zu verbessern. Zu wie grossem 
Schaden es der Mathematik selbst gereichen sollte, sich 
in dieser Weise von den Anwendungen fern zu halten, 
das werden wir spater kennen lernen. 


6. Das Unendliche, 

Es ist bekannt, dass Pythagoras die Zahl /inn 
Princip aller Dinge machte, indem er sagte: die Dinge 
sind Zahlen. Da Zahl bei den Griechen gauze Zahlen, 
die Zahlen der natiirlichen Zahlenreihe bedeutet, so stimmt 
dieser Ausspruch wohl ganz im allgemeinen zu den friiher 
erwahnten Studien der Pythagoreer iiber die Lehre von 
den ganzen Zahlen und zu der mystischen Bedeutung, die 
sie gewissen Zahlen verbindungen beigelegt haben. Schwierig 
bleibt es jedoch, eine zu der Mathematik der Pythagoreer 
stimmende, gariz unmittelbare Bedeutung in den Wortlaut 
dieses Ausspruchs hineinzulegen. Eine solche Bedeutung 
miisste namlich den spateren, mehr idealistischen Aus- 
legungen vorangegangen sein. So wie sie da stehen, kon- 
nen die Worte kaum etwas anderes bedeuten, als dass 
alle Dinge sich durch Zahlen bestimmen lassen. Da hier- 
bei nicht wohl von etwas anderem die Rede sein kann 
als von der Grosse der Dinge, so wird gesagt, dass diese 
sich durch Zahlen ausdriicken lasse. Das ist auch in 
der That der Fall mit kommensurablen Grossen, wenn 
man eine hinreichend kleine Einheit wahlt. Es wiirde 
deshalb nicht welter erstaunlich sein diesem Ausspruche 
zu begegnen wenn nicht gerade die Pythagoreer ent- 
deckt batten, dass Grossen derselben Art nicht immer 
kommensurabel sind, dass also der angefiihrte Ausspruch 
seinem Wortlaute nach falsch ist. 


6. Das Unendliche. 65 

Deswegen braucht die hier versuchte Erklarung, die 
gewiss die einzige ist, die zu dem griechischen Gebrauche 
des Wortes Zahl stimmt, doch nicht unrichtig zu sein. 
Der Ausspruch kann alter sein als die Entdeckung der 
inkommensurablen Grossen, ja gerade das Bestreben, seine 
Anwendbarkeit zu zeigen, kann zur Entdeckung der in 
kommensurablen Grossen gefiihrt haben. Eine philoso- 
phische Formel, an die man schon viele Betrachtungen 
angekniipft hat, giebt man indessen nicht so leicht auf, 
selbst dann nicht, wenn sie sich in ihrer urspriinglichen 
Bedeutung als unrichtig erweist. Man modificiert diese 
Bedeutung derartig, dass sie fortdauernd anwendbar bleibt. 
Eine solche Modification konnte im gegenwartigen Fall 
nicht so fern liegen. Wenn man die Inkommensurabili- 
tat von Grossen dadurch fand, dass die Rechnungen, die 
zur Bestimmung des grossten gerneinschaftlichen Maasses 
dienten, sich ins Unendliche fortsetzten, so lag es nahe zu 
behaupten, dass das grosste gemeinschaftliche Maass dann 
unendlich klein und unendlich viele Male in den Grossen 
enthalten sei. In diesem Falle wurden die Dinge bestimmt 
durch Unendliche Zahlen oder durch unendliche Annahe- 
rungen, hervorgebracht durch Verhaltnisse zwischen immer 
grosseren Zahlen. 

Es wurde jedoch kaum statthaft sein diese Erklarung 
aufzustellen, wenn es sich nicht nachweisen liesse, dass 
pythagoreische und andere Mathematiker zu ihrer Zeit 
wirklich auf ahnliche Weise Grossen durch unendliche 
Annaherung bestimmt batten. Wir besitzen allerdings 
koine direkten Mitteilungen iiber solche Bestimmungen, 
aber ihre Existenz geht aus dem Kampf hervor, der gegen 
ihre Berechtigung gefiihrt wurde, namentlich von Seiten 
einer anderen philosophischen Schule, namlich der elea- 
tischen. Ich meine hiermit die beriihmten Sophismen, 
die von ihrem Stifter Zeno von Elea um die Mitte des 

5 


6(5 Die griechische Mathematik: 

Jahrhunderts aufgestellt wurden. Diese gehen iiberhaupt 
darauf aus die Ungereimtheiten zu zeigen, zu denen man 
gelangt, wenn man annimmt, dass die kontinuierlichen 
Grossen aus unendlich vielen unendlich kleinen Teilchen 
zusammengesetzt sind. 

In zwei von den Sophismen wird bewiesen, dass Be- 
wegung unmoglich sei. Der erste Beweis lautet folgender- 
massen. Um von einem Orte zum anderen zu gelangen 
muss man, bevor er erreicht wird, zuerst die Halfte des 
Weges zuriicklegen, dann die Halfte von der Halfte u. s. w. 
bis ins Unendliche. Die Bewegung verlangt also, dass 
unendlich viele Stiieke des Weges durchlaufen werden, 
1st also - - sagt Zeno unmoglich. 

Auch nicht sagt Zeno in dem zweiten Sophisma - 
kann der schnellfiissige Achilles die langsame Schildkrote 
einholen; denn er muss erst die Stelle erreichen, die die 
Schildkrote jetzt einnimmt, darauf den Weg durchlaufen, 
den die Schildkrote mittlerweile gekrochen ist u. s. w. bis 
ins Unendliche ; aber auch diese Unendlichkeit zu erreichen 
ist unmoglich. 

Da nun Zeno gewiss nicht die Realitat der Bewegung 
bezweifelte, so ist seine Absicht eine andere gewesen, 
namlich die, es als unmoglich hinzustellen, die kontinuier- 
liche Bewegung durch eine solche Zerlegung in einzelne 
diskrete Momente zu beschreiben. Das, was er bekampfen 
will, muss indessen von seinen Gegnern geltend gemacht 
worden sein. Was ist das nun? In seinem ersten So 
phisma ist es die Richtigkeit der Behauptung, dass 

1 = J + (-i) 2 + (4)3 + . . . bis ins Unendliche. 

Im zweiten Sophisma ist es, t wenn wir annehmen, 
dass Achilles sich n-mal so schnell bewegt wie die Schild 
krote, die Behauptung, dass 

1 + : r + ... bis ins Unendliche 


6. Das Unendliche. 67 

einen endlichen Wert habe. Da man zu jener Zeit sicher- 
lich auszurechnen verstand, wie lange Zeit Achilles wirk- 
lich gebrauchte um die Schildkrote zu erreichen, so haben 
Zen os Gegner auch gewusst, dass der endliche Wert der 

vorliegenden Summe von unendlich vielen Gliedern - 

Avar. Diese positiven Resultate liegen so unmittelbar in 
den Betrachtungen, die Zen o als absurd angesehen haben 
will, dass man, wenn die Gegner nicht, wie ich annehme, 
vorher diese oder ahnliche aufgestellt haben, beinahe ihn 
selbst als ihren Entdecker ansehen miisste. Ohne mathe- 
matischen Sinn und ohne solche Einsicht verfallt man 
namlich uberhaupt nicht darauf, diese in mathematischer 
Hinsicht fruchtbaren Zerlegungen vorzunehmen. Wir sehen 
also, dass man in der Mitte des funften Jahrhunderts 
der Frage nach der Summation einer unendlichen Quo- 
tientenreihe nicht fremd gegeniiberstand, einer Summation, 
von der wir s pater Archimedes eine Anwendung unter 
grossere Sicherheit gewahrenden Formen werden machen 
sehen. 

Von einem streng logischen Standpunkt aus hat 
Zeno jedoch recht. Es kann namlich nicht gestattet 
werden, unendliche Grossen zum Beweise positiver Resul 
tate zu benutzen, solange das Unendliche nur durch sei- 
nen Namen erklart ist, denn in diesem liegt nur das rein 
Negative, dass es unerreichbar ist. Innerhalb der griechi- 
schen Mathematik pflichtete man auch dem Zeno bei, 
und zwar in dem Grade, dass der Unendlichkeitsbegriff 
als positives Beweismittel im nachsten Jahrhundert ganz 
verdrangt oder auf eine Weise umgangen wurde, die gegen 
ahnliche Angriffe Sicherheit gewahrte. 

Sofort geschah das jedoch nicht. Die atomistische 
Schule, die die physischen Korper als aus unteilbaren 
Partikeln zusammengesetzt betrachtete, hat sich gewiss auch 

5* 


68 Die griechische Mathematik: 

auf erne infinitesimale Untersuchung der geonietrischen 
Zusarnmensetzung dieser Korper eingelassen, ja wahrschein- 
lich mit ihr begonnen. Das 1st namentlich mit Demo- 
krit, dem bedeutendsten Manne dieser Schule, der Fall 
jrcwesen. Es wird berichtet, dass er die Frage behandelt 
babe, ob zwei unendlich nahe liegende parallele ebene 
Schnitte eines Kegels als gleich oder ungleich gross be- 
trachtet werden diirfen. Im letzteren Falle wiirde der 
Kegel treppenformig aufgebaut sein, im ersteren wiirde er 
em Cylinder sein. Diese Frage kann sich ganz natiirlich 
erhoben haben, wenn man -- wie in unseren elementaren 
Lebrbiichern bei Gelegenheit der Pyramide - - durch ein 
integrationsartiges Verfahren das Volumen eines Kegels 
zu berechnen oder auch nur Satze liber die Gleichheit 
von Kegeln zu beweisen versucbte. Auf die Bescliiiftigung 
mit infinitesimalen Fragen deuten vielleicht auch die Titel 
von mehreren seiner Scbriften, die alle verloren sind, bin, 
namlich Uber inkommensurable Strecken und Korper , 
fiber die Zahlen, und vielleicht auch der Titel Uber 
Beriihrung zwischen dem Kreise und der Kugel. Im 
iibrigen weiss man nichts von seiner mathematischen 
Thatigkeit, vielleicht well in der folgenden Zeit die Mathe 
matik namentlich durch Platos Schule oder doch in Ver- 
bindung mit ihr gefordert wurde, und diese die Philosophic 
des Demokrit vollstandig verwarf. 

Hat nun auch die Thatigkeit des Demokrit den 
Begriff des Unendlichen soweit vertieft, dass die darauf 
gebauten Begriindungen an Zuverliissigkeit gewannen, und 
hat sie vielleicht ferner dessen Verwendbarkeit fiir wirk- 
liche mathematische Untersuchungen wie iiber den Inhalt 
des Kegels gezeigt, so hat dieser sich dadurch doch nicht 
ids iinerkanntes mathematisches Beweismittel zu behaupten 
vermocht. Mehr als Zenos Dialektik, die von einem 
iiberlegenem Gesirhtspunkto darauf ausging das Unzurei- 


6. Das Unendliche. 69 


chende des Unendlichkeitsbegriffes nachzuweisen fiir die 
Begriindung von Resultaten, die an und fiir sich nicht 
zweifelhaft sein konnten, haben dazu die mehr unfreiwil- 
ligen Schliisse beigetragen, zu denen er sich gebrauchen 
liess. Als Beispiel hierfiir lasst sich der Beweis des So- 
phisten Antiphon anfiihren, der darthun sollte, dass der 
Kreis sich quadrieren lasst, das heisst, dass man ein Qua 
drat konstruieren kann, das eben so gross 1st wie ein 
gegebener Kreis. Dieser Beweis lasst sich - - wenn wir 
uns im iibrigen auf die Berichte seiner Gegner verlassen 
diirfen kurz folgendermassen wiedergeben: In den 
Kreis lasst sich ein gleichseitiges Dreieck beschreiben und 
demnachst durch Halbieren der Bogen regulare Polygone 
von zunehmender Seitenzahl. Durch Fortsetzung bis ins 
Unendliche fallt das Polygon mil dem Kreise zusammen. 
Nun lassen sich alle diese Polygone quadrieren, folglich 
auch der Kreis. 

Durch solche Missbrauche wurde das Vertrauen zu 
infinitesimalen Betrachtungen in dem Grade erschiittert, 
dass, als endlich Eudoxus den Weg t and, auf dem sich 
die Richtigkeit hierher gehoriger Schliisse vollstandig be- 
weisen lasst, dieser nicht mehr zur Aufstellung des Un- 
endlichkeitsbegriffes benutzt wurde; vielmehr wurde dieser 
in dem sogenannten Exhaustionsbeweise umgangen. 
tiber diesen, der zu der Zeit, die uns jetzt beschaftigt, 
noch nicht zur Verfiigung stand werde ich mich je- 
doch erst auslassen, wenn wir seine Anwendungen bei 
Euklid kennen lernen. Ebenso werde ich damit warten, 
die mit dem Exhaustionsbeweise nahe verwandte Propor- 
tionslehre des Eudoxus zu erklaren, bis wir sie im 
5ten Buche des Euklid antreffen. Hier will ich nur 
bemerken, dass diese unmittelbar auf inkommensurable 
Grossen ebenso anwendbar ist wie auf kommensurable, 


7Q Die griechische Mathematik: 

so dass Proportionen zwischen inkommensurablen Grossen 
nach der Zeit des Eudoxus dieselbe Giiltigkeit haben 
wie Proportionen zwischen kommensurablen Grossen. 


7, Die Quadratur des Kreises. 

Von diesen mathematischen Principienfragen wenden 
wir uns nun zu einzelnen bestimmten Untersuchungen, 
die gleichfalls im 5ten Jahrhundert begonnen sind und 
die Mathematiker in der ganzen voreuklidischen Zeit, ja 
iiber diese hinaus, beschaftigt haben. Wir haben soeben 
die Quadratur des Kreises beriihrt. Hierbei kann man 
sowohl an die Aufgabe denken, mit passender Annaherung 
Inhalt und Umfang des Kreises zu berechnen, als auch 
an die andere, ein Quadrat zu konstruieren, das gleich 
der Flache des Kreises ist, und damit zugleich eine Strecke, 
die gleich seinem Umfange ist. Nach dem Vorangegan- 
genen wird man verstehen, dass die Losung der letzten 
Aufgabe durch ihren exakten Charakter und dadurch, 
dass sie hinterher zur Berechnung benutzt werden konnte, 
als das erstrebenswerte Ziel erscheinen musste, dem gegen- 
iil)er man bis zu Archimedes die beschwerlichen Rech- 
nungen, die doch nur ein ungenaues Resultat lieferten, 
unterliess. Die Scheu vor solchen Rechnungen war es, 
die den Antiphon, wie wir bereits gesehen haben, da- 
hinbrachte, die einbeschriebenen Polygone, die ein vor- 
treffliches Mittel fur die Berechnung abgeben wiirden, zu 
einer unhaltbaren Behauptung iiber die Losung der Auf 
gabe durch Konstruktion zu missbrauchen. Das Mittel 
inn rim- nhere Grenze fur den Flacheninhalt zu berech 
nen, kannte man auch, namlich umbeschriebene Polygone; 
aber di-cs wurde auch zu Sophismen missbraucht, wie 
/u dem eiries gewissen Bryson, der wie erzahlt wird 


7. Die Quadratur des Kreises. 71 

behauptete, class man, um den Kreis zu quadrieren, nur 
notig habe den Umfang eines neuen Polygons zwischen 
die Umfange eines einbeschriebenen und des dazu geho- 
rigen umbeschriebenen Polygons hineinzuzeichnen. Das 
neue Polygon wiirde namlich ebenso wie der Kreis grosser 
als das einbeschriebene und kleiner als das umbeschriebene 
werden folglich(l) gleich dem Kreise sein. 

Neben Antiphons Behauptnng beweist dieses So- 
phisma jedoch, dass man zu jener Zeit ein Auge dafur 
hatte, auf welchem Wege man in der That angenaherte 
Bestimmungen des Kreises erreichen und kontrolieren 
konnte. Ein ahnliches Verdienst kann man nicht solchen 
Losungen zuerkennen, die darin bestanden eine Zahl zu 
finden, die zugleich Quadratzahl und eine sogenannte 
cyklische Zahl war, d. h. eine solche, deren Quadrat mit 
denselben Ziffern endigt wie die Zahl selbst. Man erkennt 
aus diesem groben Sophisma, dass der von Zeno eroff- 
nete Kampf gegen die von den Mathematikern aufgestell- 
ten unrichtigen oder unvollstandigen Ausdrucke fiir rich- 
tige Gedanken nicht nur die Mathematiker zwang, der 
exakten Form grossere Sorgfalt zuzuwenden, sondern um- 
gekehrt auch die Sophisten, die nicht Mathematiker waren, 
lehrte die mathematischen Formen zu gebrauchen um 
Ungereimtheiten aufzustellen. Wenn dagegen Aristoteles 
und seine Kommentatoren, durch die wir diese Beispiele 
kennen, einen Mathematiker wie Hippok rates von Chios 
beschuldigen, dass er auf Grund eines ahnlichen Fehl- 
schlusses behauptet habe den Kreis quadriert zu haben, 
so muss hier wohl eine Verwechslung stattgefunden haben 
zwischen dem, was Hippokrates erstrebt, und dem, was 
er wirklich erreicht zu haben behauptet hat. Diese Be- 
schuldigung ist indessen die Veranlassung dazu gewesen, 
dass wir noch seine Untersuchungen kennen ; diese haben 


7~_&gt; Die griechische Mathematik: 

nicht nur zu einem hiibschen Ergebnis gefiihrt, narnlich 
zu den ersten Quadraturen von Flachen, die von krummen 
Linien begrenzt sind, sondern sie sind zuglejtfh ein vor- 
treffliches Beispiel fiir das, was einem tiichtigen Geometer 
des 5ten Jahrhunderts zur Verfiigung stand und wie er 
es zu gebrauchen wusste. Namentlich aus diesem Grunde 
wollen wir hier einen Auszug aus dem Bericht des Eu- 
demus iiber seine Arbeiten geben. 

Wie berichtet wird beweist Hippok rates zuerst, dass 
ahnliche Kreisabschnitte sich wie die Quadrate iiber den 
Durchmessern verhalten, und zwar soil er dies mit Hiilfe 
des entsprechenden Satzes iiber zwei Kreise gemacht 
haben. Der bewiesene Satz wird demniichst benutzt um 
das M6ndchen zu quadrieren, das von einem Halbkreise 
und einem Bogen von 90 iiber dessen Durchmesser be 
grenzt wird. Es wird bewiesen, dass dies Mondchen gleich 
dem gleichschenkeligen rechtwinkeligen Dreieck 1st, das 
sich in den Halbkreis beschreiben lasst. Darauf wird 
auf folgende Weise ein Mondchen konstruiert, dessen 
grosserer Bogen grosser als ein Halbkreis ist. Es wird 
zuerst ein Trapez konstruiert, von dem 3 Seiten jede 
gleich a und die vierte gleich a}/ 3 ist (in der Potenz 
dreimal so gross als die anderen, d. h. ihr Quadrat ist 
dreimal so gross als jedes der anderen); um dieses wird 
ein Kreis beschrieben, und das Mondchen wird abgeschnit- 
ten zwischen dem grosseren Bogen der Sehne ay3 und 
einem Bogen iiber derselben Sehne, der demjenigen iiber 
der Seite a ahnlich ist. Es wird gezeigt, dass das Mond 
chen dem Trapeze gleich ist. 

Hippokrates hat noch ein drittes Mondchen kon 
struiert, das sich quadrieren lasst. In dem Bericht iiber 
dieses werde ich, abgesehen von einzelnen modernen Um- 
schreibungen (wie r\/|), mit einer direkten Wiedergabe 


7. Die Quadratur des Kreises. 


73 


des Referates von Eudemus beginnen 1 ). Ein Kreis mit 
dem Durchmesser A B (= 2 r) und dem Mittelpunkt K 
1st gegeben. Die CD steht senkrecht auf der Mitte von 
KB. Zwischen diese Senkrechte und die Kreisperipherie 
wird eine Strecke E Z von der Lange r \ -| eingeschoben, 
deren Verlangerung durch B geht. EH wird parallel A B 
gezogen. Man zieht K E und K Z, von denen die letzte 


in ihrer Verlangerung die ED in H schneidet. Endlich ziehe 
lan BH und die Verlangerung BZ von E Z. B H wird 
leich EK sein, und urn das Trapez EK BH lasst sich 
in Kreis beschreiben. Gleichfalls wird ein Kreisbogen 
durch E, Z und H gezogen. [Jeder von den beiden Ab- 
schnitten fiber den Strecken E Z und ZH wird den Ab- 
schnitten iiber den Strecken EK, KB und BH gleich 
3m]. 

Das hier gebildete Mondchen (E K B H Z} wird gleich 
ler Figur sein, die man aus den drei Dreiecken (das ist 
r iereck EKBHZ] bildet ... Das wird dadurch gezeigt, 
lass jeder der beiden Abschnitte iiber E Z und ZH nach 

: ) So wie P. Tannery es in den Memoir cs de la Socic.te 
le Bordeaux t. V. (2. Reihe, 2. Heft) in einer von den Zusatzen 
les Simplicius befreiten Gestalt wiederzugeben versucht hat. 

ie eckigen Klammern bezeichnen eine von Tannery ausgefiillte 

ikune. 


74 Die griechische Mathematik: 

der Konstruktion das anderthalbtfache von jedem der drei 
Abschnitte liber EK, KB und BH ist. 

Hippokrates zeigt noch, dass der aussere Bogen 
E K BH dieses Mondchens kleiner als ein Halbkreis 1st, 
da der in das Segment EKH einbeschriebene Winkel 
stumpf ist. Sein Beweis dafur lasst sich mit unseren 
Zeichen folgendermassen wiedergeben: 

EZ* =| r 2 = EK* + Ir 

2 2t 


Dass KB 2 grosser als 2 KZ 2 ist, muss Hippo 
krates daraus schliessen, dass der Winkel KZB stumpf 
ist; aber es ist nicht gesagt, wie er dies findet. Er kann 
es daraus geschlossen haben, dass sein Nebenwinkel EZK, 
der E K, die kleiner als EZ ist, gegeniiberliegt, spitz 
sein muss. 

In dem erhaltenen Schriftstiick wird noch ein ge- 
wisses Mondchen konstruiert, das, zu einem gewissen 
Kreise hinzugefiigt, eine Flache liefert, die sich quadrieren 
lasst. Dieses Mondchen ist es, dessen Quadratur zur 
Quadratur des Kreises gefuhrt haben wiirde. Dass dieses 
nicht identisch mit einem der vorher quadrierten ist, 
muss Hippokrates, der selbst imstande war diese Mond 
chen so herzustellen, dass sie sich quadrieren liessen, 
ebenso gut gesehen haben wie wir. 

Um nun durch die citierten Untersuchungen in der 
That einen Einblick in die damaligen Leistungen der 
Mathematik zu gewahren, will ich zunachst darauf hin- 
weisen, dass iiber eine Konstruktion, wie die eines Tra 
pezes aus seinen Seiten, kein Wort verloren wird, dass 
die Benutzung der Grossen der Dreiecksseiten fur die 
Tntersuchung, ob ein Winkel im Dreieck spitz, recht 
oder stumpf ist, als wohl bekannt betrachtet wird, ebenso 


7. Die Quadratur des Kreises. 75 

wie der Satz, dass Kreisflachen sich vvie die Quadrate 
iiber den Durchmessern verhalten. Den euklidischen Be- 
weis des letzten Satzes kann man jedoch noch nicht ge- 
kannt haben, iiberhaupt keinen, der den spateren griechi- 
schen Mathematikern geniigt haben wurde. Ausgangspunkte 
fiir einen faktisch richtigen Beweis kann man indessen 
in solchen Betrachtungen, wie die von Antiphon gemiss- 
brauchten waren, gehabt haben. Eine Strecke wie ryf 
hat man leicht konstruieren konnen, sei es nun durch 
die in der geometrischen Algebra erwahnte Methode, ein 
Rechteck mit den Seiten r und f r in ein Quadrat zu 
verwandeln, oder sei es durch Anwendung des pythago 
reischen Lehrsatzes. Die Einschiebung der Strecke 
EZ=r^\ zwischen CD und die Kreislinie, so dass 
ihre Verlangerung durch B geht, ist abhangig von einer 
Gleichung zweiten Grades, die man, wie wir als ganz 
bestimmt annehmen, damals durch geometrische Kon- 
struktion losen konnte. Indessen ist es, wie wir bald 
erortern werden, doch moglich, dass diese Konstruktion 
auf andere Weise ausgefiihrt worden ist. 

Die verschiedenen Versuche, den Kreis mit Hiilfe 
von Zirkel und Lineal zu quadrieren, misslangen, und in 
der neuesten Zeit hat man bewiesen, dass sie misslingen 
mussten. Das Verlangen nach einer exakten Losung, die 
nach den Forderungen der damaligen Zeit durch Kon 
struktion zu einer geometrischen Darstellung liihren sollte, 
konnte deshalb nur erfiillt werden durch Einfuhrung an- 
derer Kurven als Gerade und Kreis. Hierbei kam es 
nicht sonderlich darauf an, ob derartige Kurven sich me- 
chanisch darstellen liessen, und noch weniger darauf, sie 
durch eine diskrete Reihe von Punkten darzustellen, denn 
diese wiirden ja nur eine Annaherung gestatten. Die 
Hauptsache war dagegen, hier wie in anderen ahnlichen 


76 Die griechische Mathematik: 

Fallen, in einer exakten Definition eine mathematisch 
si dire, theoretische Grundlage fur die Bestimmung zu 
geben, eine Grundlage, auf der sich eventuell weitergehende 
Untersuchungen, in denen die konstruierte Grb sse ver- 
wendet wurde, aufbauen liessen. Man verfuhr in dieser 
Beziehung ebenso, wie wenn man in der Gegenwart neue 
Funktionen einfuhrt fur die exakte Bestimmung von sol- 
chen Grossen, die sich durch die bis dahin bekannten 
nur mit Annaherung darstellen lassen. Am besten war 
es natiirlich, wenn eine und dieselbe Kurve sich auf ver- 
schiedene Konstruktionen an wen den liess, so dass die ge- 
meinsame Theorie der Kurven alien Konstruktionen zu 
Gute kommen konnte. 

Eben dies war der Fall mit einer Kurve, die fur die 
Quadratur des Kreises benutzt wurde und deshalb den 
Namen Quadratrix erhielt. Sie soil urspriinglich von 
Hippias aus Elis erdacht sein, um fiir die Dreiteilung 
des Winkels benutzt zu werden. Die Eigenschaft, durch 
welche die Alten sie in Worten definierten, konnen wir, 
wenn wir mit y die Ordinate eines ihrer Punkte in einem 
rechtwinkeligen Koordinatens) 7 stem bezeichnen, und durch 
$ den Winkel, den der Radius vector desselben Punktes 
mit der Abscissenaxe bildet, darstellen durch die Gleichung 

y___$ 

b ~ Q 

wo wir durch Q einen rechten Winkel bezeichnen, und 
durch b den $ = @ entsprechenden Wert von y. Die 
Winkel werden durch die Bogen gemessen, die sie als 
Centriwinkel auf einem Kreise mit dem Radius b abschnei- 
den. Mit der jetzt gebrauchlichen Bezeichnung n ist also 


Da y und $ proportional sind, so ist die Verwend- 
barkeit der Kurve fiir die Teilung eines Winkels in gleiche 


7. Die Quadratur des Kreises. 77 

Teile oder in solche Teile, die in einem gegebenen Ver- 
haltnis stehen, ohne weiteres erkennbar. Ihre Verwend- 
barkeit fur die Quadratur des Kreises wurde jedoch zuerst 
von Dinostratus entdeckt oder streiige bewiesen, da er 
bewies, dass die Abscisse ihres Schnittpuriktes mit der 

Abscissenaxe gleich oder sei ; denn der Quotient 
Q n Q 

kann weder grosser noch kleiner sein als die genannte 
Abscisse. Ware er grosser, so musste es, da die Radien- 
vectoren der Kurve mit ft wachsen, einen Punkt der Kurve 

b 2 
geben, dessen Radiusvector gleich - - ware. Man musste 

Q 

also (wenn wir der Ubersichtlichkeit wegen unsere trigono- 

metrischen Zeichen und Gleichungen da benutzen, wo 
Dinostratus Proportionen gebrauchte) haben 

b 2 .#.*,.. 

- . 8in&=y = b = - -, 

Q Q Q b 

b 2 
oder der dem Radius -- entsprechende Sinus musste dem 

6 

demselben Radius entsprechenden Bogen gleich sein. Ware 
er kleiner, so musste es einen Punkt geben, dessen Ab- 

b 2 

scisse - - ware, fur den also 
Q 

b 2 b 2 ft 


b 2 
oder die dem Radius - - entsprechende Tangente musste 

dem demselben Radius entsprechenden Bogen gleich sein. 
Beide-Dinge sind unmoglich. 

Was nun den Inhalt dieses Beweises betrifft, so sieht 
man, dass Dinostratus sich nicht mit einer Bemerkung 

begniigt wie diejenige ist, die wir durch Urn. - = 1 


78 Die griechische Mathematik: 

oder durch Urn. -- = 1 ausdriicken wiirden ; vielmehr 

i 

umgeht er ganz die Frage nach unendlicher Annaherung 
dadurch, dass er nur die Ungleichheiten sinz&lt;.z &lt;.t(f z 
benutzt, die ja im librigen auch beide notwendig sind t iir 
cine exakte Bestimmung jeder der beiden Grenzwerte. 
Die Art, wie die Grenzbestimnmngen umgangen werden, 
stimmt im wesentlichen mit der Art und Weise iiberein, 
wie dies im Exhaiistionsbeweise geschieht; aber Dino- 
stratus war auch ein Schiiler von dessen Erfinder Eu- 
doxus. 

Wir werden spater sehen, dass die Abhangigkeit zwi- 
schen Variationen von Kreisbogen und Strecken, die durch 
die Quadratrix dargestellt werden, einzelnen numerischen 
Bestimmungen zu Grunde gelegt wurde. 

Auch Archimedes dessen wirkliche Berechnung 
von Kreisen wir spater erwahnen werden - - hat Kurven 
untersucht, die sich etwa wie die Quadratix anwenden 
lassen, namlich die sogenannten archimedischen Spi- 
ralen (r=a$). Ihre Verwendbarkeit fiir Winkelteilung 
ist ohne weiteres erkennbar, und Archimedes schliesst 
sowohl die Bestimmung von Tangenten wie diejenige von 
Flacheninhalten an die Quadratur des Kreises an. Nach 
moderner Auffassung verwendet er wohl zunachst die 
Quadratur des Kreises oder die Zahl n fur diese Bestim 
mungen; aber der Vergleich mit der Benutzung der Qua 
dratrix lasst erkennen, dass man ebensoviel Wert darauf 
gelegt hat auf diesem Wege, namentlich durch Bestim 
mung der Tangente, wenn auch nicht eine Konstruktion, 
so doch in Worten eine gute geometrische Bestimmung 
einer Strecke zu erhalten, die gleich der Peripherie des 
Kreises ist. Die Kurve selbst veranschaulicht auf die 
deutlichste Weise das periodische Wachsen von dem, was 
wir jetzt circulate Funktionen (Kreisfunktionen) nennen. 


8. Dreiteilung des Winkels; Einschiebungen. 


79 


8. Dreiteilung des Winkels; Einschiebungen, 

Wir haben soeben die Anwendung der Quadratrix 
und der archimedischen Spirale auf die Dreiteilung 
des Winkels beruhrt. Ausser diesen beiden will ich 
noch zwei andere Losungen dieser Aufgabe anfiihren, die 
fruhzeitig die Mathematiker beschaftigt haben. Die eine, 
deren Alter sich nicht bestimmen lasst, kann sehr 
wohl aus dem 5ten Jahrhundert herstammen, wahrend 
die andere unter den von den Arabern aufbewahrten so- 
genannten archimedischen Hiilfssatzen enthalten ist, viel- 
leicht also von Archimedes herriihrt. In beiden wird die 
Losung auf eine sogenannte Einschiebung zunickgefuhrt. 
1) Ist ABC der Win- 

A 

kel, der in drei gleiche 

Teile geteilt werden 

soil, so zieht man zu- 

erst A C senkrecht auf 

BC t und A # parallel ~* c 

B C, und dann wird zwischen A C und A E die Strecke 

D E = 2 A B so eingeschoben, dass ihre Verlangerung 

durch B geht. 1st dann namlich F die Mitte von D JE, 

so ist 

&gt; mithin 


2) Ist A B C der Win- 
kel, der in drei gleiche 
Teile geteilt werden soil, 
und schneidet ein Kreis 
urn B die beiden Schen- 
kel und die Verlangerung 
von A B iiber B hinaus 
in A, C und Z), so wird 
zwischen die Verlangerung von BD und die Kreisperi- 


80 Die griechische Mathematik: 

pherie eine Strecke EF=BC so eingeschoben, dass ihre 
Ycrliingerung durch C geht. Dann 1st 

2_ DEF= \ L- BFC ^ Z_ FCB = J z_ A C. 

Was nun die beiden hier verlangten Einschiebun- 
irt ii angeht, so sind sie wie die gestellte Aufgabe selbst 
von Gleichungen dritten Grades abhangig, lassen sich also 
nicht mit Hiilfe von Gerade und Kreis losen. indessen 
sei hier bemerkt, dass die Zuruckfiihrung einer Konstruk- 
tion auf eine Einschiebung ohne genauere Angabe dar- 
iiber, wie diese auszufiihren sei, sehr oft in der griechi- 
schen Geometric vorkommt. So haben wir eine solche 
in dem angefiilirten Bruchstiick von Hippokrates getrof- 
fen, und Archimedes fiihrt in seiner Schrift iiber Spi- 
ralen andere Aufgaben auf dieselbe Einschiebung zuruck, 
durch welche die ihm hier beigelegte Dreiteilung des 
Winkels ausgefiihrt wurde. Das kann darauf deuten, 
dass es eine Zeit gegeben hat, wo man die Einschie 
bung als ein Konstruktionsmittel anerkannte, das un- 
mittelbar bei geometrischen Konstruktionen neben Zirkel 
und Lineal angewandt werden durfte. Unter einer Ein 
schiebung wird dann im allgemeinen die Konstruktion 
einer Strecke verstanden, deren Endpunkte auf gegebenen 
Linien liegen, und die selbst oder in ihrer Verlangerung 
durch eincn gegebenen Punkt geht. Sie lasst sich einiger- 
11 iassen leicht mechanisch ausfiihren durch ein Lineal 
(oder ein gefaltetes Stuck Papier), auf das man zwei Mar- 
ken im Abstande der gegebenen Strecke abgetragen hat. 
Dieses Lineal dreht man um den festen Punkt, indem 
man es gleichzeitig so verschiebt, dass die eine Marke 
der einen gegebenen Linie folgt, und mit einer solchen 
Bewegung fahrt man solange fort, bis die andere Marke 
sich auf der zweiten gegebenen Linie befindet. 

Wegen des theoretischen Zieles, das die Griechen 
11 lit ihren Konstruktionen verfolgten, begniigten sie sich 


8. Dreiteilung des Winkels; Einschiebungen. 81 

jedoch nicht lange rnit dieser mechanischen Leichtigkeit. 
Da man iiberdies, um auf moglichst wenigen Vorausset- 
zungen bauen zu konnen, auch so wenige anerkannte 
Konstruktionsmittel haben musste wie nur moglich war, 
so wurde die unmittelbare Ausfiihrung der Einschiebungen 
bald iiberall dort verdrangt, wo sie sich durch Zirkel und 
Lineal, die einzigen Konstruktionsmittel, die in Euklids 
Elementen Biirgerrecht erhalten, ausfiihren liessen. Mog- 
licherweise sind altere Anwendungen die Ursache, dass 
Apollonius zwei Biicher liber Einschiebungen geschrieben 
hat, die, wie wir wissen, iiber die Ausfiihrung dieser rnit 
Hiilfe von Zirkel und Lineal gehandelt haben. Er kann 
dadurch dem Mangel in alteren Werken haben abhelfen 
wollen, dass Aufgaben auf Einschiebungen zuruckgefiihrt 
sind, ohne dass eine solche Ausfiihrung angegeben wird. 

Bei Einschiebungen, die sich nicht durch Zirkel und 
Lineal, sondern durch Benutzung von Kegelschnitten aus 
fiihren lassen, ist es auch von einem gewissen Zeitpunkt 
an obligatorisch geworden diese Kurven anzuwenden, sich 
also nicht mit der mechanischen Ausfiihrung zu begniigen. 
Dass dies erst nach Archimedes geschehen sein sollte, 
kann man keineswegs mit voller Sicherheit daraus schlies- 
sen, dass er sich damit begniigt, Aufgaben auf Einschie 
bungen zuriickzufiihren ; derm der Umstand, dass man 
sich friiher mit einer mechanischen Ausfiihrung begniigte, 
wird fur ihre Ausfiihrung durch Kegelschnitte feste Re- 
geln hervorgerufen haben, die Archimedes als bekannt 
betrachten konnte. Wie die Einschiebungen des Archi 
medes sich durch Kegelschnitte ausfiihren lassen, ist 
spater von Pappus angegeben worden. 

Wo man die Einschiebungen nicht auf die Benutzung 
dieser anderen Konstruktionsmittel zuriickgefiihrt hat, ja 
nicht hat zuriickfuhren konnen, da ist eine theoretische 
Untersuchung der Einschiebung selbst erforderlich gewesen. 

6 


82 Die griechische Mathematik: 

Am besten hat dies geschehen konnen durch Aut stellung 
einer Definition und eine darauf gegriindete Untersuchung 
derjenigen Kurve, die bei der oben beschriebenen mecha- 
nischen Konstruktion von dem einen Endpunkt der ge- 
gebenen Strecke durchlaufen wird, namlich von dem, der 
nicht an die eine gegebene Linie gebunden ist. Durch 
die Schnittpunkte dieser Kurve mit der zweiten gegebenen 
Linie wird dann die Einschiebungsaufgabe gelost. Eine 
solche Untersuchung ist auch, sogar nach Archimedes 
Zeit, von Nikomedes in dem Falle vorgenommen worden, 
wo die erste der gegebenen Linien eine Gerade ist. Die 
erzeugte Kurve wird dann eine Konchoide genannt. 
Nikomedes hat zugleich einen Apparat erdacht um diese 
Kurve mechanisch zu erzeugen. Die Benutzung dieses 
Apparates deckt sich ungefahr mit der oben beschriebenen 
mechanischen Ausfuhrung einer Einschiebung. 

Wie nun auch die Einschiebung ausget iihrt worden 
sein mag, so hat doch diejenige Zuruckfuhrung der Drei- 
teilung des Winkels, die wir - - mit allem moglichen Vor- 
behalt dem Archimedes beigelegt haben, eine grosse 
Bedeutung in der spateren Geschichte der Mathematik 
erhalten. Namentlich liegt sie der Losung zu Grunde, 
die Vieta fur Gleichungen 3 ten Grades im sogenannten 
irreduciblen Fall gegeben hat. 


9, Verdoppelung des Wiirfels, 

Von den Aufgaben, die in ihrer algebraischen Form 
von Gleichungen 3ten Grades abhangig sind und spater 
im Altertum durch Kegelschnitte gelost wurden, war die 
Dreiteilung des Winkels nicht die einzige, die man bereits 
im 5ten Jahrhundert in Angriff genommen hatte. Von 
noch grosserer Bedeutung war die Aufgabe, die die geo- 


9. Verdoppelung des Wiirfels. 83 

metrische Form der reinen kubischen Gleichung darstellt, 
namlich die Verdoppelung oder Multiplikation des 
Wiirfels. 

Diese Aufgabe heisst das delische Problem in Ver- 
anlassung eines Orakelspruches, wonach ein wurfelformiger 
Altar auf der Insel Delos doppelt so gross gemacht wer- 
den sollte ohne seine Form zu verandern; man darf in- 
dessen wohl annehmen, dass Pythia bei dieser Gelegenheit 
durch die Mathematiker inspiriert worden sei. Wie be- 
reits erwahnt hatte man in der geometrischen Algebra 
Produkte von zwei allgemeinen Faktoren und Operationen 
mit den daraus zusammengesetzten Ausdriicken zweiten 
Grades umgeformt in Rechtecke und in Operationen mit 
Flachen, und in Verbindung damit das Ausziehen der 
Quadratwurzel vertauscht mit der Verwandlung eines Recht- 
ecks in ein Quadrat, eine Aufgabe, die von den Pytha- 
goreern gelost worden sein soil. Da lag es denn nahe 
von diesen ebenen Aufgaben zu den entsprechenden 
raumlichen iiberzugehen. Man musste dann ein Pro- 
dukt von 3 Grossen durch ein Parallelepipedon darstellen, 
nd Operationen mit Ausdriicken vom 3ten Grade als 
iperationen mit Raumgebilden. Nachst so einfachen 
ingen wie Einfiihrung einer neuen Kante oder Grund- 
flache in ein Parallelepipedon und Anwendung davon auf 
Addition und Subtraktion, oder Verwandlung eines Paral- 
lelepipedons mit recbteckiger Grundflache in ein solches 
mit quadratiscber, musste die Aufgabe, ein Parallelepipe 
don in einen Kubus zu verwandeln, sicb mit derselben 
Macht geltend machen, wie sicb nach den Quadra twurzeln 
die Frage nach Kubikwurzeln demjenigen aufdrangt, der 
die Algebra in ihrer gegenwartigen Gestalt aufbauen sieht. 
Wie \/2 die nachstliegende irrationale Kubikwurzel ist, 
wurde die Verdoppelung des Wiirfels das nachstliegende 

6* 


84 


Die griechische Mathematik: 


Beispiel fur Aufgaben der hier bezeichneten Art. Als 
polche und durch die neuen Schwierigkeiten, die sie dar- 
bot, erweckte sie grosses Interesse bei den Mathematikern. 
Der erste Beitrag zur Losung dieser Aufgabe, den 
wir erwahnt finden, wird dem Hippokrates zugeschrie- 
Ix-n. Ebenso wie die Verwandlung eines Rechtecks in 
em Quadrat auf der Konstruktion einer mittleren Propor- 
tionale beruht, soil er die Aufgabe von der Verdoppelung 
des Wiirfels, also vermutlich auch die etwas allgemeinere 
Aufgabe von der Verwandlung des Parallelepipedons in 
einen Kubus, auf die andere zuruckgefiihrt haben, zwei 
mittlere Proportionalen zu bestimmen. 1st namlich das 
Parallelepipedon bereits in ein solches a 2 b mit der qua- 
dratischen Grundflache a 2 und der Hohe b verwandelt, 
und soil dieses wieder in den Wiirfel a? 3 verwandelt wer- 
den, so lasst sich x bestimmen aus den Proportionen 

a:x = x:y== y.b. 

Ob nun diese Umformung dem Hippokrates zuzu- 
schreiben ist oder nicht, nach ihm erscheint das Delische 
Problem gewohnlich miter der Form der Aufgabe: zwei 
mittlere Proportionalen x und y zu bestimmen zu 
den gegebenen Strecken a und b. 

Die erste von den vielen Losungen, die diese Auf 
gabe im Alterturn erfahren hat, verdankt man dem Ar- 

chytas. Um diese 
Losung recht zu ver- 
stehen, muss man fest- 
halten, dass er darauf 
ausgeht eine Figur zu 
konstruieren, die aus 
zwei Geraden O Y A 
und OBX besteht, 
/wischen denen die gebrochene Linie A X YB so gezeichnet 
soil, dass XFsenkrecht auf der ersten, A X und 


9. Verdoppelung des Wiirfels. 85 

YB senkrecht auf der zweiten stehen, wahrend OA und 
OB von gegebener Lange sind. Dann sind namlich offen- 
bar X und Y die beiden mittleren Proportionalen 
zwischen OA und OB. Man kennt also den Durch- 
messer OA eines Kreises, auf dem X liegen soil, aber 
nicht den Durchmesser O Y eines Kreises, auf dem B 
liegen soil. Archytas sucht diesen letzten Kreis einzu- 
fiihren als Schnittkreis der Kugel iiber OA als Durch 
messer. Da O B gegeben ist, so \vird der Punkt B auf 
einem Schnittkreis dieser Kugelflache liegen, die Linie 
OB und dadurch der Punkt X auf dem Umdrehungs- 
kegel, der diesen bekannten Schnittkreis zur Leitlinie hat. 
Wenn man nun versucht die verlangte Stellung zu errei- 
chen durch eine Drehung der Figur um die in ihrer Ebene 
in O auf A errichtete Senkrechte O C, so wird die 
Projektion Y des Punktes X auf die von OA durch- 
laufene Ebene einen grossten Kreis beschreiben, die Linie 
X Y also eine Cylinderflache, auf der der Punkt X auch 
liegen muss. 

Da nun X ferner wahrend der Umdrehung dauernd 
auf dem Kreise iiber OA als Durchmesser liegen soil, 
so muss er auf der Kurve liegen, die dieser Kreis wah 
rend seiner Bewegung auf der Cylinderflache aufzeichnet, 
d. h. in Wirklichkeit auf der Schnittlinie der Cylinder 
flache mit dem durch die Umdrehung des Kreises um 
seine Tangente in O erzeugten Wulst. Der Punkt X wird 
dann bestimmt durch den Durchschnitt zwischen dieser 
cylindrischen Raumkurve und der obengenannten Kegel- 
flache, und durch seine Bestimmung ist die Aufgabe gelost. 

Diese Losung wird kaum zu einer wirklich durch- 
gefuhrten praktischen Bestimmung angewandt worden sein. 
Hierauf deutet unter anderem der Umstand, dass die 
wirkliche Erzeugung der Raumkurve nicht genannt wird, 
denn der hierzu dienende Wulst ist nur eine von uns 


sr. Die griechische Mathematik: 

eingeschobene Erklarung. Archytas hat sicher erkennen 
k&lt;&gt;nnen, dass man durch success! ves Probieren leichtere 
und genauere Bestimmungen von A X und A Y erhalt. 
Das was hier beabsichtigt war, war also eine theoretische 
Bestimmung, die bei weitergehenden Untersuchungen, bei 
denen Kubikwurzeln vorkommen, benutzt werden konnte. 
Damit diese in dieser Beziehung wirklich befriedigend 
hatte sein konnen, miisste man jedoch dem Archytas 
eine Bekanntschaft mit der benutzten Raumkurve oder 
doch mit Hiilfsmitteln um ihre Eigenschaften anzugeben 
beilegen, die er schwerlich besessen haben wird. 

Seine Losung erhalt dagegen grossen Wert fur uns 
als ein unmittelbares Zeugnis fiir das, was er zu leisten 
vermochte. Er ist auf seine Aufgabe losgegangen mit 
dem Gedanken an die Anwendung des Kreises zur Losung 
der entsprechenden ebenen Aufgabe. Er versucht, ob die 
Kugel sich nicht auf entsprechende Weise fur die Losung 
der vorliegenden raumlichen Aufgabe sollte verwenden 
lassen, und er fuhrt diesen Versuch durch mit klarer 
Erfassung der raumlichen Verbal tnisse, die sich dabei 
darbieten, ja er schreckt nicht zuriick vor der Einfiihrung 
einer Kurve, die ein gewisser Kreis wahrend seiner Be- 
wegung auf einem Cylinder aufzeichnet. Ausser von einem 
sicheren Gedankengang bei ihm selbst zeugt seine Kon- 
struktion von einem Vertrautsein mit der Anwendung 
geometrischer Orter zur Bestimmung von Punkten, die 
hinreichend entwickelt war, um ihre Erweiterung auf den 
Raum vornehmen zu konnen. Wir diirfen daraus schliessen, 
dass die Geometric des Raumes und die Anwendung 
geometrischer Orter wenigstens in der P]bene zu seiner 
Zeit bereits zu einer recht bedeutenden Entwickelung ge- 
Inngt war. 

Es wird berichtct, dass An-hylas Schiiler Eudoxus 
zur Losung derselben Aufgabe einige andere Kurven be- 


9. Verdoppelung des Wurfels. 87 


nutzt habe. Man hat geraten auf Projektionen der Schnitt- 
kurven zwischen den 3 Flachen, die in Wirklichkeit bei 
der Konstruktion des Archytas benutzt werden. Eu- 
doxus Schiller Menachmus verfiel dagegen darauf das 
Hiilfsmittel zu benutzen, das spater im griechischen Alter- 
tnm auf diese und viele andere Aufgaben angewandt 
wurde, namlich die Kegelschnitte. Nach den Berichten 
spaterer Schriftsteller soil er die beiden mittleren Propor- 
tionalen zwischen a und b bestimmt haben als die Koor- 
dinaten x und ij der Schnittpunkte zwischen den durch 
zwei von den Gleichungen 

ay~x 2 , bx = y 2 , xy = ab 

bestimmten Kurven, und zugleich soil er gezeigt haben, 
wie diese Kurven, die ja Parabeln und eine Hyperbel 
werden, sich stereometrisch als Schnitte an Umdrehungs- 
kegeln darstellen lassen. Zu diesen Bestimmungen werden 
wir zuriickkehren, sobald wir, nachdem wir in unserer 
allgemeinen Untersuchung weiter fortgeschritten sein wer 
den, die Entwickelung der Lehre von den Kegelschnitten 
im Zusammenhange behandeln. 

Hier ist dagegen der Ort um noch solche Anwen- 
dungen anderer Hiilfsmittel zu beriihren, die man noch 
weithin in der folgenden Zeit fortfuhr fiir die Konstruk 
tion der beiden mittleren Proportionalen ausfindig zu 
machen. Man erfand verschiedene mechanische Werk- 
zeuge fiir die Konstruktion einer Figur, die wie die Figur 
auf S. 84 ahnliche Dreiecke enthalten, durch die sich 
unmittelbar die verlangte Verbindung ergiebt. Eines von 
diesen wird Plato zugeschrieben, ein zweites riihrt von 
Eratosthenes her. Da sich indessen ergiebt, dass keiner 
von diesen Apparaten eine wirkliche Bedeutung fiir die 
Entwickelung der Mathematik gehabt hat, so wollen wir 
uns eine Beschreibung von ihnen und ihrem Gebrauch 
ersparen und uns damit begniigen zu bemerken, dass 


88 Die griechische Mathematik: 

diese Apparate Descartes veranlasst haben gleichfalls 
einen zu erdenken, den er in seiner Geometric beschreibt. 
Die Konstruktion der beiden mittleren Proportionalen 
ist auch von Nikomedes auf eine Einschiebung zuriick- 
gefiihrt worden. Die hierzu dienende Konstruktion ist 
jedoch keineswegs so einfach wie diejenigen sind, die fiir 
die Dreiteilung des Winkels benutzt werden. 


10, Theoreme und Probleme; Bedeutung der 
geometrischen Konstruktion. 

Wir haben teils liber die Hauptanschauungen und 
die sich daran schliessenden Operationsmethoden gespro- 
chen, die im 5 ten Jahrhundert ihren Anfang nahmen 
und sich in der folgenden griechischen Mathematik weiter 
entwickelten, teils durch Erwahnung einzelner Untersu- 
chungen Proben von dem damaligen reellen Inhalt dieser 
Mathematik gegeben. In dem Maasse wie man fortschritt 
bedurfte man fester und zuverlassiger For men, die zu 
diesen Anschauungen stimmten und sie dadurch in noch 
ho herein Grade sicher stellten, und die dem stets wach- 
senden Inhalt in sich Raum gewahrten. Die hierzu fiih- 
rende Arbeit wurde in Plato s philosophischer und Eu- 
doxus mathematischer Schule und durch Verhandlungen 
zwischen beiden ausgefiihrt. 

Als Beispiel fiir eine solche Verhandlung konnen 
wir einen Streit dariiber anfuhren, in wie weit die rnathe- 
inatischen Wahrheiten als Theoreme (Lehrsatze) oder 
als Probleme (Aufgaben) auftreten diirfen. Das erste 
wurde von den Platonikern geltend gemacht, die sich 
darauf stiitzten, dass die Losung einer Aufgabe nur etwas 
zustande bringe, was schon im voraus vorhanden sei: 
gleichseitige Dreiecke existieren unabhangig davon, ob 


10. Theorems und Probleme. 89 

man sie konstruiert, und man kann ein solches nur des- 
halb konstruieren, well der Begriff gleichseitiges Dreieck 
eine Realitat hat, bevor man es konstruiert. Fur die 
Schiller des Eudoxus, die bei dieser Gelegenheit nament- 
lich von Menachmus reprasentiert wurden, war die mathe- 
matische Hervorbringung durch Konstruktion oder doch 
durch Untersuchung der Figur die Hauptsache. 

In ausserer Hinsicht scheint keine der Parteien die 
andere besiegt zu haben, da Theoreme und Probleme 
neben einander in Euklids Elementen vorkommen. Von 
grosserer Bedeutung ist die Priifung dessen gewesen, was 
ausser der rein ausseren. Form Theoreme und Probleme 
charakterisiert. Das hat man wenigstens spater etwa 
folgendermassen ausgedrtickt : im Theoreme wird das ein- 
zig mogliche ausgesagt, im Probleme wird das verlangt, 
was anders sein konnte. Nach diesen Kennzeichen muss 
man entscheiden, ob eine Wahrheit in der einen oder 
anderen Form mitgeteilt werden soil. Beispielsweise wiirde 
es unrichtig sein als Problem zu stellen: Einen rechten 
Peripheriewinkel zu konstruieren, der auf einem Halbkreise 
steht. 

Wichtiger als solche Bestimmungen in Worten ist es 
jedoch die Rolle kennen zu lernen, die Theoreme und 
namentlich Probleme bei den uns erhaltenen Schriftstel- 
lern spielen, namentlich in Euklids Elementen. Vielleicht 
begreift man dadurch auch besser die von Menachmus 
verfochtene Ansicht als durch die iiberlieferte Mitteilung. 
Diese lasst die Platoniker geltend machen, dass das gleich- 
seitige Dreieck existiert, bevor es konstruiert wird. Im 
Gegensatz hierzu kann Menachmus behauptet haben, 
dass man erst erfahrt, dass es wirklich existiert, wenn 
man es konstruiert und damit den Beweis verbindet, dass 
diese Konstruktion wirklich zurn Ziele fiihrt. So verfahrt 
Euklid, indem er sich nicht damit begniigt gleichseitige 


90 Die griechische Mathematik: 

Dreiecke zu definieren, sondern, bevor er weiteren Gebrauch 
von ihnen macht, sich ihrer Existenz dadurch versichert, 
dass er im ersten Satze des ersten Buches die Aufgabe 
lost ein solches zu konstruieren imd die Richtigkeit der 
Konstruktion beweist. 

Die Notwendigkeit eines solchen Verfahrens macht 
sich insofern von selbst gel tend, als gleichseitige Dreiecke 
demnachst bei neuen Konstruktionen benutzt werden sollen ; 
aber es ist beachtenswert, dass Euklid auf dieselbe Weise 
mit solchen Dingen verfahrt, die in der Folge nur im 
Beweise fiir einen Lehrsatz benutzt werden sollen. Bevor 
er in I, 16 die Mitte einer geradlinigen Strecke benutzen 
darf, muss er in I, 10 durch Konstruktion dieses Punktes 
bewiesen haben, dass er wirklich existiert. Etwas ahn- 
liches gilt fiir alle ahnlichen Falle. Die wesentliche Be- 
deutung der geometrischen Konstruktion liegt darin, dass 
sie zum Beweise dafiir dienen soil, dass dasjenige, 
auf dessen Darstellung die Konstruktion ausgeht, 
wirklich existiert. 

Mag nun auch Menachmus zuerst diese Bedeutung 
der geometrischen Probleme, die durch Konstruktion ge- 
lost werden, zu vollem Bewusstsein gebracht haben, so 
hat diese sich doch auch schon fruher geltend gemacht. 
Das hangt namlich auf das genaueste zusammen mit der 
geometrischen Algebra. Als man gefunden hatte, dass 
keine Zahl oder kein Zahlenverhaltnis (Bruch) existiert, 
die mit sich selbst multipliciert 2 ergeben, und als man, 
statt eine solche Zahl zu verlangen, eine Strecke ver- 
langte, welche die Seite eines Quadrates ist von doppelter 
Grosse wie das Quadrat iiber einer gegebenen Strecke, so 
musste man die Existenz einer solchen Strecke beweisen. 
Das geschieht dadurch, dass man sie als Diagonale des 
Quadrates iiber der gegebenen Strecke darstellt. Eine 
ahnliche Bedeutung erhiilt die Losung allgemeiner Glei- 


10. Theoreme und Probleme. 91 

chungen 2ten Grades durch eine Konstruktion. Erst mit 
dieser allgemeinen Auffassung vor Augen begreift man 
vollkommen den Wunsch nach einer konstruktiven Losung 
von der Quadratur des Kreises, der Dreiteilung des Win- 
kels, der Verdoppelung des Wiirfels und der Bestimmung 
der beiden mittleren Proportionalen. Ohne sie kann man 
namlich durchaus nicht begreifen, dass die zum technischen 
Gebrauch ungeeigneten Losungen, wie die von der Qua 
dratur des Kreises durch die Quadratrix und wie die Be 
stimmung der mittleren Proportionalen durch Archytas, 
iiberhaupt irgendwelche Befriedigung gewahren konnten. 
Dieselbe Auffassung wird auch den Schliissel zum Ver- 
standnisse anderer Verhaltnisse in der griechischen Mathe- 
matik abgeben. 

In gewissen Fallen wird iibrigens diese Benutzung 
der Konstruktionen auch uns nicht fern liegen. Das gilt 
namentlich, wenn eine ganz allgemein gestellte Aufgabe 
nicht immer moglich ist, sondern gewisse Bedingungen 
fiir ihre Moglichkeit verlangt. In solchen Fallen beginnen 
die griechischen Schriftsteller damit, die Notwendigkeit 
dieser Bedingungen nachzuweisen. Das geschieht durch 
den Beweis fiir ein Theorem, das ausspricht, dass die 
betreffende Figur immer die Eigenschaften besitzt, die die 
Bedingungen fiir die Moglichkeit verlangen. Dass diese 
Bedingungen ausreichend sind, wird demnachst in einem 
Probleme bewiesen, indem angegeben wird, wie die Figur 
zu konstruieren ist, wenn sie erfiillt sind, und bewiesen 
wird, dass die Figur dann wirklich zustande gebracht ist. 
Das erste Beispiel hierfiir besitzen wir in Euklid I, 20 
und 22. Der erste Satz enthalt den Lehrsatz, dass jede 
Seite eines Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden 
anderen, der zweite das Problem ein Dreieck zu kon 
struieren, dessen Seiten gegeben sind, wenn alle drei dieser 
Bedingung geniigen. 


92 Die griechische Mathematik: 

11. Die analytische Methode; 
die analytisch-synthetische Darstellungsform, 

Der wichtigste Beitrag, den die Schulen von Plato 
und Eudoxus geliefert haben uni der Mathematik die 
aussere Form zu geben, in der sie bei Euklid und den 
folgenden griechischen Mathematikern erscheint, ist gewiss 
die Ausgestaltung der sogenannten apagogischen oder 
analytischen Methode und der Formen Analyse und 
Syn these, clurch die man sich sowohl zuverlassige Kr- 
gebnisse ihrer Anwendung als auch eine unanfechtbare 
Darstellung dieser Ergebnisse sicherte. 

Die analytische Methode findet zu allernachst Anwen 
dung bei der Losung von Aufgaben, und deshalb wollen 
wir zuerst von ihr red en. Wir glauben indessen, dass 
die logische Bedeutung der Regeln, die aufgestellt wurden 
urn die Losung zu finden und darzustellen, sich am best en 
verstehen lasst, wenn wir fiir einen Augenblick das Gebiet 
der griechischen Mathematik verlassen und von der ana 
lytischen Losung von Aufgaben ganz im allgemei- 
nen sprechen und zum Teil ihre Anwendung durch Bei- 
spiele klar machen, die anderen Aufgaben und anderen 
Hiilfsmitteln, als den Griechen zu Gebote standen, ent- 
nommen sind. Ich beabsichtige dadurch auf einen zu 
dem urspriinglichen stimmenden konsequenten Gebrauch 
hinzuweisen, der sich in der Mathematik von den Worten 
Analyse und Synthese, analytisch und synthetisch 
machen lasst, und der Platz greifen miisste statt der Ver- 
wirrung, zu der in der neueren Zeit die ausschliessliche 
Anwendung des Wortes Analyse auf die algebraische Ana 
lysis den ersten Anstoss gegeben hat. 

Eine mathematische Aufgabe geht darauf aus Grossen 
oder Figuren zu finden, die gewissen Forderungen geniigen. 


11. Die analytische Methode. 93 

Bei ihrer Losung kann ein Erraten, dass sich auf Ahn- 
lichkeiten mit anderen Aufgaben griindet, oft wohl eine 
Rolle spielen, und es soil nicht geleugnet werden, dass 
wichtige mathematische Resultate zuerst auf diesem Wege 
erreicht sein konnen; aber ein solches Erraten liegt ausser- 
halb jeder eigentlichen Methode. Bei jeder methodischen 
Behandlung wird es darauf ankommen, die gestellten 
Forderungen zu analysieren. Man muss sie zuerst klar 
in Gedanken festhalten, was nur dadurch geschehen 
kann, dass man sie sich erfiillt, die Auf gab e also ge- 
16s t denkt. Demnachst kommt es darauf an, auf irgend 
eine Weise, nach Regeln, die von derartigen Aufgaben 
her bekannt sind, oder nach neu gefundenen Regeln, die 
Forderungen in neue umzuformen, die notwendigerweise 
erfiillt sind, wenn die ersten es sind, und diese Umfor- 
miing fortzusetzen, bis man zuletzt zu Forderungen gelangt, 
die man zu erfiillen imstande ist. 

Bei dieser Analyse findet man, wie die Aufgabe 
gelost werden muss, wenn sie sich iiberhaupt losen lasst. 
Die Syn these besteht dann zuerst in der wirklichen 
Ausfiihrung dieser Losung: in einer solchen Bestimmung 
der gesuchten Grossen und Figuren, dass die umgeformten 
Forderungen befriedigt sind. Danach wird noch ein Be- 
weis dafiir verlangt, dass dann auch die urspriinglich 
gestellten Forderungen befriedigt sind. Dieser Beweis 
lasst sich, wenn sich keine einfacheren Wege darbieten, 
in der Regel fiihren durch eine Umformung der Forde 
rungen in der entgegengesetzen Reihenfolge wie diejenige 
war, die bei der Analyse benutzt wurde, so dass man 
damit schliesst, dass die Erfullung der neuen Forderungen, 
die man an die Stelle der ursprlinglichen gesetzt hat, 
auch notwendigerweise die Erfullung dieser mit sich 
fiihrt. Der B.eweis kann fortgelassen werden oder ist 
bereits in der Analyse gefiihrt, wenn man in dieser 


94 Die griechische Mathematik: 

nur solche Umformungen benutzt hat, die sich umkehren 
lassen, so dass die neuen Forderungen nicht nur die not- 
wendigen, sondern auch die ausreichenden Bedingungen 
fiir die alten sind, aber sonst nicht. 

Als Beispiel wollen wir die Losung von Aufgaben 
durch algebraische Gleichungen nehmen. Indem man 
Benennungen fiir die unbekannten Grossen einfiihrt und 
diese auf ganz dieselbe Weise wie die Bezeichnungen fiir 
bekannte Grossen in die Gleichungen eintreten lasst, die 
die gegebenen Forderungen ausdriicken, denkt man sich 
diese Gleichungen befriedigt, also die Aufgabe gelost. 
Die vorhin erwahnte Umformung der Forderungen wird 
dargestellt durch die Umformung der Gleichungen, bis 
man zu solchen Gleichungen gelangt, die die Losung er- 
geben. Das kann z. B. in der analytischen Geometric 1 
geschehen durch Herstellung der Gleichungen fiir solche 
geometrischen Orter, durch welche die Aufgabe gelost 
wird. Wird die Analyse auf Aufgaben angewendet, die 
darauf ausgehen die Werte von Unbekannten zu finden, 
so werden die umgeformten Gleichungen diejenigen sein, 
in denen die Unbekannten isoliert sind. Wenn wir uns 
nur an diesen letzten Fall halten, so besteht die auf die 
Analyse folgende Synthese 1) in der wirklichen Aus- 
rechnung der durch die gefundenen Ausdriicke gegebenen 
Grossen, ihre Umformung nach bestimmten Regeln, z. B. 
ihre Verkiirzung, Reduktion auf einfache Irrationalitat 
etc. mil einbegriffen, 2) in einer Priifung dieser Grossen. 


1 Die Bezeichnung analytische Geometrie wollen wir in der 
gewohnlichen Bedeutung benutzen, ohne Riicksicht darauf, dass 
auch andere Geometric analytisch sein kann, und dass man auch 
synthetisch mil den HiilfsmitteJn operieren kann, die nun einmal 
den Anspruch erworben haben analytische Geometric genannt zu 
werden. 


11. Die analytische Methode. 95 

Diese wird wohl in der Regel durch direktes Einsetzen 
vorgenommen, lasst sich aber auch in tJbereinstimmung 
mil dem, was oben liber die Bildung des synthetischen 
Beweises gesagt wurde, dadurch ausfiihren, dass man 
Schritt fiir Schritt durch die benutzten Gleichungen in 
umgekehrter Ordnung zuriickgeht. Dass ein solcher Be- 
weis nicht an und fiir sich durch die vorangehende Ana 
lyse liberfliissig gemacht wird, weiss man aus solchen 
Fallen, in denen man durch Potenzieren einen Wurzel- 
ausdruck fortgeschafft hat. War dieser einer von den 
Werten der Wurzel, z. B. der positive Wert einer Quadrat- 
wurzel, so weiss man, dass man dann fremde Losungen 
einfiihren kann. Statt eines Beweises fiir die Richtigkeit 
liefert die Probe dann einen Beweis fiir die Unrichtigkeit 
dieser letzten Wurzeln. Die Analyse allein lasst also die 
Moglichkeit fiir fremde Losungen off en. 1st die Losung 
im voraus bekannt, so kann sie und ihr Beweis allein 
synthetisch mitgeteilt werden, aber damit ist ein anderer 
Ubel stand verbunden. Ist die Aufgabe beispielsweise die 
Gleichung 

x 2 ax -f 6 = 0, 

oder eine Aufgabe, die, auf eine Gleichung gebracht, so 
ausgedriickt werden wiirde, so kann man synthetisch mit- 
teilen, dass 


x = -t- 


und unter dem Quadratwurzelzeichen die positive Quadrat- 
wurzel verstehen. Die Probe oder der synthetische Beweis 
ergiebt, dass diese Losung richtig ist; man sieht aber 
nicht, ob sie die einzige richtige ist. 

Was hier von der algebraischen Losung nachgewiesen 
ist, gilt allgemein : Die Analyse allein kann zu viele 
Losungen geben, die Synthese allein zu wenige. 


96 Die griechische Mathematik: 

Noch wollen wir untersuchen, auf welchem Punkte 
der vollstandigen Behandlung sich die Bedingungen fur 
die Moglichkeit darbieten. Man pflegt sie heut zu Tage 
an die vollstandige Beendigung der formellen Auflosung 
anzuscbliessen, die man dann diskutiert. In dem eben- 
genannten Beispiele wird aus dem gefundenen Ausdruck 

geschlossen, dass, damit x reell sein kann, f 1 &gt;b sein 

muss. Eine solche Diskussion wird jedoch nur dadurch 
moglich, dass man durcb Einfiihrung der Benennungen 
negative und imaginare Grossen auch solche Grossen 
anerkennt, die man urspriinglich nicht als Losungen er- 
wartet hatte. Ohne diese neuen Arten von Grossen wiirde 
man schon an einem friiheren Punkte der Analyse auf 
die Bedingung fiir die Moglichkeit getroffen sein. Wenn 
man beispielsweise aus der obenstehenden Gleichung ab- 
geleitet hat, dass 


so kann man daraus nur 

(--- 

/a\ 2 
ableiten, wenn ( J &gt; ft, da die rechte Seite sonst keinen 

Sinn giebt. Die Bedingungen fiir die Moglichkeit werden 
also aus der Analyse ebenso abgeleitet wie die Auflosung, 
lassen sich aber ebenso wie diese in einer rein syntheti- 
schen Darstellung mitteilen. 

Das Gebiet, auf welches die Griechen die hier ge- 
schilderte Methode zur Losung von Aufgaben an wand ten, 
sind die geometrischen Aufgaben, deren Endziel, wie 
wir gesehen haben, im allgemeinen eine Konstruktion 
ist, ontweder eine wirkliche mit Hiilfe von Zirkel und 


11. Die analytische Methode. 97 

Lineal, oder eine formelle. Solange man methodise h 
die Losung solcher Aufgaben gesucht hat, muss man nach 
unseren allgemeinen Bemerkungen analytisch zu Werke 
gegangen sein. Eine solche Behandlungsweise muss ge- 
wiss bereits gebraucht worden sein bei der geometrischen 
Losung der Gleichungen zweiten Grades durch die Pytha- 
goreer. Die Methode kann indes mehr oder minder be- 
wusst angewandt worden sein, denn, wie es sich oft in 
der Geschichte der Mathematik gezeigt hat, ist faktisch 
eine Methode zu benutzen nicht dasselbe wie sie sich so 
klar zu machen, dass man sie jedesmal zur Verfiigung 
hat, wenn Rich der Bedarf danach herausstellt, geschweige 
denn sie so aufzustellen, dass sie auch anderen zur Ver 
fiigung steht. 

Eine Konstruktion, die in ausgepragter Weise zeigt, 
dass sie durch Anwendung der analytischen Methode ge- 
funden worden ist, ist Archytas Bestimmung von zwei 
inittleren Proportionalen. Er konnte namlich unmoglich 
die Anwendung der ihm im voraus unbekannten cylin- 
drischen Kurve erraten haben, und deshalb muss es aus- 
schliesslich die von ihm angewandte Analyse gewesen sein, 
die ihn zu ihrer Einfiihrung gezwungen hat, ganz wie 
wenn in einer modernen analytisch-geometrischen Unter- 
suchung ein geometrischer Ort, der bei der Losung der 
Aufgabe zur Verwendung kommt, sich als eine Kurve 
herausstellt, von der man vorher nichts wusste, die aber 
durch die aus der Analyse hervorgehende Gleichung defi- 
niert wird. Wahrend wir hierdurch eine, bereits benutzte, 
Andeutung dariiber erhalten, dass die Zuruckfuhrung der 
Aufgaben auf die Benutzung geometrischer Orter und 
die Bestimmung dieser Orter zu den Seiten der analyti 
schen Methode gehorte, die bereits eine gewisse Entwicke- 
lung bei den Pythagoreern gefunden hatten, erfuhr die 
Methode durch die von Archytas Nachfolgern Plato 

7 


98 


Die griechische Mathematik: 


und Eudoxus gestifteten Schulen die formelle Entwicke- 
lung, die danach bei den griechischen Mathematikern in 
dauerndem Gebrauche blieb. 

Die Anwendung der Methode und die Darstellung 
der durch sie gewonnenen Resultate bestand in einer 
Reihe von Gliedern, deren Beschreibung wir am leichte- 
sten an die elliptische Flachenanlegung (S. 47) als Bei- 
spiel ankniipfen konnen. Indessen wollen wir die einzel- 
nen Glieder etwas kiirzer ausdrticken, als die Alten es 
gethan haben wiirden. 

1) Die Aufgabe wird gestellt in der sogenannten 
Protase (ngoraoig) : an eine gegebene Strecke eine gegebene 
Flache (Quadrat) so anzulegen, dass ein Quadrat fehlt. 

2) Die Aufgabe wird ausgesprochen mit Bezug auf 
eine bestimmte, gezeichnete Figur in der Ekthese 


4 C D b 


M 


C 


/ 


N 


f / 


das (gezeichnete) Quadrat q soil als Rechteck an die Strecke 
AB so angelegt werden, dass ein Quadrat fehlt. 

3) Man denkt sich die Aufgabe gelost (durch das 
Rechteck A M, das das Quadrat B M fehlen lasst) und 
fiihrt sie in der Apagoge, der Transformation (anaycoyrf), 
zuriick auf eine bekannte Aufgabe: 1st C die Mitte von 
A B, so wird das Rechteck K C hin auf D B gelegt 
(als D E). Dadurch wird das Rechteck A M verwandelt 
in einen Gnomon oder in die Differenz zwischen den 
Quadraten C B 2 und CD 2 . Die Strecke CD muss also 


11. Die analytische Methode. 99 

so bestimmt werden, class dieser Gnomon dem Quadrate 
q gleich wird. 

4) In der Resolution, wie man sie genannt hat, 
wird demnachst auseinandergesetzt, wie weit man nun 
wirklich alles besitzt, was notwendig 1st um die gestellte 
Aufgabe zu losen. Im vorliegenden Falle findet das nur 
statt, wenn q, das eben so gross sein soil wie ein von 
dem Quadrat C B 2 abgeschnittener Gnomon, kleiner als 
dieses Quadrat ist. Wenn man dies bemerkt hat, so hat 
sich dadurch allerdings ein Mangel an der gestellten Auf 
gabe herausgestellt. Es ist namlich, wenigstens in der 
iiberlieferten Litteratur, Regel, dass die Aufgaben mit 
einer solchen Begrenzung gestellt werden, dass sie gelost 
werden konnen. Dadurch erhalt man statt der Aufgabe, 
die wir hier zu stellen versucht haben, teils ein Theo 
rem, teils ein enger begrenztes Problem. Das Theorem 
(das sich in einer etwas allgemeineren Form in Euklid 
VI, 27 findet) muss darauf hinaus laufen, dass ein Recht- 
eck, so an eine Strecke angelegt, dass ein Quadrat fehlt, 
kleiner ist als das Quadrat liber der halben Strecke, oder, 
wenn man will, dass ein Rechteck kleiner ist als ein 
Quadrat von demselben Perimeter. Das Problem (das in 
allgemeinerer Form in Euklid VI, 28 behandelt wird) 
wird dasselbe wie dasjenige, dessen Losung hier versucht 
ist, nur mit dem Zusatz, dass das gegebene Quadrat kleiner 
sein muss als das Quadrat iiber der Halite der gegebeneii 
Strecke. Dieser Zusatz zur Protase wird der Diorismus 
(dioQiojuog) oder die Abgrenzung der Aufgabe genannt. 
In der Ekthese muss ferner von den Figuren, die man 
annimmt, ausgesprochen werden, dass sie die Bedingung 
(g&lt;C? 2 ) erfullen. Durch die Abgrenzung, die wir uns 
nun also in die Protase und Ekthese eingefiihrt denken, 
wird, wie wir sehen werden, die Resolution ganz iiber- 
flussig; denn nun wird der Versuch, ob die Aufgabe sich 


100 Die griechische Mathematik: 

durch das Vorliegende losen lasst, gelingen, und die Re 
solution wird dann mit der in der Synthese folgenden 
Angabe, wie sie zu losen 1st, ganz zusammenf alien. Sehen 
wir dagegen nicht auf die uberlieferten Mitteilungen iiber 
Resultate von zn Ende gefiihrten Untersuchungen, sondern 
auf die Anwendung der Methode auf neue Untersuchungen, 
so muss die Resolution erne wichtige Rolle gespielt haben. 
Wiihrend der Analyse hat man namlich bestandig priifen 
miissen, ob die Apagoge weit genug gefuhrt sei um die 
Aufgabe losen zu konnen; ausserdem ist aber die Resolu 
tion ein Mittel gewesen um das zu erreichen, was wir 
bereits (S. 92) als ein Hauptziel fur die Behandlung von 
Aufgaben genannt haben, namlich die urspningliche Auf 
gabe in das Theorem und in das Problem zu zerlegen, durch 
die man sich versichert, dass die Bedingungen fur die 
Existenz der verlangten Figur beziehungsweise notwendig 
und ausreichend sind. Sowohl in dem angefiihrten Bei- 
spiel wie im allgemeinen ist das, was man durch diese 
Methode erreicht hat, die Bestimmung ernes Maximums 
oder eines Minimum s. 

Was die Resolution auch liefern sollte, das ist die 
Zahl der Auflosungen. So ist im vorliegenden Falle zu 
bemerken, dass es, wenn CD 2 die richtige Grosse erhalt, 
gleichgiiltig ist, ob D auf die eine oder die andere Seite 
von C fallt, ein Umstand, auf den man gleichzeitig mit 
der Entdeckung des Maximalwertes von q hat aufmerksam 
werden konnen. Indessen legten die Griechen, die sich 
durch die Konstruktion namentlich davon uberzeugen 
wollten, dass die Figur iiberhaupt existierte, darauf kein 
sonderliches Gewicht. Da in anderen Fallen die Mehr- 
deutigkeit einer Aufgabe auf der Mehrdeutigkeit derjenigen 
beruht, auf die sie zunickgefuhrt wird, so wird sie, wenn 
sie bei den letzteren unbeachtet geblieben ist, auch nicht 
bei der Analyse der ersteren bemerkt worden sein. Wegen 


11. Die analytische Methode. 101 


dieser Unterlassung mussten Falle, bei denen die Mehr- 
deutigkeit den Griechen von einiger Wichtigkeit zu sein 
schien, zum Gegenstande besonderer Untersuchung gemacht 
werden. 

Die Transformation und Resolution machen die Ana 
lyse aus, durch welche die Auflosung gefunden wird. 
Darauf wird die gefundene Losung in der Synthese 
dargestellt. Diese enthalt: 

5) Die Konstruktion (xaraoxsvYJ], in der das Ge- 
suchte mit Hiilfe der anerkannten Konstruktion smittel 
zustande gebracht wird. Es ist jedoch keine Rede davon 
alle Einzelheiten namhaft zu machen, sondern nur davon, 
die von friiher her bekannten Konstruktionen anzugeben, 
aus denen die verlangte sich zusammensetzen lasst: in 
unserem Beispiel die Bestimmung von CD durch den 
pythagoreischen Lehrsatz u. s. w. Die Konstruktion wird 
also nur mit einer kleinen Formveranderung eine Wieder- 
holung dessen, was in der Resolution gesagt ist. 

6) Darauf wird der Beweis (ajiodsi^ig) dafiir gefuhrt, 
dass die Konstruktion wirklich die verlangte Figur zustande 
gebracht hat. Dieser wird in der Regel durch Anwendung 
derselben Schliisse gefuhrt, die in der Transformation in 
umgekehrter Reihenfolge benutzt worden sind. So wird 
im Beispiel das Rechteck A M aus der Gnomonfigur da- 
durch gebildet, dass das Rechteck D E auf A C gelegt 
wird. 

7) Endlich legt man sich in der Konklusion (ovp,- 
nQao[jLa) Rechenschaft dariiber ab, dass man wirklich 
das verlangte Ziel erreicht hat. Das geschieht durch eine 
Wiederholung der Protase, eingeleitet durch also ist u. s. w. 
und abgeschlossen durch was zu thun war. 

Wahrend die Analyse, die in 3 und 4, der Trans 
formation und Resolution, enthalten ist, namentlich me- 
thodische Bedeutung fur das Finden der Auflosung gehabt 


102 Die griechische Mathematik: 

hat, 1st sie nicht notwendig, wenn es nur darauf ankommt 
das Gefundene auf eine unanfechtbare Weise dar- 
zustellen, und das war stets der Hauptzweck bei den 
schriftlichen Mitteilungen der Griechen. Sie wird deshalb 
sehr oft ausgelassen, so dass die Darstellung nur noch 
aus den Abschnitten besteht, die wir hier mit 1, 2, 5, 6, 7 
bezeichnet haben; dadurch gelangt man zu einer Darstel- 
lungsform, die wir synthetisch nennen wiirden. Diese 
synthetische Darstellungsform wird namentlich benutzt 
bei der systematischen Behandlung einer ganzen Theorie, 
deren einzelne Konstruktionen den Verfassern im voraus 
mehr oder weniger bekannt gewesen oder in weiterem Zu- 
sammenhange gefunden sind, wie in Euklids Elementen 
und in dem grossten Teile von Apollo nius Lehre von 
den Kegelschnitten. tlbrigens erfahrt man eigentlich auch 
nicht mehr an den Stellen, wo die Analyse mitgeteilt wird ; 
denn erstens lasst sich nach dem Gesagten die Trans 
formation durch Umkehrung aller Schliisse des Beweises 
bilden, und die Resolution fallt dann mit der Konstruk- 
tion zusammen; und zweitens ist die Analyse, die mit 
geteilt wird, nur die Analyse der durch den Diorismus 
abgegrenzten Aufgabe und nicht - - wie in unserem ur- 
sprunglichen Beispiele - - diejenige, die zur Abgrenzung 
gefiihrt hat. 

Nachdem wir so ausfuhrlich iiber die Analyse und 
die damit verbundene synthetische Darstellung von Pro- 
blemen gesprochen haben, konnen wir rascher iiber die 
Anwendung dieser Methode und der entsprechenden Forrneii 
auf Theoreme hinweggehen. Die synthetische Dar 
stellungsform besteht hier zunachst aus ganz denselben 
Gliedern oder kann jedenfalls daraus bestehen; nur mu^s 
man in diesen iiberall Theorem an die Stelle von Problem 
setzen. Die Konstruktion besteht hier nur in der Kon- 
struktion der zum Beweise erforderlichen Hiilfslinien, und 


11. Die analytische Methode. 103 

fehlt, wenn solche nicht notig sind, und die Konklusion 
schliesst hier mit den Worten was zu beweisen war. 
Diese selben Glieder, die, wie man sieht, auch Mr die 
Theoreme logisch ausreichend sind, findet man deshalb, 
sowohl was Probleme als was Theoreme betrifit, iiberall 
bei Euklid. 

Indessen kann auch mit Bezug auf Theoreme von 
einer eigentlich analytischen Methode die Rede sein. 
Diese lasst sich benutzen, wenn man priifen will, ob ein 
Theorem, das von anderen mitgeteilt ist, oder dessen Auf- 
stellung vielleicht durch Erraten geschehen ist, richtig ist 
oder nicht. Man beginnt damit, die Richtigkeit des Theo- 
remes, das wir A nennen wollen, vorauszusetzen ; dann 
formt man dieses, ganz wie in der bei den Problemen 
angewandten Apagoge oder Transformation durch eine 
Reihe von Schliissen um, bis man sieht, dass es zu einem 
neuen Resultate K fiihrt, von dem man weiss, dass es 
richtig ist oder falsch. Im ersten Falle ist noch nur eine 
Moglichkeit dafiir vorhanden, dass A richtig ist, aber 
keinerlei Gewissheit. K kann aus einer Schlussreihe her- 
vorgegangen sein, in der nur scheinbar Gebrauch von A 
gemacht ist ; auch wenn man moderne algebraische Hiilf s- 
mittel benutzt, kann das geschehen, z. B. wenn man auf 
beiden Seiten des Gleichheitszeichens ohne es zu merken 
mit einer zusammengeseszten Grosse multipliciert hat, die 
in Wirklichkeit Null wird. Wenn man aus A das rich- 
tige Resultat K abgeleitet hat, so muss die Richtigkeit 
von A dadurch gepriift werden, dass man womoglich 
die in der Aufgabe durchlaufene Schlussreihe zuriick ver- 
folgt, so dass also die Richtigkeit von K diejenige von A 
mit sich fiihrt. Ist das der Fall, so liefert diese um- 
gekehrte Schlussreihe den Beweis fur die Richtigkeit von 
A, und man begniigt sich damit, diesen Beweis in der 


104 Die griechische Mathematik: 

oben erwahnten synthetischen Darstellung mitzuteilen mit 
Auslassung der Analyse, die dazu gefiihrt hat. 

In dem Falle, wo das aus der Annahme A abgelei- 
tete Resultat falsch 1st, kann man dagegen unmittelbar 
schliessen, dass auch A falsch 1st. Dies, oder, wenn A 
und B zwei Behauptungen sind, von welchen notwendig 
die eine richtig sein muss, die Behauptung, dass B rich- 
tig ist, kann man also als Theorem auistellen und den 
Beweis dadurch fiihren, dass die Annahme, B unrichtig 
oder A richtig, zu dem unrichtigen Resultat K fiihren 
wiirde. Ein solcher antithetischer Beweis ist apagogisch, 
also eigentlich analytisch. Da er indessen voile Sicher- 
heit dafiir gewahrt, dass die Behauptung B richtig ist, so 
wircl er vielfach in Schrif ten gebraucht, in denen die Dar 
stellung sonst synthetisch ist, haufig z. B. in Euklids 
Elementen. Die antithetische Beweisform "wurde auch 
von Dinostratus auf die Quadratrix angewandt (S. 77) 
und wird, wie wir sehen werden, immer im Exhaustions- 
beweise benutzt. 

Ein Beispiel dafiir, dass ein Theorem nicht aus einer 
Analyse des versuchsweise aufgestellten Theoremes selbst 
oder dessen Umkehrung hervorzugehen braucht, sondern 
aus der Analyse eines damit verbundenen Problemes, 
hatten wir dagegen in dem Theorem, das ausgeschaltet 
wurde, als wir oben versuchten die elliptische Fliichen- 
anlegung in zu grosser Allgemeinheit aufzustellen, dass 
namlich ein Rechteck, das so an eine Strecke angelegt 
wird, dass ein Quadrat t ehlt, nicht grosser ist als das 
Quadrat liber der halben Strecke. Der synthetische Be 
weis fur den etwas allgemeineren Satz bei Euklid VI, 27 
wird in Ubereinstimmung mit jener Analyse (S. 99) gefiihrt. 


12. Elemente ; analytische Hiilfsmittel. 105 


Elements ; analytische Hiilfsmittel, 

Ob man die Analyse benutzt um die Losung einer 
Aufgabe oder den Beweis fur einen Lehrsatz zu finden, 
oder ob man die Synthese benutzt um das gefuiidene 
darzustellen, immer ist die Losung aus Losungen von 
einfacheren Aufgaben zusammengesetzt und der Beweis 
auf der Richtigkeit von einfacheren Satzen aufgebaut. 
Es wird also vorausgesetzt, dass man im voraus im Be- 
sitze von solchen ist. Um sich auf den hier beschriebenen 
Wegen vorwarts zu arbeiten, muss man im voraus eine 
Sammlung einfacherer Losungen von Aufgaben und ein- 
facherer Lehrsatze haben, die man als Ausgangspunkt 
benutzen kann. Die Werke, welche solche Sammlungen 
enthalten, heissen Element e. 

Die ersten Elemente, von denen berichtet wird, waren 
von Hippo k rates geschrieben; aber leider kennen wir 
nicht dies aus so friiher Zeit stammende Werk des erfin- 
dungsreichen und, wie es scheint, von den philosophischen 
Schulen ziemlich unabhangigen Geometers. Die reellen 
und formellen Fortschritte, die mittlerweile in den Schulen 
gemacht wurden, wurden spater in neue Elemente auf- 
genommen. Einer von diesen Fortschritten, die Abgren- 
zungen oder Diorismen, werden dem nachsten Verfasser 
von Elementen, Leon, zugeschrieben, der sie also wohl 
mit in seine Elemente aufnahm. Seine und andere spatere 
Elemente sind verloren gegangen, nachdem diejenigen von 
Euklid die Alleinherrschaft gewonnen hatten, die sie wah- 
rend mehr als 2000 Jahren iiberall da behalten sollten, 
wohin die griechische Mathematik vorgedrungen war. 

Mit diesem Hauptwerk wollen wir uns recht ausfuhr- 
lich beschaftigen. Es wird sich dann auch beim Studium 
dieses Werkes zeigen, wie solide es aus synthetisch dar- 


10(5 Die griechische Mathematik: 

gestellten Problemen und Theoremen zusammengesetzt 1st, 
und eine wie sichere Grundmauer es abgeben musste fiir 
die mathematischen Gebaude, die darauf aufgefiihrt wurden. 
Bei den hierzu fiihrenden weitergehenden Untersuchungen 
konnte sich jedoch neben den durch und durch auf lo- 
gische Sicherheit berechneten Elementen das Bediirfnis 
nach Hiilfsmitteln geltend machen, die eine fiir die ana- 
lytische Arbeit bequemere Form besassen. Beispiele fur 
darauf hinzielende Arbeiten lassen sich auch aus der Zeit 
vor und nach Euklid und ebenso von ihm selbst anfuhren. 
So soil Hermotimus, ein Nachfolger von Eudoxus, 
iiber geometrische Orter geschrieben haben, vermutlich 
liber die sogenannten ebenen Orter, d. h. solche, die durch 
Gerade und Kreis dargestellt werden. t)ber denselben Gegen- 
stand hat der grosse Geometer Apollo nius spater zwei 
Biicher geschrieben, iiber deren Inhalt Referate vorliegen, 
die in der neueren Zeit einen nicht geringen Einfluss auf 
die Bildung der analytischen Geometric erhalten haben. 
Als ein Hiilfsmittel bei der Anwendung der analytischen 
Methode haben wir ferner Euklids Data zu erwahnen. 
Dieses Werk geht, was semen Inhalt betrifft, nicht iiber 
die Elemente hinaus, sondern teilt deren Inhalt in 
anderer Form mit. Die Satze desselben gehen namlich 
samtlich darauf hinaus, dass, wenn gewisse Grossen oder 
Stiicke einer Figur gegeben sind, gewisse andere es 
auch sind, d. h. durch die ersten bestimmt sind. Die 
ersten Satze des Buches sagen aus, dass gegebene Grossen 
ein gegebenes Verhaltnis, eine gegebene Summe u. s. w. 
haben, ein spaterer, dass gegebene Geraden sich in einem 
gegebenen Punkte schneiden; andere stellen die Bedin- 
gungen dafiir fest, dass ein Dreieck der Art nach gegeben 
i.-t, d. h. einem gegebenen ahnlich wird; noch andere 
teilen mit, dass zwei Grossen, deren Summe oder Differenz 
und deren Rechteck gegeben ist, selbst gegeben sind u. ,s. \\ 


12. Elemente; analytische Hulfsmittel. 107 


Die Bedeutung dieses Buches als analytisches Hulfs 
mittel ist einleuchtend. Es kam zunachst in der Trans 
formation darauf an, aus der, eventuell mit Hiilfslinien 
versehenen, Figur solche bekannte Stiicke herauszufinden, 
die unbekannte Stiicke bestimmen. Wenn man dann in 
der . Resolution Auskunft dariiber geben soil, dass man 
wirklich im Besitze des fur die Losung der Aufgabe Er- 
forderlichen ist, so kann das dadurch allein geschehen, 
dass man die Satze in der Form anfiihrt, in der sie sich 
in den Data finden. 

Die einzelnen Satze in Euklids Data gewahren uns 
zugleich einen Einblick in einige der specielleren analy- 
tischen Methoden, die man zur Verfiigung hatte. So ist 
in den Data nicht nur die Rede davon, welche Stiicke 
ein Dreieck bestimmen konnen, sondern auch davon, 
welche nur seine Gestalt bestimmen. Es liegt nahe hier- 
aus zu schliessen, dass man nicht nur Aufgaben dadurch 
loste, dass man in der Figur Dreiecke aufsuchte, mit deren 
vollstandiger Konstruktion die Aufgabe beginnen konnte, 
sondern auch dadurch, dass man solche suchte, deren 
Gestalt allein bestimmt war. Die Konstruktion eines Drei- 
ecks von dieser Gestalt konnte im allgemeinen nur der 
Ausgangspunkt sein fur die vorlaufige K6nstruktion 
einer Figur, die der gesuchten ahnlich war; hinter- 
her wiirde dann die wirkliche Grosse einer oder der anderen 
Strecke einzufiihren sein. In der griechischen Mathematik 
liegen in der That Aufgaben vor, die auf diesem Wege 
gelost sind. 

Die Zuriickfiihrung einer Aufgabe auf die Bestimmung 
zweier Grossen durch ihr Produkt (Rechteck) und ihre 
Summe oder Differenz, also auf die geometrische Losung 
von Gleichungen zweiten Grades, wird durch die zuletzt 
angefiihrten Satze aus den Data als eine brauchbare Me- 
thode hervorgehoben. Sie ist von den griechischen Ma the- 


108 Die griechische Mathematik: 

matikern vielfach angewandt worden. Wir werden spater 
sehen, dass anclere Satze der Data eine ahnliche Bekannt- 
schaft mit verwickelteren Gleichungen verraten, die durch 
Proportionen und geometrische Algebra ausgedriickt sind. 


13, Oberblick iiber Euklids Elemente; 
synthetisches Lehrgebaude, 

Euklids Elemente bestehen aus 13 Biichern, zu 
denen man in den meisten Ausgaben eine Arbeit von 
Hypsiklesals 14tes, und eine jiingere und unbedeutendere 
Arbeit als 15tes Buch hinzugefiigt hat. 

Das erste Buch enthalt die wichtigsten Satze iiber 
Seiten und Winkel in Dreiecken, iiber Konstruktion von 
diesen, iiber senkrechte und parallele Geraden, iiber Pa- 
rallelogramme und iiber ihren und der Dreiecke Flachen- 
inhalt. Das 2te Buch enthalt die bereits benutzte Grund- 
lage fur die geometrische Algebra, das 3te die Lehre vom 
Kreise und von Linien und Winkeln im Kreise, auch den 
Potenzsatz. Das 4te Buch handelt von ein- und um- 
beschriebenen Vielecken, clarunter namentlich von der 
Konstruktion des regelmassigen Dreiecks, Vierecks, Fiinf- 
ecks, Sechsecks und Fiinfzehnecks. 

Euklids personliche Arbeit an diesen Biichern ist 
wohl besonders darauf ausgegangen, diesen bekannten 
Stoff genauer als bisher geschehen darzustellen in t)ber- 
einstimmung mit den mittlerweile gestellten strengeren 
t ormellen Anspriichen. Eine eigentliche mathematische 
Arbeit kann indessen auch damit verbunden gewesen sein. 
Die Proportionen warden namlich, wie wir bereits gesehen 
haben, in der Geometric angewendet, auch bevor die 
exakte Proportionslehre des Eudoxus entstanden war. 
Wenn man dann in vielen Fallen gleichwohl seine Zu- 


13. Uberblick iiber Euklids Elemente. 109 


flucht zu einer Proportionslebre nehmen musste, die nur 
auf der Lehre von rationalen Grossen aufgebaut war, so 
kam es nicht sonderlich darauf an, ob sie etwas friiher 
oder spater benutzt wurde. Euklid dagegen kannte Eu- 
doxus Lehre von den Proportioned Diese war indessen 
zu neu, als dass sie ihren Platz am Anfange des Systemes 
hatte bekommen konnen, und musste deshalb bis zum 
5ten Buch aufgeschoben werden. Vorher musste also jede, 
offene oder versteckte, Benutzung der Proportionen und 
der Ahnlichkeit absolut vermieden werden. Es liegt z. B. 
nahe anzunehmen, dass es gerade diese Riicksicht war, 
die Euklid wie friiher beriihrt - - dazu zwang, den 
Beweis fur den pythagoreischen Lehrsatz zu erdenken, der 
sich am Schlusse seines ersten Buches findet. Um es 
verstandlich zu machen, dass es iiberhaupt moglich war 
so weit ohne Proportionen zu gelangen, will ich daran 
erinnern, dass mit Hiilfe der geometrischen Algebra die 
Satze iiber die Potenz eines Punktes mit Bezug auf e.inen 
Kreis (III, 35 37) bewiesen. worden waren. Diese Satze 
werden benutzt um ein gleichschenkeliges Dreieck zu kon- 
struieren, in dem der Winkel an der Spitze halb so gross 
ist wie ein Winkel an der Grundlinie (IV, 10); die Grund- 
linie ist dann Seite eines regelmassigen Fiinfecks, das 
denselben umbeschriebenen Kreis hat wie dieses Dreieck 
(IV, 11). 

Im 5ten Buch wird dann die Proportionslehre des 
Eudoxus dargestellt, und im 6ten Buch deren Anwen- 
dungen nicht nur auf die Geometrie, sondern, wie wir 
sehen werden, auch auf die Erweiterung der geometrischen 
Algebra. Die Konstruktion der mittleren Proportionale 
und die stetige Teilung einer Strecke, die im 2ten Buche 
in einer anderen Form mit Hiilfe der geometrischen Alge 
bra erhalteii waren, kommen hier wieder vor, aber dies- 
mal mit Hiilfe der Proportionen abgeleitet, namlich in 


110 Die griechische Mathematik: 

VI, 13 und 30. Wie viele von den einzelnen Satzen uncl 
Beweisen in diesen Buchern von Eudoxus herriihren, 
und wie viele Miner mit einer weniger entwickelten Lehre 
von den Proportionen verkntipft waren, wissen wir nicht. 
Euklid gebiihrt sicher die Ehre dafiir, alles zu einem 
systematischen Ganzen verarbeitet zu haben. 

In dieses Ganze hat er jedoch nicht die specielle 
Lehre von ration alen Grossen und den ganzen Zahlen, 
durch deren Verhaltnisse sie ausgedriickt werden, hinein- 
gearbeitet. Diese wird im 7ten bis 9ten Buch dargestellt, 
folgt also wohl auf die allgemeine Lehre von den Pro 
portionen, ist aber nicht auf diese aufgebaut. Die Beweise 
sind wahrscheinlich dieselben, die man vor Eudoxus 
Zeit benutzt hat, und von denen die Resultate damals 
auch auf irrationale Grossen iibertragen wurden. 

Die irrationalen Grossen selbst werden im lOten Buch 
behandelt. Hier findet sich diejenige Klassifikation von 
ihnen, die Theatet begonnen hatte (vergl. S. 57), die aber 
von Euklid vollendet worden sein soil. Hier und bei 
der Anwendung der Klassifikation auf die Bestimmung 
der Stiicke der regularen Polyeder findet sich wohl Eiv 
klids bedeutendste personliche Arbeit. 

Vor dieser Anwendung ist es jedoch notig die ele- 
mentare Stereometric zu entwickeln. Das geschieht im 
llten Buch. Die Berechnung des Volumens der Pyramide 
verlangt infinites imale Grenzbestimmungen ; diese gewinnt 
man, wenn sie auch formell umgangen werden, durch 
den Exhaustionsbeweis von Eudoxus, der dafiir im 
12ten Buch verwandt wird, nachdem er zuerst zu der 
zweiten in der elementaren Geometric notwendigen Grenz- 
bestimmung benutzt worden ist: zu dem Beweise dafiir, 
&lt;lass zwei Kreise sich wie die Quadrate iiber ihren Durch- 
messern verhalten. Erst im I3ten Buch kommt die Be 
stimmung der Stiicke der regularen Polyeder. 


13. Uberblick iiber Euklids Elemente. HI 

Wie man sieht sind bis zu einem gewissen Grade 
gleichartige Stoffe, wie die Lehre von den irrationalen 
Grossen, und gleichartige Methoden, wie die Anwendungen 
des Exhaustionsbeweises, zusarnmengestellt. Zum Teil ist 
diese Zusammenstellung jedoch auf Rechnung der friiheren 
historischen Entwickelung zu stellen, Euklid kann jeden- 
falls erst in zweiter Linie Riicksicht darauf nehmen. Mit 
Rucksicht auf die in der vorhergehenden Zeit entwickelten 
strengen logischen Principien, zu deren weiterer Verschar- 
fung Euklid durch seine Schrift iiber Fehlschliisse 
beigetragen hatte, war die logische Unanfechtbarkeit die 
Hauptsache. Wahrend diese fiir das einzelne Problem 
oder Theorem, wie wir gesehen haben, durch die synthe- 
tische Darstellung verbiirgt wurde, kam es darauf an, so- 
wohl innerhalb jedes einzelnen Buches wie im ganzen 
Werke, die einzelnen Probleme und Theoreme so zu ord- 
nen, dass die Grundlage, auf der, und das Material, aus 
clem jedes neue aufgefuhrt werden sollte, bereits durch 
die vorhergehenden hergestellt war. Mit Bezug hierauf 
haben wir angefiihrt, dass nicht einmal der Mittelpunkt 
einer Strecke in einem Beweis benutzt werden durfte, be- 
vor nicht seine Existenz durch Konstruktion bewiesen 
worden war. 

Eine solche Zusammenfiigung von Satzen, in der 
man, wie in einem synthetischen Beweise fiir einen ein 
zelnen Satz, von dem Bekannten zu dem Unbekannten 
iibergeht, sich also vom Einfachen und Einzelnen zum 
Zusammengesetzteren und Allgemeineren erhebt, wollen 
wir ein synthetisches Lehrgebaude nennen ohne 
dass jedoch aus dem Altertum eine unmittelbare Berechti- 
ing fiir diese Bezeichnung vorliegt. In einem solchen 
.ehrgebaude ist der Ausgangspunkt und der Schluss von 
besonderer Bedeutung. 


112 Die griechische Mathematik: 

Was den Ausgangspunkt betrifft, so 1st es klar, da~&gt; 
den Problemen, deren Losungen aus solchen zusammen- 
gesetzt sind, die durch friihere Probleme gegeben wurden, 
und den Theoremen, deren Beweise auf friihere Theorems 
und Probleme aufgebaut sind, gewisse ersteKonstruktionen 
vorangehen mussen, deren Ausfiihrung ohne weiteres als 
bekannt betrachtet wird, und gewisse erste Behauptungen, 
deren Richtigkeit als uninittelbar einleuchtend angesehen 
wird. Die ersteren heissen bei Euklid Postulate oder 
Forderungen (amy^ara), die letzteren allgemeine An- 
nahmen (xoival evvoicu); statt des letzteren Wortes wird 
jt-doch gewohnlich das bei anderen, namentlich philoso- 
pliisrhcn Schriftstellern vorkommende Axiom e (at-KojuciTa) 
genommen. Vor diesen beiden Arten von Voraussetzungen 
miissen die Begriffe aufgestellt werden, von denen diese 
Voraussetzungen gelten. Das geschieht in den Defini- 
tionen (OQOI). Mit den Begriffen und Voraussetzungen, 
die in dieser Weise von Euklid aufgestellt werden, wollen 
\vir 11 ns demnachst beschaftigen. Dadurch lernen wir 
denn auch die Anspriiche kennen, die die Alten im ganzen 
an ilire Voraussetzungen stellten. 

Ausser den Voraussetzungen zieht bei einem syntlu-- 
tischen Lehrgebaude auch der Schluss eine gewisse Auf- 
nicrksamkcit auf sich, da es bei der ganzen Anordnunu 
den Anschein erhalt, als ob alles Vorhergehende als Grund- 
lage fiir diesen Schluss mitgenommen ist. Wie bereits 
erwahnt schliessen Euklids Elemente mit der Bestimmung 
der Stiicke der regularen Polyeder und der daraus fol- 
L"iidrn Konstruktion der Polyeder. Dies ist ganz gewis- 
nicht Euklids einziges Ziel gewesen, denn im Verlauf 
Beinei Arlu-it nimmt er vidcs mit, was weder direkt noch 
indin-kt fiir dirsc rx stimmunjr lu-nutzt wird; er hat also 
&lt; inc all.Livmeine Grundla^i t iir wcitcrp lu-nde mathema- 
tisclu- Qntersuchungen iMM^cstellt und sicherlicli auch 


13. Uberblick iiber Euklids Elemente. 113 

herstellen wollen. Die grouse Bedeutung, die der Kon- 
struktion der regularen Polyeder als Schlussstein seiner 
Arbeit zukommt, ist jedoeh die Veranlassung gewesen, 
dass Arbeiten anderer Sehriftsteller iiber diese Polyedi-r 
bereits in sehr alte Ausgaben des Euklid als 14tes und 
lotes Buoh aufgenommen sind. 

In bestimmterer Weise geht die Behandlung im er 
st en B no lie, fur sioh allein genommen, darauf aus, gerade 
das mitzubekonimen, was logiseh notwendig ist. urn die 
erforderliehe Grundlage fill- die im naehsten Buehe ent- 
wickelte geometrische Algebra zu erreiehen. Diese wird 
der Schlussstein des ersten Buches, namlich der Satz vom 
Gnomon, I, 43, und der pythagoreisehe Lehrsatz, I, 47. 
Aueh hier wird jedoeh ein vorlanriges Ziel niitgenommen, 
das mitten im Buehe in Verbindung mit der fur das 
Hauptziel notwendigen Parallelentheorie erreieht wird, 
namlich der Satz V 8 2^ iiber die Winkelsumme eines Drei- 
ecks. Im iibrigen enthiilt das Buoh Satze iiber die Lage 
gerader Linien gegen einander, iiber senkreehte und pa- 
rallele Geraden mit zugehorigen Konstruktionen, iiber 
Kongruenz und Konstruktion von Dreieeken, und iiber 
die Abhiingigkeit zwisehen Gleiehheit und Ungleiehheit 
von Seiten und Winkeln in einer Vermengung, die nur 
wenig iibersichtlieh ist, die aber eine Folge ist von der 
logiseh wohl gesieherten Methode, nach der die Satze all- 
mahlich auf einander aufgebaut sind. Beispielsweise wollen 
wir anfiihren, dass die Satze iiber Kongruenz der Dreieeke 
sich in 4, S und 20 rinden, und dass Euklid keine Ver 
anlassung nimmt die Kongruenz von Dreieeken zu unter- 
suehen, die in einem Winkel, einer anliegenden und einer 
gegeniiberliegenden Seite iibereinstimrnen. Fiir Satze hier- 
iiber hat er namlich keine Verwendung; dagegen l^ehandelt 
er im in en Buehe, wo er S-itze iiber die Ahnliehkeit der 
Dreieeke zusammenstellt , auch den hierher gehorigen 

8 


114 Die griechische Mathematik: 

Fall. Am Schlusse des Buches sind die Satze iiber Fla- 
chengleichheit mehr zusarornengeruckt. 

Da wir hier den Begriff synthetisches Lehrgebaude auf- 
gestellt haben, so wollen wir des Gegensatzes wegen und da 
wir auch, abgesehen von der Anwendung auf die Schriften der 
Alten, wiinschen zu voller Klarheit iiber die Begriffe Analyse und 
Synthese zu gelangen beriihren, was wir unter einem analyti- 
schen Lehrgebaude verstehen wiirden. Wahrend man sich in 
dem synthetischen Lehrgebaude erst allmahlich zu der Betrachtung 
von zusammengesetzteren und allgemeineren Verhaltnissen erhebt, 
nimmt man im analytischen Lehrgebaude em allgemeines 
Princip, dass gerade durch seine Allgemeinheit eine gewisse Ein- 
fachheit besitzen kann, zum Ausgangspunkt und entwickelt von 
diesem aus die Verhaltnisse, die in den verschiedenen einzelnen 
Fallen zur Geltung gelangen mussen. Eine Behandlung der Geo 
metric, bei der man mit der geraden Linie und dem Kreise anfangt 
und sich demnachst durch die Kegelschnitte zu Kurven hoheren 
Grades erhebt, ist ihrer ganzen Anlage nach synthetisch, selbst 
wenn die Einzelheiten analytisch behandelt werden; eine Behand 
lung aber, bei der man sofort die Eigenschaften allgemeiner Kurven 
untersucht und daraus im besonderen Satze iiber die Gerade oder 
die Kegelschnitte ableitet, ist ihrer Anlage nach analytisch. Ein 
ausgepragtes Beispiel fur eine analytische Behandlungsweise besitzen 
wir in der analytischen Mechanik von Lagrange, in der alles aus 
dem Princip der virtuellen Geschwindigkeiten abgeleitet wird. Ware 
dies Princip selbst nur als eine Hypothese aufgefasst, die durch 
ihre Anwendungen oder Konsequenzen bewiesen werden sollte, so 
wiirde das Verfahren ganz iibereinstimmen mit der bereits erwahnten 
Anwendung der analytischen Methode auf einzelne Satze. Ist das 
Princip dagegen wie bei Lagrange im voraus sicher gestellt, so 
ist das angewandte Verfahren dennoch wesentlich dasselbe, und 
wenn man es analytisch nennt, so stimmt das immer noch zu der 
friiher gebrauchten Anwendung dieses Wortes. Im iibrigen wird 
in der Regel durch ein synthetisches Fortschreiten vom Specielleren 
zum Allgemeineren der allgemeine Gesichtspunkt gewonnen werden, 
der der Ausgangspunkt fur ein analytisches Lehrgebaude ist. 


14. Euklids geometrische Voraussetzungen. H5 

14, Euklids geometrische Voraussetzungen. 

Die Voraussetzungen, auf denen Euklid die Geometric 
aufbaut, muss man in den Definitionen, Postulaten und 
Axiomen suchen, die an der Spitze seiner verschiedenen 
Biicher stehen. Besonderes Interesse haben diejenigen, 
die zum ersten Buche gehoren, da sie und die nach und 
nach darauf aufgebauten Resultate auch den folgenden 
zu Grande liegen. Bei diesen wollen wir deshalb hier 
namentlich verweilen, sie jedoch sofort durch einige der 
in andere Biicher eingefiihrten neuen Voraussetzungen er- 
ganzen. Diejenigen, die in Verbindung mit besonderen 
Theorien, wie mit der Lehre von den Proportionen, stehen, 
wollen wir jedoch erst in Verbindung mit diesen Theo 
rien besprechen. 

Bei dem ersten Durchlesen von Euklids Definitionen, 
Postulaten und Axiomen wird man gewiss finden, dass 
sie keineswegs auf gleicher Hohe mit den formellen und 
logischen Anspriichen stehen, die die Alten nach unserer 
Aussage erhoben haben. Beispielsweise wird man sehen, 
dass verschiedene von den Definitionen gar nichts von 
dem sagen, was definiert werden soil, und keine Sicher- 
heit dafiir gewahren, dass wirklich etwas existiert, was 
den Definitionen entspricht. Die Definition der geraden 
Linie sagt nichts mehr, als wenn man gesagt hatte: es 
giebt eine gewisse Art von Linien, die gerade heissen. 
Was es fur Linien sind - - also die Eigenschaften der 
Linien, die man in unseren Tagen fur die Definition be- 
nutzen wiirde das wird erst in den Postulaten aus- 
gesagt, die also sagen: wir wollen davon ausgehen, dass 
die gerade Linie die und die Eigenschaften hat. Auch 
die Postulate und Axiome sind zum Teil mit einer Kiirze 
ausgedriickt, die sie ratselhaft erscheinen lassen kann 
und einen starken Gegensatz zu der vorsichtigen Ausfiihr- 

8* 


Die griechische Mathematik; 

lichkeit bildet, niit der alles in den eigentlichen rnathe- 
niatischen Satzen und ihren Beweisen behandelt wird. 

Die Sache 1st die, dass in die Definitionen, Postulate 
und Axiome alles das verwiesen wird, zu dessen Voraus- 
setzung im Lehrgebaude der Mathernatiker berechtigt 
sein will, ohne weder eine Erklarung oder Beschreibung 
vorn wie, oder eine Begrundung vom weshalb zu 
geben. Es ist seine Sache im voraus ein genaues Ver- 
zeichnis von dem zu geben, was er voraussetzen will, 
und dieses muss so deutlich sein, dass es, sobald er es 
benutzen soil, klare Auskunft giebt, so dass es dann 
klar wird, dass er weder mehr noch weniger gebraucht 
als das, wozu er sich das Recht ausbedungen hat; die 
Abstraktionen aber, die dazu gefiihrt haben die Begriffe 
aufzustellen und ihnen in Postulaten und Axiomen gerade 
diese bestimmten Eigenschaften beizulegen, ja selbst ein 
vorlaufiger Nachweis dariiber, dass er wirklich die Forde- 
rung erfiillt habe, ihnen weder zu viele noch zu wenige 
Eigenschaften beizulegen, gehen ihn nichts an. Er ist 
als Mathernatiker nur verantwortlich dafiir, dass derjenige, 
der ihm alle diese Dinge einraumt, hinterher durch 
seine sicheren Schliisse gezwungen werden muss alles das 
einzuraumen, was er daraus ableitet. Dabei muss es sich 
praktisch zeigen, dass er eine hinreichende Anzahl von 
Voraussetzungen gemacht hat. Dass er nicht zu viele 
gemacht hat, lasst sich wohl kaum so unmittelbar nach- 
weisen; aber wenn er es gethan hatte, so wiirde er sich 
dem aussetzen, dass andere ihm nachweisen konnten, dass 
er es gethan hatte, namlich dadurch, dass einige von den 
Voraussetzungen in Widerstreit mit ein an der waren 
oder aus einander abgeleitet werden konnten. 

Wenn man die von den Alten, namentlich von Eu- 
klid, ausdriicklich aufgestellten geometrischen Voraus 
setzungen richtig wiirdigen will, so muss man mehr dar- 


14. Euklids geometrische Voraussetzungen. H7 

auf sehen, welches diese Voraussetzungen sind, als darauf, 
dass Angaben dariiber fehlen, woher sie stammen, oder 
auf die Form, unter der sie auftreten. Dann wird sich 
zeigen, dass es dieselben sind wie diejenigen, auf denen 
wir noch heutigen Tages die Geometric auffiihren, und 
dass sie mit einer Sicherheit und Vollstandigkeit vorgefuhrt 
werden, die dauernd auch denen zum Muster dienen 
muss, die Veranlassung zu einzelnen Erganzungen oder 
Modifikationen finden konnten. Um sie ganz zu verstehen, 
miissen wir jedoch dann and wann auch die, wenigstens 
fur eine moderne Auffassung, mangelhaften Formen be- 
ruhren, in denen mehrere von ihnen auftreten. 

Wir wollen damit beginnen diejenigen Definitionen 
hervorzuziehen, die uns Veranlassung zu einigen Bemer- 
kungen geben konnen. Der Punkt wird durch seine 
Unteilbarkeit definiert (I, Def. 1.). Von da aus geht es 
weiter zu der Linie als Lange ohne Breite (I, 2), zu der 
Flache mit Lange und Breite (I, 5) und im llten Buche 
zum K or per mit Lange, Breite und Dicke (XI, 1). Diese 
Definitionen geben keine Aufklarung dariiber, wie man 
zu den Begriffen Punkt, Linie, Flache und Korper gelangen 
soil, nennen also als eine Voraussetzung, auf der man 
bauen soil, dass man bereits im Besitze dieser Begriffe 
ist und versteht, was es heissen soil, dass der Punkt 
Dimensionen hat, die Linie 1 u. s. w. ; hierin liegt wieder, 
dass eine Linie als ein geometrischer Ort fur Punkte, 
Flache und Korper als solche fur Linien und Flachen 
aufgefasst werden. Um wirklich in den Besitz der Be 
griffe zu gelangen, wird man in der Regel nicht diesen 
synthetischen Weg von Punkt zu Linie, Flache und Korper 
gehen, sondern den umgekehrten analytischen, indem 
man also vom Korper als etwas unmittelbar gegebenem 
ausgeht, die Flache als eine Grenze fur den Korper be- 
trachtet u. s. w. Dass dieser Weg zu den Begriffen zu 


Die griechische Mathematik: 

gelangen den Alt-en nicht unbekannt war, sieht man aus 
einer anderen Reihe von Definitionen, namlich XI, 2, 
I, 6 und I, 3, die indessen bei Euklid nicht neue Defi 
nitionen von Flache, Linie und Punkt sind, sender n nur 
Angaben dariiber, wie Korper, Flache und Linie begreiizt 
werden. 

Dass man nicht in den Definitionen, sondern erst in 
den Postulaten in Verbindung mit einem der Axiome 
Aufklarung dariiber suchen muss, was einegerade Linie 
ist, habe ich bereits beruhrt. Auch die Existenz der 
Kreislinie wircl erst sichergestellt in den Postulaten, 
wogegen ihre Definition (I, 15) eher zu viel als zu wenig 
zu sagen scheint. Diese berichtet namlich nicht nur, dass 
alle Punkte der Kreislinie dieselbe Entfernung vom Cen 
trum haben sollen, sondern giebt zugleich an, dass der 
Kreis selbst eine Figur ist, also ein durch die Rreislinie 
abgegrenzter Teil der Ebene, und dass das Centrum inner- 
halb dieser Linie liegt. Wenn nicht gesagt ist, dass die 
Kreislinie alle Punkte von der zuerst angefuhrten Eigen- 
schaft enthalten soil, so wird die erste der angefuhrten 
Angaben immerhin kein iiberflussiges Unterscheidungsmerk- 
mal zwischen der ganzen Kreislinie und dem Kreisbogen. 
Dadurch kann sie ihren Platz zwischen den Definitionen 
behaupten. Im ubrigen werden wir sehen, dass diese 
Angaben, wenn sie ihren Platz nicht hier erhalten batten, 
in einer oder der anderen Form unter die Postulate auf- 
genommen werden mussten. 

Die Definition eines Durchmessers im Kreise (I, 17) 
enthalt dagegen einen Zusatz, der siclier iiberflussig ist, 
nicht nur fur die Definition, sondern uberhaupt unter den 
Voraussetzungen. Es wird niimlich nicht nur gesagt, dass 
der Durchmesser durchs Centrum geht, sondern auch, 
dass er den Kreis halbiert. Dies letztere ist ein Satz, 
der sich durch die Kongruenz der beiden Teile, in die 


14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 119 

der Kreis geteilt wird, beweisen lasst. Vielleicht hat ein 
spaterer Herausgeber ihn in die Definition hineingeschoben, 
weil er sich in der That in keinem Lehrsatz bei Euklid 
findet. 

Euklids Definition eines Winkels ist an sich bei- 
nahe ebenso leer wie die Definition der geraden Linie. 
Dem wird jedoch abgeholfen durch die Axiome, in denen 
allgemeine Kennzeichen dafiir aufgestellt werden, ob eine 
geometrische Grosse grosser, gleich, oder kleiner ist als 
eine andere derselben Art. Diese Kennzeichen lassen sich 
namlich auch auf Winkel anwenden, und da es sich zu- 
gleich zeigt, dass Winkel addiert werden konnen, so er- 
halten sie dadurch wohl definierte Grossen (vergl. im 
Folgenden S. 127). Im iibrigen sei bemerkt, dass die 
urspriingliche Definition des Winkels auch anwendbar ist 
auf Winkel zwischen krummen Linien. Benutzt wird 
dieser Begrifr 1 in III, 16, wo gezeigt wird, dass die Senk- 
rechte auf dem Durchmesser in einem Punkte der Kreis- 
peripherie einen kleineren Winkel mit dem Kreise bildet 
oder ihm naher kommt als jede andere gerade Linie. 

Die Postulate, die Euklid im ersten Buche auf- 
stellt, sind nach der neuesten und zuverlassigsten Text- 
revision 1 folgende: 

1. Eine gerade Linie von einem Punkte bis zu einem 
anderen zu ziehen. 

2. Eine begrenzte gerade Linie unbegrenzt zu ver- 
langern. 

3. Einen Kreis mit gegebenem Mittelpunkt und ge- 
gebenein Radius zu beschreiben. 

4. Alle rechten Winkel sind unter sich gleich. 


1 Euclidis Elementa; edidit et latine interpretatus est 
J. L. Heiberg. Lipsiae 188388, 8. 


120 Die griechische Mathematik: 

5. Wenn eine gerade Linie, die zwei andere gerade 
Linien schneidet, auf derselben Seite innere Winkel bildet, 
die zusammen kleiner als zwei Rechte sind, so werden 
die letzgenannten beiden Linien bei der Verlangerung bis 
ins Unendliche sich auf der Seite schneiclen, wo die Winkel- 
summe kleiner als zwei Rechte ist. 

Die Konstruktionen, aus denen sich alle iibrigen nach 
diesen Postulaten sollen zusammensetzen lassen, sind die- 
jenigen, die praktisch durch Zirkel mid Lineal ausgefiihrt 
werden. Indessen wiirde es irrefiihrend sein, nur dies 
einseitig festhalten zu wollen. Das zeigt sich unter ande- 
rem dadurch, dass dann kein rechter Platz mehr bleiben 
wiirde fiir die beiden letzten Postulate, weshalb denn auch 
bereits sehr friihe Herausgeber sich haben verleiten lassen 
diese unter die Axiome zu versetzen. 

Wie man sieht, werden Lineal und Zirkel gar nicht 
genannt. Durch ihre Benutzung wiirde man ja auch nur 
ein unvollstandiges Bild von der mathematischen geraden 
Linie und dem mathematischen Kreise geben. Selbst die 
drei ersten Postulaten geben, wie wir bereits iiber Euklids 
Voraussetzungen iiberhaupt gesagt haben, gar keine Auf- 
klarung dariiber, von wo aus oder durch welche Mittel 
man das zustande bringt, was man vorausgesetzt haben 
will. In tibereinstimmung damit, dass die Probleme der 
Alten im wesentlichen Satze iiber die Existenz, und ihre 
Losungen Beweise fiir die Existenz des Behandelten oder 
Gesuchten sind, sind die Postulate Behauptungen iiber 
dessen Existenz, deren Anerkennung ohne Beweis oder 
Nachweis verlangt wird. Die Behauptungen, die in den 
drei ersten Postulaten enthalten sind, wollen dann nur 
sagen, dass es eine gerade Linie durch zwei beliebige ge- 
gebene Punkte giebt, dass diese ohne Grenze verlangert 
werden kann, und dass es einen Kreis giebt mit einem 
beliebigen gegebenen Mittelpunkt und einem beliebigen 


14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 121 

gegebenen, von diesern ausgehenden Radius, oder mit 
anderen Worten einen Kreis, der einen gegebenen Mittel- 
punkt hat und durch einen gegebenen Punkt geht. Dass 
das dritte Postulat wirklich so zu verstehen ist und nicht 
etwa verlangt, dass die Existenz eines Kreises mit gegebe- 
nem Mittelpunkt und einem an einer Stelle der Ebene 
gegebenen Radius ohne Beweis eingeraumt werde, ergiebt 
sich sofort daraus, dass Euklid im 2ten Satze zeigt, dass 
die Bestimmung eines solchen Kreises mit Hulfe der im 
ersten Satze mitgeteilten Konstruktion eines gleichseitigen 
Dreiecks sich aus den postulierten Konstruktionen zu- 
sammensetzen lasst. Da dies sich wirklich thun lasst, 
so hat Euklid durch die angefuhrte Einschrankung des 
3ten Postulates nur die bereits genannte Pflicht erfiillt 
nicht zuviel vorauszusetzen. Ware dagegen nur die 
Rede von der praktischen Ausfiihrung mittels des Zirkels, 
so ware die Lage des gegebenen Radius gleichgultig ge- 
wesen, und man darf wohl sagen, dass der im 2ten Satze 
angegebene Weg nicht fur die praktische Ausfiihrung von 
Zeichnungen bestimmt gewesen ist. 

Bei dieser Auffassung von der Bedeutung der Postu 
late ist es offenbar, dass es nicht geniigt, die Existenz 
der auf die einfachste Weise bestimmten geraden Linien 
und Kreise zu postulieren. Die geometrischen Konstruk 
tionen werden dadurch ausgefiihrt, dass man mittels des 
Durchschnittes verschiedener Linien Punkte bestimmt, die 
wieder zur Bestimmung von neuen Linien benutzt werden 
konnen. Dann muss die Existenz der Schnittpunkte eben- 
sowohl wie diejenige der Linien postuliert werden, denn 
sie kann unmoglich eine Folge dieser letzteren sein. Im 
5ten Postulat wircl es deshalb ausdrucklich als eine neue 
Voraussetzung aufgestellt, dass zwei gerade Linien sich 
schneiden, wobei jedoch die Einschrankung gemacht wer 
den muss, die notwendig ist, damit die Behauptung wirk- 


122 Die griechische Mathematik: 

lidi \\abr werden kann, eine Kinsdirankung, die bier 
ganz dieselbe Rolle spielt, wie der Diori-mus zu din-in 
Problem. Wenn nicht die Kxisten/ des Sohnittpunktes 
iin "(ten I nstulat verlanirt worden ware, so wiirden die 
Ln.-Miniren. der Probleme, bci denen Selmhtpunkte /wisdn-n 
den Linien benutzt werden, im Alliremeinen durchaus 
nidit diejVuiij-en Beweise t iir die Existenz der konstruier- 
ten Figuren geben, die die wesentliche Ausbeute der Kon- 
struktinnen sein solllcn. 

1st dicse Betrachtung rich tig, BO wird man Postulate 
^ermissen, die aul iilmlidie Weise die Kxisten/ von Sdmiit- 
lunktcn /wisdien der nvradcn Linie and dem Krdse nder 
zwischen zwei Krdsen anerkcnnen. Allenlin^s muss die 
vollstiindi.nc Ab^renzung der Falle, in denen das l)urdi- 
sdineiden \virklidi stattlimlet, ben-its die iMitwiekdun^; 
von nielireren Siit/en vei lan^en, uiul vielleicht bat d-r 
Umstaud, dass Euklid desbalb nidit sofort diese Ab- 
invn/un&lt;j; in voller Allgomoinlieit Licbeii kann, ilm abgehalten 
die liier/u (liciieinlen Korderuii^ssiit/e aut/ustdleii. I m 
iibci-liaupt den Kreis bei Konsti-uktionen benut/en VA\ kii- 
nen, sind jedodi w^nigstens einige Voraussetzungen fiber 

srin Sdmeiden mil der --ei aden Linie und init auderen 
Kreisen notwcndi-. Welche Euklid benutzt, das muss 
man in den A 1 1 \vendungen suchen, die er macht. 

Da sidit man demi in Sat/ I, !_!, dass er um sidier 
/u scin, dass ein Kivis mil ^e-vbenem Mittdpunkt cine 
gewisse gerade Linie scbneidet, dicsen Kreis durch einen 
I unkt --dicii liisst, der auf der dem Mittelpunkt eiil-v.ut i!- 
geset/Len Seite der Geraden lie.ut, und das&gt; cr efl in Sat/ 1 
als dnleuditend betrachtet, dass /wei Kreise, jeder mit 
dem Mittelpunkt aul der IVripbcrie des anderen, sicb in 
zwei I liukten sdindden, und in Sat/. "2 2, &lt;lass aucb ein 
Kreis, der snwobl durdi eim-u 1 unkt innerbalb als durdi 
eincn Punkt ausserbalb der IVripberie eines anderen Ivrei&gt;- 


14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 123 

geht, diesen anderen Kreis schneidet. Dass er sich auf 
diese Voraussetzungen stiitzt, geht aus den betreffenden 
Sldlen hervor, und an anderen Stellen wird nichts iiber da&gt; 
Durchschneiden zwischen Kreis und gerader Linie oder Kreis 
vorausgesetzt, bevor das dazu eri onlerlicln; bowiesen ist. 

Enthalten die von Euklid ausdrucklich aufgestellten 
Voraussetzungen denn gar nichts iilx-r di&lt;:se faktiselien 
Voraussetzungen, deren Euklid sich an den angefiihrten 
Stellen, namentlich in Satz 12, vollkommen bewusst istV 
Die Postulate thun es jedenfalls nicht, aber, wie wir ge- 
,s&lt;-li(jn haben, sind die Unterschiede zwischen Postulaten 
und Definitionen nicht so ausgepragt, dass man allein 
zwischen den ersten zu suchon braucht. Dann i;~: 
klar, dass Euklid die Berechtigung zur Benutzung di&lt; 
Voraussetzungen darin suchen kann, dass cr in den De 
finitionen gcsagt hat, ein Kreis sei erne Figur, die den 
Mittelpunkt enthalt, woraus dann folgen muss, dass eine 
Krcislinic cine hinreichend verlangerte gerade Linio in 
zwoi Punkten .sclun-id&lt;-n muss, wenn sie ihren Mittelpunkt 
auf der einen Seite von dieser Linie hat und duivb &lt;-in&lt;-n 
Punkt auf der anderen Seite geht, und ebenso eine andere 
Kreislinie, wenn sie einen ausserhalb liegenden Punkt mit 
einem inneren verbindet. Im iibrigen sei bemerkt, dass 
man auf ahnliche Weise in gewissen Fallen das Durch- 
echneiden gerader Linien ohne Benutzung des 5ten Postu 
lates boweisen kann, wenn man beriicksichtigt, dass die 
Umfange von Polygonen auch Flachen abgrenzen, die keine 
unendliche Ausdehnung haben. Davon macht Euklid in 
I, 21 Gebrauch. 

Noch fehlt uns eine Erklarung dafiir, wie die Be- 
liaiiptung, dass alle rechten Winkel gleich gross sind, iliron 
Platz unter den Postulaten erhalten kann. Aus den Axiornen 
gel it hervor, dass alle Winkel gleich gross sind, wenn sie 
kongruent sind, sonst nicht, und die Behauptung ist al.-&lt;- 


124 Die griechische Mathematik: 

genau dieselbe wie die andere, dass alle rechten Winkel 
kongruent sind. Da ein rechter Winkel (in Def. 10) als 
solcher definiert wird, der seinem Nebenwinkel gleich ist, 
so lauft das Postulat darauf hinaus, dass der Winkel, 
den wir jetzt einen gestreckten nennen, eine bestimmte 
Grosse hat, oder dass die Verlangerung einer gegebenen 
geraden Linie iiber den einen Endpunkt hinaus eindeutig 
bestimmt ist. Eine voile Bestatigung daflir, dass dies ge- 
meint ist, erhalt man, wenn man sieht, dass das Postulat 
gerade auf diese Weise faktisch angewandt wird; das ge- 
schieht im Beweise fiir den Satz I, 14. 

Das 4te Postulat wird also ein Zusatz zum 2 ten, dass 
namlich die in diesem enthaltene Bestimmung der Ver 
langerung einer geraden Linie eindeutig ist, und es hat 
wohl zunachst deswegen seinen Platz unter den Postulaten 
und nicht unter den Axiomen erhalten. Das Postulat 
wurde nicht vermisst werden von einem modernen Leser, 
der gewohnt ist, dass auf die Anzahl der Losungen Riick- 
sicht genommen wird, und sich deshalb zunachst denken 
wiirde, dass die Eindeutigkeit bereits im 2ten Postulat 
mit unterverstanden ist. Wenn es nun doch einmal da- 
steht, so vermisst man ein anderes Postulat, welches aus- 
driickt, dass auch die in dem ersten Postulat gegebene 
Bestimmung einer geraden Linie eindeutig ist. Von dieser 
Eindeutigkeit macht Euklid ausdriicklich Gebrauch in 
Satz I, 4, wo er in seiner Beweisfiihrung das Argument 
gebraucht, dass zwei gerade Linien keinen Flachenraum 
einschliessen konnen ; aber diese Behauptung, die durch- 
aus zusammenfallt mit derjenigen, dass das erste Postulat 
eindeutig ist, findet sich nicht unter den aufgestellten 
Voraussetzungen. Hier liegt unzweifelhaft eine Inkonse- 
quenz vor. Auf diese ist man schon im Altertum auf- 
merksam geworden und sie hat die Herausgeber veranlasst, 
die in I, 4 ausdriicklich benutzte Voraussetzung entweder 


14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 125 

und wahrscheinlich am friihesten - - unter die Postu 
late aufzunehmen, wohin sie mit demselben Recht gehort 
wie das Postulat I, 4, oder unter die Axiome. Dieses 
neue Postulat driickt zugleich aus, dass die Bestimmung 
eines Punktes mittels des 5ten Postulates als Schnittpunkt 
zwischen zwei Geraden eindeutig ist. 

Die Eindeutigkeit des 3 ten Postulates iiber die Be 
stimmung eines Kreises durch Mittelpunkt und Radius 
braucht man dagegen nicht vorauszusetzen. Man kann 
hier namlich wieder davon Gebrauch machen, dass der 
Kreis bereits in den Definitionen vollstandiger bestimmt 
ist als die gerade Linie. Dadurch ist Euklid imstande 
in den Satzen III, 5 und 6 zu beweisen, dass koncentrische 
Kreise sich nicht schneiden oder beruhren konnen, dass 
also der vollstandige geometrische Ort fur die Punkte, 
die denselben Abstand von einern gegebenen Punkte haben 
wie ein anderer Punkt, nur aus einer geschlossenen Kurve 
besteht, mit anderen Worten, dass das 3te Postulat nur 
ein en Kreis giebt. 

Euklids Istes, 2tes, 4tes und 5tes Postulat, erganzt 
durch die in Salz I, 4 benutzte Voraussetzung, dass das 
erste Postulat eine eindeutige Bestimmung geben soil, und, 
wie wir sehen werden, durch eine im 7ten Axiome ent- 
haltene Voraussetzung, drucken alle Eigenschaften einer 
geraden Linie aus, welche ihrer Verwendung in der Geo 
metric zu Grande liegen. Unvermerkt, ja, wie wir sehen 
werden, ohne es selbst gewahr worden zu sein, hat Eu 
klid damit indes gleichzeitig die Grundeigenschaften der 
Ebene aufgestellt erhalten. Die ausdriicklich aufgestellte 
Definition der Ebene (I, 7) ist an sich ebenso nichtssagend 
wie diejenige der geraden Linie. Die Ebene wird noch 
in den Definitionen I, 8 und 15 genannt, wo ausgespro- 
chen wird, dass die Schenkel eines Winkels in derselben 
Ebene liegen miissen, und dass der Kreis eine ebene 


126 Die griechische Mathematik : 

Figur 1st. Von grosserer Bedeutung 1st es, dass in den 
aufgestellten Postulaten stillschweigend vorausgesetzt wird, 
dass die verschiedenen Bestimmungen innerhalb einer und 
derselben Ebene stattfinden. Ohne dieses wiirde das 5te 
Postulat geradezu sinnlos sein. Die Eigenschaft, die nament- 
lich durch das erste mid zweite Axiom einer Ebene bei- 
gelegt wird, wird nun die, dass sie jede gerade Lime, die 
durch zwei ihrer Punkte geht, nebst ihren Verlangerungen 
bis ins Unendliche ganz enthalt. Hatte Euklid selbst 
dies ausdriicklich festgestellt, so hatte er darin eine wirk- 
liche Grundlage erhalten konnen fur die drei ersten Satze 
des llten Buches, die aussagen, dass eine gerade Linie, 
die teilweise in einer Ebene liegt, nicht aus dieser heraus- 
gehen kann, dass zwei gerade Linien, die sich schneiden, 
in einer Ebene liegen (und sie bestimmen), und dass die 
Durchschnittslinie zweier Ebenen gerade ist. Nun stellt 
er einige andere Beweise auf, von denen der fiir XI, 1 
die Richtigkeit von XI, 2 voraussetzen muss, xier um- 
gekehrt wieder auf XI, 1 aufgebaut ist. In logischer Be- 
ziehung, sowohl principiell wie formell, steht Euklid s 
Behandlung der Stereometrie im ganzen hinter seiner 
ebenen Geometrie zuriick, wofur wir ein noch wichtigeres 
Beispiel bei der Besprechung seiner Axiome sehen werden. 
Indessen wird sich zeigen, dass die griechischen Mathe- 
matiker trotz dieses Mangels die stereometrischen Satze 
und Operationen dennoch in einem recht bedeutenden 
Umfange kannten. 

Wahrend wir bei Definitionen und Postulaten, 
um genaue Auskunft liber die Voraussetzungen zu erhal 
ten, die sie ausdriicken sollen, zum Teil unsere Zuflucht 
zu den Anwendungen haben nehmen miissen, die Euklid 
in seinen Satzen faktisch von ihnen gemacht hat, so geben 
diejenigen Axiome des ersten Buches, deren Achtheit fiir 


14 Euklids geometrische Voraussetzungen. 127 

unzweifelhaft angesehen wird und mit denen wir uns 
deshalb ausschliesslich beschaftigen wollen, namlich 1 3 
und 7 8 1 , eine ebenso kurze wie klare Auskunft iiber 
die Grundlage fiir die Anwendung der Begriffe Gleichheit 

ind Ungleichheit auf Grossen im allgenieinen, und auf 
letrische Grossen im besonderen. Der erste Beitrag 
Begriffe Gleichheit wird im Axiom 1 gegeben: Grossen, 

lie einer und derselben Grosse gleich sind, sind unter 
sich gleich. Der Umstand, dass das Wort gleich in 
der Erklarung des Begriffes Gleichheit vorkommt, macht 
diese Erklarung nicht wertlos, was unter anderem daraus 
ersichtlich ist, dass man nicht in der im Axiome ent- 
haltenen Erklarung ungleich an die Stelle von gleich 
setzen kann. Sie ist indessen nicht ausreichend um einen 
anwendbaren Grossenbegriff geben zu konnen. Es muss 
hinzugenommen werden, dass eine Grosse nicht verandert 
wird durch Teilung und eine darauf folgende Zusammen- 
setzung aus alien Teilen. Dies ist in den Axiomen 2 
und 3 enthalten, die aussagen, dass Gleiches, um Glei- 
ches vermehrt oder vermindert, Gleiches giebt. Ferner 
muss, wenn man auch die Ungleichheit berucksichtigen 
will, hinzugenommen werden, dass man etwas Kleineres 
erhalt, wenn man nicht alle Teile mitnimmt; das wird 
im Axiom 8 ausgesagt: das Ganze ist grosser als ein 
Teil. Hierdurch ist auch eine Erklarung von Addition 
und Subtraktion allgemeiner Grossen gegeben, und zu- 
gleich ist darin enthalten, dass die Reihenfolge der Sum- 
manden gleichgultig ist. Wenn der Grossenbegriff: in einer 
modernen Arithmetik 2 so definiert wird, dass von den- 
jenigen Eigenschaften der Gegenstande, die sich nicht 


1 Euclidis Elementa ed. Heiberg, Lipsiae 188388. 

2 Julius Petersen, Arithmetik og Algebra til Skolebrug, 
Kjebenhavn 1879, S. 3. 


128 Die griechische Mathematik: 

verandern, wenn ihre Teile in verschiedener Reihenfolge 
zusammengesetzt werden, sich aber verandern, wenn einige 
der Teile fortgenommen werden, gesagt wird, sie besassen 
Grosse , so stimmt diese Definition durchaus zu den an- 
gefiihrten Axiomen, die sogar den Vorzug haben etwas 
direkter zu erklaren, was gleich, grosser oder kleiner ist. 

Dieser allgemeine Grossenbegriff muss durch beson- 
dere Kenuzeichen erganzt werden, die seine Anwendung 
ermoglichen sowohl auf bestimmte Arten von Grossen, 
wie geometrische Grossen, Gewichte u. s. w., als auch 
auf rein abstrakte Zahlengrossen. Euklid, fiir den die 
geometrische Grosse zur abstrakten Grosse wird, da sie 
in der geometrischen Algebra zur Darstellung von Grossen 
jeder Art, auch von Zahlen, dient, muss zuallererst Kenn- 
zeichen fiir die Gleichheit geometrischer Grossen 
geben; das geschieht im 7ten Axiom zum ersten Buch, 
von dem wir jetzt gleich reden wollen. Erst im 5ten 
Buche wird eine unmittelbare Darstellung abstrakter Grossen 
als Verhaltnisse gegeben und ausserdem Kennzeichen 
fiir ihre Gleichheit und Ungleichheit. Die Verhaltnisse 
zur Einheit sind Zahlen in der modernen und allgemei- 
nen Bedeutung dieses Wortes. Die Einheit wird jedoch 
erst im 7ten Buch eingefiihrt und dann nur als Maass 
fiir damit kornmensurable Grossen angewandt. Die dazu 
dienenden Voraussetzungen werden wir im Zusamrnenhang 
mit dem iibrigen Inhalt dieser Biicher besprechen. 

Im 7ten Axiom des ersten Buches, zu dem wir nun- 
mehr nach diesem Ausblick auf andere Grossenbestim- 
mungen als die geometrische zuriickkehren, wird aus- 
gesprochen, dass kongruente Grossen oder solche, die sich 
zur Deckung bringen lassen, gleich sind. Dieses Kenn 
zeichen fiir geometrische Gleichheit geht ganz natiirlich 
dem im 8ten Axiome enthaltenen Kennzeichen fiir Un 
gleichheit voran, das keine besondere Erganzung mit Bezug 


14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 129 

auf die geometrischen Grossen bedarf. Euklid weist im 
7ten Axiom mit grosser Sicherheit auf das bin, was immer 
der erste Ausgangspunkt 1 iir jede Untersuchung von Gros 
sen in der Geometric sein muss. Die Kongruenz ist es 
bereits beim praktischen Messen, das darin besteht, nach 
und nach von dem, was gemessen werden soil, eine Reihe 
von Teilen aufzuzahlen, die dem Maasse kongruent sind. 
Sie ist es ferner sowohl in Euklids eigenem Lehrgebaude 
wie in alien folgenden, die geometrische Grosseri behan- 
deln: man geht davon aus, dass gewisse Grossen gleich 
sind, weil sie kongruent sind, und ungleich, weil die eine 
selbst ein Teil der anderen ist oder einem Teile der an- 
deren kongruent ist. Eben dieses Verfahren wendet Eu 
klid im ersten Buche an um zu zeigen, wie Gleichheit 
und Ungleichheit von Seiten oder Winkeln desselben 
Dreiecks oder verschiedener Dreiecke sich gegenseitig be- 
dingen. Die Resultate hiervon kombiniert er dann mit 
den allgemeinen Voraussetzungen iiber Grossen. Ja er 
ist sogar bestrebt das specifisch geometrische Princip der 
Kongruenz so wenig wie moglich anzuwenden. So be- 
nutzt er in I, 26 nicht unmittelbar die Kongruenz um 
zu beweisen, dass Dreiecke, die in einer Seite und den 
anliegenden Winkeln ubereinstimmen, es auch in den 
iibrigen Stiicken thun, sondern er schliesst dies antithetisch 
aus den friiheren Kongruenzfallen. 

Fiir gerade Linien und Winkel fallt Gleichheit zu- 
sammen mit Kongruenz. Fiir gebrochene Linien, Flachen- 
und Rauminhalte kann man dagegen erst, nachdem man 
Gleichheit durch Kongruenz nachgewiesen hat, Gleichheit 
ohne Kongruenz nachweisen durch Zusammensetzung nach 
den allgemeinen Voraussetzungen iiber Grossen, wie es 
beispielsweise in I, 35 geschieht, wo bewiesen wird, dass 
Parallelogramme von derselben Grundlinie und Hohe 
gleich sind. Zu der Grosse krummer Linien und der 


130 Die griechische Mathematik: 

Flachen, die von solchen begrenzt werden, sowie zu der 
( Jr&lt; "sse der meisten Rauminhalte kann man nur durch 
Grenziibergange gelangen, die von den Alien durch den 
Kxhaustionsbeweis ausgefiihrt wurden, und die zum Teil 
zugleich die Aufstellung neuer Voraussetzungen verlangen. 
Das werden wir sehen, wenn wir dazu gelangen Euklids 
12tes Buch, sowie die Arbeiten von Archimedes zu be- 
sprechen. 

Dagegen mussen wir sogleich erwahnen, dass die 
Art und Weise, wie Euklid in der Stereometric das im 
7ten Axiom aufgestellte Kongruenzaxiom benutzt, mit 
einem sehr wesentlichen Mangel behaftet ist. Dieser 
hangt damit zusammen, dass man in seiner Stereometric 
jedes Unterscheiden zwischen Kongruenz und 
Symmetric vermisst, lasst aber doch erkennen, dass er 
symmetrische Figuren nicht fur kongment halt. Denn 
in solchem Falle wiirde er gemeint haben im 7ten Axiom 
cine ausreichende Grundlage fiir Volumenbestimmungen 
zu besitzen. Statt dessen stellt er eine neue Vorausset- 
zung auf, die sowohl auf kongruente wie auf symmetrische 
Figuren passen kann. In der lOten Definition des llten 
Buchs werden gleiche und ahnliche Raumfiguren als 
solche definiert, die von gleichvielen gleichen und ahn- 
lichen (d. h. kongruenten) ebenen Figuren eingeschlossen 
wi-rden. Diese Definition enthalt ausser einer Namen- 
gebung zugleich eine geometrische Voraussetzung, also ein 
Axiom, dass namlich diese Figuren auch gleich an Raui 
inhalt sein sollen 1 . Das wird in XI, 29 benutzt, 
bewiesen wird, dass Parallelepipeda von derselben Gram 
flache und Hohe gleich sind, und ausserdem wird daraus 
in XI, 28 geschlossen, dass die beiden dreiseitigen Prismen, 


1 Gauchy hat bewiesen, dass derartige Figuren wirklich 
immer kongruent oder symmetrisch sind. 


14. Euklids geometrische Voraussetzungen. 131 

atis denen ein Parallelepipedon besteht, gleich sind. Nun 
weiss man, dass die Prismen, die in dem ersten Beweise 
umgelegt werden, kongruent sind, und dass die dreiseiti- 
gen Prismen des letzten Satzes durch Umlegen der Teile 
in kongruente Prismen verwandelt werden konnen. Das 
kann Euklid nicht bemerkt haben; denn dann wiirde 
die Einfiihrung eines neuen Princips fiir die Gleichheit 
von Korpern uberfliissig und deshalb seinem gewohnlichen 
Verfahren widerstreitend gewesen sein. 

Das 7te Axiom ist in der hier nachgewiesenen Be- 
nutzung nur ein Kennzeichen fiir geometrische Gleich 
heit gewesen oder, wenn man will, eine Definition davon; 
jedenfalls aber steckt darin eine wirkliche geometrische 
Voraussetzung oder ein Axiom von sehr wesentlicher Be- 
deutung. Dieses driickt aus, dass iiberhaupt von kon- 
gruenten Figuren die Rede sein kann, also von der Ver- 
legung von Figuren an andere Stellen des Raumes. 
Nach Euklids Axiom bestimmen die geometrischen 
Grossen alles dasjenige, was wahrend einer solchen Ver- 
legung unverandert bleibt. Worin diese Verlegung be- 
stehen soil, wird jedoch gar nicht charakterisiert, ja sie 
wird nicht einmal im Axiom erwahnt, aber die Anwen- 
dungen zeigen, dass an die empirische Verlegung gedacht 
wird, die von den physischen, sogenannten unverander- 
lichen Korpern her bekannt ist. 

Wenn wir friiher beriihrt haben, dass das Axiom 
1, 7 notwendig ist urn eine gerade Linie vollstandig zu 
charakterisieren, so dachten wir eben daran, dass Euklid, 
z. B. in den Beweisen fiir die Kongruenzsatze, bestimmt 
die Voraussetzung benutzt, dass eine gerade Linie sich 
durch Verlegung nicht verandert. 


132 Die griechische Mathematik: 

15, Anmerkung tiber die Voraussetzungen 
der Geometrie, 

Wenn man die zuletztgenannte Eigenschaft der geraden Linie 
mil denjenigen kombiniert, die bereits in den Postulaten ausgedriickt 
sind, die Eindeutigkeit der Bestimmung durch zwei Punkte mit- 
einbegriffen, so wird die gerade Linie als solche definiert, die ihrer 
ganzen Ausdehnung nach mit einer anderen geraden Linie zusam- 
menfallt, wenn sie so verlegt wird, dass zwei ihrer Punkte mit 
zweien der anderen Geraden zusammenfallen. Dass diese Defini 
tion keinen Kreisschluss enthalt, obgleich die gerade Linie durch 
Zusammenlegen mit einer anderen geraden Linie bestimmt wird, 
erkennt man daraus, dass keine andere Linie diese Eigenschaft 
besitzt. Dagegen ist das Axiom von der Moglichkeit einer Ver- 
legung vorausgesetzt. Nach der Definition erhalt man die gerade 
Linie als geometrischen Ort fur die festen Punkte eines Korpers, 
der sich dreht, wahrend zwei Punkte fest liegen. Die Konstruktion 
gerader Linien durch ein Lineal, also durch eine bewegliche gerade 
Linie, folgt gleichfalls aus der Definition. 

Diese Definition findet sich nun allerdings nicht bei Euklid, 
sondern sie ist eine Zusammenfassung der Eigenschaften, die er 
faktisch benutzt, und die er nach und nach in Postulaten und 
Axiomen aufstellt. Diese bestimmen demnachst die Ebene als eine 
Flache, die jede Gerade, die durch zwei von ihren Punkten geht, 
ganz enthalt. Diese Bestimmung enthalt indessen mehr. als eine 
gute Definition enthalten darf, da sie die Ebene weder als geome 
trischen Ort fur eine einfach unendliche Anzahl gerader Linien, 
noch fur eine doppelt unendliche Anzahl von Punkten bestimmt. 
Man kann jedoch die Bestimmung in eine Definition und in ein 
Axiom oder Postulat zerlegen. Die Ebene muss dann zuerst definiert 
werden als der Ort fur die Geraden, die einen festen Punkt mit 
den Punkten einer festen Geraden verbinden, und demnachst muss 
als unbeweisbare, aber fur das geometrische Lehrgebaude notwen- 
dige Voraussetzung hinzugefiigt werden, dass diese Flache dann 
die oben erwahnte allgemeine Eigenschaft hat. 

Uber diese Schwierigkeit kommt man dadurch nicht hinweg, 
dass man, wie es auch wohl geschehen ist, die Ebene definiert als 
geometrischen Ort fur die Punkte, die gleichen Abstand von zwei 
festen Punkten haben. Es gelingt dann wohl in der Stereometric 


15. Anmerkung iiber die Voraussetzungen der Geometrie. 133 

zu beweisen, dass die so defmierte Ebene in der That jede Gerade 
enthalt, von der sie zwei Punkte enthalt, aber es gelingt das nur 
auf der Grundlage der ebenen Geometrie, in der man bereits diese 
Voraussetzung iiber die Ebene, die alle behandelten Figuren ent 
halt, gemacht hat. 

Mit Bezug auf die Ebene wird noch eine Voraussetzung ge 
macht, die sich nicht aus der hier aufgestellten Definition ableiten 
lasst, namlich die, welche im 5ten Postulat enthalten ist, dass 
abgesehen von einem genauer bezeichneten Fall zwei Geraden 
derselben Ebene sich schneiden. 

Wie wir erwahnt haben, macht Euklid, wenn er es auch 
nicht so deutlich hervorhebt, noch eine geometrische Voraussetzung, 
die auch geradlinige Figuren betrifft, namlich die, dass eine in sich 
selbst zuriicklaufende (gebrochene oder krumme) Linie der Ebene 
einen endlichen Flachenraum einschliesst, und dass sie von jeder 
geraden oder in sich selbst zuriicklaufenden Linie, die einen ausser- 
halb und einen innerhalb liegenden Punkt verbindet, in wenigstens 
zwei Punkten geschnitten wird Ahnliche Voraussetzungen schlies- 
sen sich an die geschlossenen Flachen an; sie spielen aber erst 
eine Rolle, wenn man weiter geht als Euklid. 

Die geometrischen Voraussetzungen, die Euklid benutzt, sind 
also folgende: 1) das Verlegungsaxiom, 2) und 3) die beiden an- 
gefuhrten Voraussetzungen iiber eine Ebene, 4) die Voraussetzung 
(S. 123) iiber geschlossene Konturen (und Oberflachen). In den 
wesentlichsten Punkten beriihrt er diese in seinen Definitionen, 
Postulaten und Axiomen, die ausserdem Erklarungen der gebrauch- 
ten Benennungen, und endlich in den Axiomen 1 3 und 8 klar 
ausgesprochene Voraussetzungen iiber die allgemeine Grossenlehre 
enthalten. Diese letzteren geben nicht nur Worterklarungen, sondern 
sprechen zugleich die fur den Aufbau einer wirklichen Grossenlehre 
notwendige Voraussetzung aus iiber Unveranderlichkeit und Ver- 
anderlichkeit der Grossen durch Teilung, auf die eine Zusammen- 
setzung aus alien oder aus einigen Teilen folgt. 

Die deutliche Weise, in der die wichtigsten geometrischen 
Voraussetzungen also bei Euklid hervortreten, hat die in seinen 
Elementen aufgestellte Grundlage der Geometrie zu einem guten 
Ausgangspunkt gemacht fur die Untersuchungen der neueren Zeit 
iiber den Bereich der einzelnen Voraussetzungen und 
iiber ihre gegenseitige Unabhangigkeit. Insofern sie wirk- 
lich unter einander unabhangig sind, muss man namlich einige von 


134 Die griechische Mathematik: 

ihnen festhalten und aus ihnen allein Konsequenzen ziehen kon- 
nen, wahrend man andere unbeachtet lasst. Dadurch erhalt man 
eine Verallgemeinerung der Geometrie; denn die Satze, welche man 
dann beweist, gelten sowohl fur den Raum, der zugleich den 
iibrigen Voraussetzungen geniigt, als auch fur solche Raume, die 
es nicht thun. Sie konnen auch in dem durch Euklids Voraus 
setzungen definierten Raum eine derartige weitergehende Anwendung 
finden, dass beispielsweise gerade Linien mil Kurven vertauscht 
werden, die durch einige Eigenschaften der gewohnlichen geraden 
Linie charakterisiert werden, so dass ausser dieser auch andere 
Linien darin einbegriffen sind. 

Die wichtigste dieser Verallgemeinerungen, die projekti- 
vische Geometrie, ist jedoch nicht eigentlich durch Spekula- 
tionen iiber die Axiome entstanden. Ihre meisten Satze sind aus 
Verallgemeinerungen hervorgegangen. die sich innerhalb der auf 
alien Voraussetzungen Euklids aufgebauten Geometrie als zweck- 
massig erwiesen haben. In Wirklichkeit setzt sie sich jedoch iiber 
einige von diesen Voraussetzungen hinweg, und deshalb kann sie 
auch von Anfang an ohne diese aufgefiihrt werden. Dasjenige, 
von dem man in der projektivischen Geometrie absieht, ist das 
Verlegungsaxiom und die darauf gegriindete Lehre von geome- 
trischen Grossen, und dadurch kommt man auch nicht dazu 
- wenigstens so lange die projektivische Geometrie sich nicht 
selbst einen neuen Begriff von Verlegung und dadurch einen neuen 
Grossenbegriff bildet die durch Euklids iibrigen Axiome fest- 
gelegten allgemeinen Grossenbegriffe zu benutzen. Berucksichtigt 
werden dagegen die in den Postulaten enthaltenen Voraus 
setzungen, wobei jedoch von den Entlehnungen abzusehen ist, 
die auch darin aus der Grossenlehre gemacht sind. Dadurch fallt 
einmal das dritte Postulat iiber die Bestimmung des Kreises ganz 
fort, da der Kreis im voraus dadurch definiert ist, dass sein Radius 
eine unveranderliche Grosse haben soil, und zweitens fallen die 
Einschrankungen beim 5ten Postulat fort, so dass dieses folgenden 
Wortlaut enthalt: zwei Geraden derselben Ebene schneiden sich 
immer in einem Punkte. Den direkten Widerspruch mit derjenigen 
Geometrie, in der alle euklidischen Voraussetzungen benutzt werden, 
oder mit der euklidischen Geometrie vermeidet man da 
durch, dass man den parallelen Geraden der letzteren unendlich 
feme Schnittpunkte beilegt. Dadurch dass sie iiberhaupt nicht 
fragt, in wieweit Schnittpunkte unendlich fern sind oder nicht, ge- 


15. Anmerkung uber die Voraussetzungen der Geometrie. 135 

langt die projektivische Geometrie dahin, sowohl die euklidische 
als auch die im Folgenden erwahnte nicht-euklidische Geometrie 
in sich zu begreifen. 

Die gerade Linie erhalt in der projektivischen Geometrie die- 
selben Eigenschaften wie in der euklidischen mit Ausnahme der 
Verlegung, durch die eine gerade Linie zum Zusammenfallen mit 
einer anderen gebracht wird, und die Eigenschaften der Ebene 
werden ebenso wie bei Euklid an diejenigen der Geraden an- 
geschlossen. Die beiden Voraussetzungen, die sich an die Bestim- 
mung der Ebene kniipften, werden beibehalten. Da man nun nur 
auf diesen und nicht mehr auf dem Verlegungsaxiom weiter bauen 
darf, so ist ersichtlich, dass die projektivische Geometrie, wenn sie 
selbstandig entwickelt wird und man nicht die euklidische Geome 
trie als im voraus bekannt betrachtet, erst einen wirklichen Inhalt 
bekommt, wenn man aus einer einzelnen Ebene herausgeht und 
dadurch dahin gelangen kann diese Voraussetzungen zu benutzen. 
Was die euklidische Voraussetzung uber geschlossene Kurven be- 
trifft, so zeigt es sich namlich, dass diese nicht in der Weise von 
den fortgefallenen Voraussetzungen unabhangig ist, dass sie in der 
projektivischen Geometrie beibehalten werden kann; im Gegenteil 
erhalt man in dieser zwei Arten geschlossener Linien in der Ebene, 
von denen die eine eine Gerade in einer geraden Anzahl von 
Punkten (oder in keinem) schneidet, die andere in einer ungeraden. 
Im Gegensatze zu der projektivischen Geometrie ist die so- 
genannte nicht-euklidische Geometrie gerade durch Spekula- 
tionen iiber die von Euklid aufgestellten Voraussetzungen ent- 
standen, namentlich iiber eine einzelne von ihnen, namlich diejenige, 
die wir im 5ten Postulat getroffen haben. Diese Spekulationen 
versteht man vielleicht am besten, wenn wir daran erinnern, dass 
dieses Postulat in den meisten Ausgaben seinen Platz unter den 
Axiomen gefunden hat, wo es durch Einschiebung von anderen 
weniger echten Axiomen den Namen Euklids lltes Axiom 
erhalten hat. Wahrend die Bestimmung eines Punktes als Schnitt- 
punktes zweier Geraden unter den Postulaten ein natiirliches Gegen- 
stuck zu der Bestimmung einer Geraden durch zwei Punkte bildete, 
so musste die daran gekniipfte Begrenzung besondere Aufmerksam- 
ceit erwecken, wenn man dieselbe Voraussetzung unter den den 
.ehrsatzen entsprechenden Axiomen traf. Das Axiom, dass zwei 
Jeraden, deren innere Winkel auf derselben Seite einer schneiden- 
len dritten eine Snmme kleiner als 2 Rechte bilden, sich auf 


136 Die griechische Mathematik: 

dieser Seite schneiden, wurde dann ein Gegenstuck zu dem Lehr- 
satz, dass die Geraden parallel sind, wenn die Summe 2 Rechte 
betragt. Diesen letzten Satz beweist Euklid in I, 27 und 16 mit 
Hiilfe der iibrigen Voraussetzungen; lasst sich dann das lite Axiom 
und der davon abhangige wichtige Satz iiber die Winkelsumme 
eines Dreiecks nicht auch beweisen? 

Diese Frage hat im Laufe der Zeiten unzahlige Versuche zu 
Beweisen hervorgerufen. Einige von diesen mogen eine gewisse 
Berechtigung gehabt haben, insofern sie solche an der e Voraus 
setzungen, deren Richtigkeit man ebenso bereitwillig von vornherein 
einraumen wiirde, an die Stelle derjenigen von Euklid setzten. 
Nur hat man nicht immer, so wie Euklid es thut, selbst aus- 
gesprochen und eingeraumt, dass man eine Voraussetzung machte. 
Wir wollen beispielsweise fur das hier erwahnte euklidische 
Axiom oder fur die damit verbundenen Satze, dass eine gerade 
Linie eindeutig bestimmt ist, wenn sie durch einen Punkt geht und 
einer gegebenen Geraden parallel ist, oder dass die Summe der 
Dreieckswinkel gleich 2 Rechten ist, diejenigen Beweise anfuhren, 
die den Weg in gute Lehrbiicher aus unserer und der nachst vor- 
hergehenden Zeit gefunden haben. Von diesen verdankt man die 
jenigen, die wir unter 2 und 3 auffiihren, dem franzosischen Mathe- 
matiker Legendre. 

1) Man begniigt sich damit das Axiom zu veranschaulichen und 
so die Leser zu iiberreden es ebenso anzunehmen, wie sie friiher 
die iibrigen geometrischen Voraussetzungen angenommen haben. 

2) Man kann den Satz, dass zwei Winkel eines Dreiecks den 
dritten bestimmen, an die Bestimmung eines Dreiecks aus einer 
Seite und den beiden anliegenden Winkeln anschliessen. Die Grosse 
einer einzelnen Seite kann namlich nur den Maassstab fur die ge- 
zeichnete Figur bestimmen, also keinen Einfluss haben auf die Ge- 
stalt des Dreiecks, mithin auch nicht auf die Winkel. Die beiden 
gegebenen Winkel bestimmen also den dritten. Wie man sieht 
wird der Beweis dadurch gefuhrt, dass man die Vorstellung von 
Ahnlichkeit oder von einer vom Maassstab unabhangigen Gestalt 
als geometrische Voraussetzung festsetzt, auf der man bauen will. 
Das, was hier gethan wird, entspricht ganz dem, was Euklid 
selbst gethan hat, als er im Verlegungsaxiom die Kongruenz als 
geornetrisches Grossenprincip festsetzte. 

3) Andere begniigen sich nicht wie Euklid damit, die Grosse 
eines Winkels mit Hiilfe des Verlegungsprincips zu bestimmen, 


15. Anmerkung iiber die Voraussetzungen der Geometrie. 137 

sondern sie lassen die Grosse eines Winkels das Verhaltnis sein 
zwischen dem von den Schenkeln des Winkels eingeschlossenen 
unendlichen Flachenstuck und der Flache der ganzen Ebene. Wenn 
man nun durch einen Punkt zwei Parallelen zu einer gegebenen 
Geraden ziehen konnte, so wiirde die eine ganze von der letzten 
Geraden abgeschnittene Halbebene, die ja gleich zwei Rechten ist, 
nur einen Teil ausmachen von einem der vier von den beiden 
ersten Geraden gebildeten Winkel deren jeder kleiner ist als zwei 
Rechte. Man sieht leicht, dass die neue Voraussetzung hier in der 
Winkeldefinition liegt und darauf hinaus lauft, dass das in dieser 
aufgestellte Verhaltnis zwischen zwei unendlichen Grossen einen 
bestimmten Wert hat. 

4) Noch andere beweisen, dass die Summe der Aussenwinkel 
eines Polygons gleich 4 Rechten ist, indem sie eine Gerade sich 
allmahlich um die Scheitelpunkte der Winkel von der einen anlie- 
genden Seite bis auf die andere drehen lassen Wenn diese in 
ihre urspriingliche Lage zuriickkehrt, so soil sie sich im Ganzen 
um denselben Betrag gedreht haben, wie wenn sie bei der Drehung 
um einen festen Punkt in ihre urspriingliche Lage zuruckgekehrt 
ware. Auch hier ist man nicht bei der in Euklids Verlegungs- 
princip liegenden Charakterisierung des Winkels als Grosse stehen 
geblieben, sondern der Winkel ist vielmehr als Teil einer ganzen 
Umdrehung defmiert worden; hierin liegt aber die Voraussetzung, 
dass dieser Teil eine Grosse von solcher Beschaffenheit hat, dass 
es gleichgiiltig bleibt, ob man eine ganze Umdrehung um einen 
einzelnen Punkt vornimmt oder ob man diese Umdrehung in Um- 
drehungen um verschiedene Punkte zerlegt. Dass hier wirklich eine 
Voraussetzung gemacht wird, die ebenso wie Euklids eigenes 
Axiom speciell fur die Ebene gelten soil, das sieht man, wenn 
man die Ebene mit einer Kugelflache, die Geraden mit Bogen 
grosster Kreise vertauscht. Dann hort die Voraussetzung namlich 
auf rich tig zu sein. 

5) Von grosserer Bedeutung mit Bezug auf das Verhaltnis 
ron Euklids Axiom zu seinem eigenen Lehrgebaude ist jedoch 
ein Versuch von Legendre, der sich wirklich an Euklids ubrige 
Voraussetzungen halt. Auf der Grundlage von diesen kann er 
allerdings nicht den allgemeinen Satz iiber die Winkelsumme eines 
Dreiecks beweisen, aber es gelingt ihm doch darzuthun, dass die 

Inkelsumme nicht grosser ist als zwei Rechte. Einer 
ron den Wegen, auf denen er dies Resultat erreicht, folgt sehr 


138 Die griechiscbe Mathematik: 

genau einem von Euklids eigenen Beweisen, namlich dem in I, 16. 
Hier beweist Euklid, dass der Nebenwinkel eines Winkels C in 
einem Dreieck ABC grosser ist als jeder von den beiden anderen 
Winkeln, z. B. als A. Das wird dargethan, indem man die Mitte 
D von A C mit B verbindet und darauf D A l = B D abtragt. Das 
Dreieck A BC erhalt dann dieselbeWinkelsumme wie ABC und 
enthalt einen Winkel CA l5 der gleich der Summe der Winkel 
A und C des urspriinglichen Dreiecks ist; daraus folgt A -f- C&lt; 2 R, 
oder dass A kleiner ist als der Nebenwinkel von C. Die bier an- 
gewandte Operation wiederholt Legendre, indem er jedesmal 

dafiir sorgt, dass der Winkel, 
der bier B genannt ist, der 
kleinste Winkel des Dreiecks 
ist, das welter umgewandelt 
wird. Das neue Dreieck, zu 
dem er gelangt, hat dann be- 
standig dieselbe Winkelsumme 
und enthalt einen Winkel, B 
oder A, der gleich oder kleiner ist als die Halfte des vorhergehenden 
kleinsten Winkels. Nach einem Princip, das Euklid spater in 
Verbindung mit dem Exhaustionsbeweise aufstellt, kann man auf 
diesem Wege zuletzt zu einem Dreieck gelangen, in dem ein Winkel 
kleiner ist als eine beliebige gegebene Grenze. Euklids eigener 
Satz zeigt, dass die Summe der beiden anderen Winkel kleiner als 
zwei Rechte ist. Man kann dann leicht, wenn man will mit dem 
Exhaustionsbeweise, nachweisen, dass die Summe aller drei Win 
kel, die unverandert dieselbe wie in dem ersten gegebenen Dreieck 
ABC geblieben ist, nicht grosser als zwei Rechte ist. 

War man so weit gekommen ohne das lite Axiom (das ote 
Postulat) zu benutzen, so lag darin die Aufforderung weiter zu 
gehen. Man musste sich daran halten, dass die Summe der Dreiecks- 
winkel gleich 2 Rechten oder kleiner sein konnte. Wenn das letz- 
tere der Fall war, so konnte man beweisen, dass die Winkelsumme 
abnahm, wenn die Flache des Dreiecks zunahm. Als Ausgangs- 
punkt fur die (Jntersuchung dariiber, ob gerade Linien sich schnei- 
den, hatte man nun nur den, den wir die Voraussetzung iiber ge- 
schlossene Konturen genannt haben, aber man gelangte doch dahin 
zu beweisen, dass das Schneiden zwischen einer gegebenen Geraden 
und einer Geraden durch einen gegebenen Punkt stattfindet, wenn 
diese Gerade in das eine Paar Scheitelwinkel fallt, die von zwei 


15. Anmerkung iiber die Voraussetzungen der Geometrie. 139 

stimmten, durch den gegebenen Punkt gehenden, geraden Linien 
ibildet werden. Andere Satze dieser sogenannten nicht-eukli- 
ischen Geometrie, die von Lobatschewsky und Bolyai ent- 
rickelt ist, stimmen raehr mit denen der gewb hnlichen euklidischen 
reometrie iiberein. 

Noch konnen wir eine Art von Geometrie anfiihren, die von 
luklids Voraussetzungen ausschliesslich diejenige iiber geschlossene 
^onturen und die entsprechenden raumlichen Voraussetzungen be- 
nutzt; diese nennt man Analysis situs. 

Mit den hier angedeuteten geometrischen Untersuchungen iiber 
die Voraussetzungen der Geometrie hat man in unseren Tagen auch 
erkenntnistheoretische Fragen danach, woher wir sie haben, 
verbunden. Sind die Voraussetzungen vollkommen willkiirlich? 
oder sind sie auf angeborenen Vorstellungen aufgebaut? oder ent- 
halten sie Wahrheiten, die man durch Erfahrung kennen gelernt 
hat? Im letzteren Falle darf man nicht sagen, dass die in den 
Voraussetzungen enthaltenen Behauptungen absolut richtig sind, 
sondern nur, dass die Abweichungen zu klein gewesen sind um 
wahrgenommen zu werden. Auf solche Fragen giebt Euklid, 
nach dem von uns bereits Gesagten, durchaus keine Antwort. Ihm 
geniigt es, Voraussetzungen aufzustellen, und zu beweisen, dass, 
wenn sie giiltig sind, alles, was daraus abgeleitet wird, es auch 
ist. Es wird dann Sache desjenigen, der seine Resultate benutzen 
will, mit sich dariiber ins Reine zu kommen, wie weit er die Vor 
aussetzungen anerkennen will. 


16, Die allgemeine Lehre von den Proportionen ; 
Euklids 5tes und 6tes Buch, 

Wir haben im Vorhergehenden verschiedentlich Ge- 
3genheit gehabt auf diejenigen Stellen in Euklids ersten 
ichern aufmerksam zu machen, in denen die Behand- 
mg von der jetzt gebrauchlichen abweicht. Diese Ab 
weichungen beruhten, soweit sie nicht von rein formeller 
iatur waren, im wesentlichen darauf, dass Euklid sich 
diesen ersten Biichern den Gebrauch der Proportionen 
rersagen muss und deshalb Beweise liefert, die auf der 


140 Die griechische Mathematik: 

geometrischen Algebra aufgebaut sind. Der Grund hier- 
fiir war wie schon erwahnt der, dass man langst ein- 
gesehen hatte, dass die altere Lehre von den Proportionen 
streng genommen nur auf kommensurable Grossen an- 
wendbar war. Diesem Ubelstande hatte Eudoxus durch 
eine neue und wahrhaft allgemeine Lehre von den Pro 
portionen abgeholfen, aber an die Entwickelung dieser 
macht Euklid sich erst im 5ten Buehe. Bei diesem 
Buche wollen wir ausfiihrlicher verweilen um die Propor- 
tionslehre genauer kennen zu lernen, die nicht nur ein 
Hauptfundament fur die nachfolgende an tike Mathematik 
wurde, sondern zugleich die Grundlage fiir die allgemeine 
Grossenlehre kommender Zeiten enthall. 

Die grosse sachliche Bedeutung dieses Buches 
werden wir am besten ans Licht ziehen konnen, wenn 
wir von Euklids vielen Benennungen fiir Proportionen, 
die auf verschiedene Weise aus anderen gebildet werden, 
absehen und diese Bildungen in der modernen algebrai- 
schen Zeichensprache wiedergeben. Zu dem Zweck w r ollen 
wir mit den ersten Buchstaben a, &, c . . . des Alphabetes 
allgemeine Grossen bezeichnen, die Euklid durch Strecken 
darstellt, und durch m, n, p . . . ganze Zahlen, denen 
Euklid in den Figuren je nach den Beispielen passende 
kleine Werte erteilt. Aus seinem Buche wird hervorgehen, 
dass auch diese geometrische Darstellung einen recht 
guten Uberblick gewahrt. Von den zahlreichen Defini- 
tionen haben wir dann nur Verwendung fur die folgen- 
den drei. 

In Def. 4 wird gesagt, dass zwei Grossen ein Ver- 
haltnis bilden, wenn Vielfache jeder einzelnen von ihnen 
dahin gebracht werden konnen die andere zu iibertreffen. 
Hiertnit wird nicht nur gesagt, dass die Grossen von der- 
selben Art sein sollen, so dass sie iiberhaupt verglichen 
werden konnen, sondern es wird zugleich eine weiter- 


16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen. 141 

jhende Forderung ausgesprochen, die sich als unentbehr- 
lich erweisen wird sowohl bei der Ausdehnung der Pro- 
)rtionslehre auf inkommensurable Grossen, als spaterhin 
ji den infinitesimalen Untersuchungen, die sich bei Eu- 
lid und Archimedes mittels des auch von Eudoxus 
rfundenen Exhaustionsbeweises ausgefiihrt finden. 

In Def. 5 wird gesagt, dass 
a : b = c : d, 

wenn ma = nb mit sich bringt, dass mc = nd, 

und in Def. 7, dass 

a : b &gt;&gt; c : c?, 

wenn es solche Werte von m und n giebt, dass 
m a &gt; n b, aber mc&lt;nd. 

Allerdings wird in 5 nicht das Wort gleich fur 
die beiden Verhaltnisse gebraucht; da aber spater in den 
Satzen 11 und 13 bewiesen wird, dass a:b = c:d und 
^e:f es mit sich bringen, dass a:b^e:f, so ist 
?ben von Gleichheit die Rede. Die Bedeutung dieser 
Definitionen von der Grosse eines Verhaltnisses wird klar, 
wenn man beachtet, dass sie in Wirklichkeit identisch 
sind mit der modernen Bestimmung einer irrationalen 
reinen Zahl durch rationale Naherungswerte. Erstens ist 
namlich eine reine Zahl das Verhaltnis einer Grosse zu 
einer Einheit derselben Art. Zweitens laufen Euklids 
Vergleiche eben hinaus auf Vergleiche von Verhaltnissen 

lit ration alen Naherunsrswerten . 

m 

Nun wollen wir sehen, wie diese Definitionen einer 
exakten Lehre von Verhaltnissen und Proportionen zu 
Grunde gelegt werden. 


142 


Die griechische Mathematik : 


In den Satzen 1 3 und 5 6 werden folgende Hiilfs- 
satze vorausgeschickt : 


(1 und 5) 
(2 und 6) 

(3) 


m a Hh n a = (m +_ n) a, 
n . m a = n m . a. 


Unsere Wiedergabe der letzten drei Satze 1st jedoch 
insofern etwas frei, als beispielsweise in 2 gesagt wird, 
dass ma-\ na dasselbe Vielfache von a ist wie m b -f- n b 
von b\ aber sowohl die Beweise durch Zerlegung der 
ganzen Zahlen in ihre Einer wie die Anwendungen 
stimmen durchaus zu unserer Angabe der Bedeutungen. 

Diese Hulfssatze und die Definition 4 werden benutzt, 
um folgende Satze zu einfachen Folgen der Definitionen 
5 und 7 zu machen: 

Wenn a : b = c : d, 

so ist m a : n b = m c : n d ; (4) 

wenn a&gt;b, so ist a : c 5&gt; b : c, aber c : a &lt;; c : b ; 

(7 und 8) 

wenn a:b = c:d 

und c:d = e:f, 

so ist a:b = e:f, (11) 

und aus solchen gleichen Verhaltnissen lasst sich em 
neues ebenso grosses bilden, namlich 

(a + c + e):(b + d+f); (12) 

wenn aber a : b = c : d 

und c : d &gt; e :/, 

so ist a : b &gt; e :/. (13) 

Als Beispiel fur die Beweisfiihrung wollen wir Satz 8 
betrachten, in dem, wenn a &gt; b, die Bestimmung von 
zwei solchen ganzen Zahlen m und n verlangt wird, das 


16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen. 143 


a&gt;nc&gt;mb. Das wird dadurch erreicht, dass man 
die Forderung mit den folgenden vertauscht, die nach 
Definition 4 erfiillbar sind: 

m b &gt; c und m(a b) &gt; c, 

(n 1) c &lt; m b &lt;C n c, 
woraus folgt, dass nc &lt;^m a. 

Die Satze 9 und 10, die die Umkehrungen von 7 
nnd 8 sind, werden antithetisch bewiesen. In 14 wird 
mit Hiilfe der vorhergehenden Satze bewiesen, dass wenn 

a : b = c : d, 
# = c mit sich bringt, dass b = d. 

In 15 wird mit Hiilfe von 12 bewiesen, dass 
m a : m b = a : b. 

Die Satze 16 19 enthalten folgende Umformungen 
der Proportion 

a : b = c: cL 
Aus dieses erhalt man a : c = b : d, 


a:b = (a c) : (6 d). 


(16) 
(17) 
(18) 
(19) 


16 und 17 werden mit Hiilfe von Definition 5 be 
wiesen; daneben werden bei Satz 16 die beiden vorher 
gehenden Satze benutzt. In Satz 17 wird aus der gegebenen 
Proportion abgeleitet, dass, fiir alle Werte von m und n, 

m a = (m + n) b mit sich bringt, dass m c = (m + n) d, 
woraus folgt, dass 

m(a b)==nb mit sich f iihrt, dass m(c d)=n d. 


144 


Die griechische Mathematik: 


18 und 19 werden der erstere antithetisch aus 
16 und 17 abgeleitet. 

Eine Umformung vermisst man jedoch, namlich die- 
jenige in 

b : a~ d : c. 

Da cliese ausdriicklich im Beweise fur 20 angewandt wird, 
so hat man sie in einem Zusatz zu Satz 7 suchen wollen, 
was jedoch misslich 1st, da in 7 nur die Rede von dem 
Fall ist, wo b = d. Deshalb haben einige Herausgeber 
den Zusatz nach Satz 4 verlegen wollen. Die Sache ist 
von keiner grossen Bedeutung, da die Umformung eine 
unmittelbare Folge von Definition 5 ist. 

Die Satze 20 23 enthalten die wichtige Lehre von 
zusammengesetzen Verhaltnissen. 22 sagt aus: 

wenn a : b = d : e und b : c = e :/, 

so folgt, dass a : c = d :/. 

Als Vorbereitung auf den Beweis wird in 20 bewiesen, 
dass nach den Voraussetzungen die Bedingung a = c, 

woraus nach 8 folgt, dass d: e = a : b = c : b =f: e, nach 

9 und 10 mit sich bringt, dass d=f. Da nun die ge- 
gebenen Proportionen sich nach 4 umformen lassen in 


und 

so muss auch 


ma: nb md:ne 
n b : p c = n e : pf, 


ma=pc mit sich fiihren, dass md=pf. 


16. Die allgemeine Lehre von den Proportioned 145 

Der Satz 23, der aussagt, dass, wenn 

a : b = e :/ und b : c = d : e 
auch a : c = d :/ 

1st, wird auf dieselbe Weise bewiesen und 1st in derselben 
Weise durch 21 vorbereitet. 

In diesen Satzen wird gesagt, dass das Verhaltnis 
a : c aus den Verhaltnissen a : b und b : c zusammengesetzt 
sei. Fassen wir das antike Verhaltnis als eine moderne 
Zahl auf, so ergiebt sich, dass das aus den beiden Ver 
haltnissen zusammengesetzte Verhaltnis dasselbe ist, was 
man jetzt ein Produkt nennt. Obgleich den Verhalt 
nissen, die zusammengesetzt werden, bestimmte Fonnen 
beigelegt werden, da das Hinterglied des einen das Vorder- 
glied des anderen sein soil, so iibt das dennoch keine 
Beschrankung auf. die Zusammensetzung von Verhaltnissen 
aus. Aus der geometrischen Darstellung in VI, 12 ergiebt 
sich namllch auch, dass jedes Verhaltnis sich so um- 
formen lasst, dass eines von seinen beiden Gliedern einen 
gegebenen Wert erhalt. In VI, 23, wo bewiesen wird, 
dass das Verhaltnis zwischen zwei Parallelogrammen von 
gleichem Winkel aus den Verhaltnissen der Seiten zu 
sammengesetzt ist, sieht man denn auch, dass man den 
letzteren die Formen a : b und b : c giebt, um sie zusammen- 
zusetzen. 

Wenn wir dieses hier schon mit beriicksichtigen, so 
enthalten die Satze 22 und 23 vollstandige Beweise fur 
die Behauptungen, die man jetzt folgendermassen aus- 
driicken wiirde: Ein Produkt ist bestimmt durch 
seine Faktoren, und die Reihenfolge der Faktoren 
ist gleichgiiltig. 

Die Alten besassen also zwei verschiedene Darstel- 
lungen von dem, was man jetzt unabhangig davon, ob 
lie Faktoren rational oder irrational sind, ihr Produkt 

10 


146 Die griechische Mathematik -. 

nennt, narnlich die eben geschilderte und die in der geo- 
metrischen Algebra benutzte durch Rechtecke. Dass es 
wirklich im wesentlichen dasselbe ist, was auf diese bei- 
den Arten dargestellt wird, sieht man aus dem eben an- 
gefiihrten 23sten Satze des 6ten Buches. Die Darstellung 
durch zusammengesetzte Verhaltnisse verbindet einen wesent 
lichen Vorteil mit ihrer grosseren Umstandlichkeit. Wah- 
rend die geometrische Algebra gewohnlich nur Produkte 
aus zwei Faktoren behandelt, die als Rechtecke dargestellt 
sind, und man sich in den Raum begeben muss, um 
Produkte aus drei Faktoren als Parallelepipeda dargestellt 
zu erhalten, so lasst sich ein Produkt aus einer beliebigen 
Anzahl von Faktoren als ein aus diesen zusammengesetztes 
Verhaltnis darstellen. Giebt man den Faktoren die Formen 

a : b, b : c, c: d, d: e, 

so wird das daraus zusammengesetzte Verhaltnis a : e ; dies 
wird ausdriicklich in Satz 22 ausgesprochen. 

Ein Beispiel fur den allgemeinen Gebrauch, den die 
Griechen von zusammengesetzten Verhaltnissen machten, 
haben wir bereits gehabt in der Umwandelung der Auf- 
gabe von der Wiirfelverdoppeiung in die Bestimmung von 
zwei mittleren Proportionalen. Die fortlaufende Proportion 

a : x = x : y = y : b 

der Alten driickt also ganz dasselbe aus, was man nun 
ausdriicken wiirde durch 


a /a\ 3 b /x\ 5 

r = I ~ ) oder ~ = ( ~ ) 
b \x/ a \a/ 


Auf dieselbe Weise werden auch hcihere Potenzen 
ausgedriickt als Verhaltnisse zwischen dem ersten und 
letzten Gliede einer fortlaufenden Proportion, d. h. einer 
solchen, deren Glieder eine geometrische Reihe (Quotienten- 
reihe) bilden. 


16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen. 147 


Dass man auch zu Euklids Zeiten in dieser Bezie- 
hung welter war, als sich unmittelbar aus seinem 5ten 
Buch ergiebt, das sieht man aus IX, 35, wo eine Be- 
stimmung von der Summe der Glieder einer geometrischen 
Reihe gegeben wird. In unserer Sprache wiirde die darin 
enthaltene Untersuchung folgendermassen ausgedriickt 
werden: Wenn 


b a c b d c d a 

so ist i = 


a b c a-\-b + c 

Der Satz wird indessen nicht nur ausgesprochen von 
einer Summe aus drei aufeinander folgenden Gliedern, 
deren Betrachtung Euklid im Beweise fur ausreichend 
gehalten hat. Da dieser allein auf Satze des 5ten Buches 
aufgebaut ist, so ist er allgemeingultig, wenn auch Eu 
klid fur den Augenblick ihn nur deshalb mitnimmt, weil 
er in dem folgenden zahlentheoretischen Satz Verwendung 
fiir den Satz hat, dass 

1 4- 2 + 2 2 -f- . . . 2* = 2" +1 1. 

Wir miissen um so viel grosseres Gewicht auf diese 
Darstellung von Produkten und Potenzen legen, als sie 
bis in die neuere Zeit hinein die Grundlage geblieben ist 
fiir solche algebraische Untersuchungen, die auf Allgemein- 
heit Anspruch machten und sich nicht auf rationale Zahlen 
beschrankten. 

Der Satz V, 24 sagt aus: wenn 

a: c d:f 
md b : c = e :/, 

folgt, dass (a + b) : c = (d + e) :/; 

lieser Satz ist nahe von derselben Art wie diejenigen sind, 
lie den Satzen iiber zusammengesetzte Verhaltnisse voran- 

10* 


148 Die griechische Mathematik . 

gehen; er kann aber erst hier semen Platz finden, well 
der Satz 22 dazu benutzt wird, urn aus den beiden ge- 
gebenen Proportionen, nach Umkehrung der Verhaltnisse 
in der zweiten (Bildung der reciproken Werte), abzuleiten, 
dass 

a : b = d : e, 

wonach sich mit Hiilfe von 18 ergiebt, dass 
(a+b):b = (d+e):e. 

Eine neue Zusammensetzung der Verhaltnisse (nach 22) 
fiihrt dann zu der Proportion, deren Richtigkeit bewiesen 
werden soil. Die erstgenannte Anwendung von Satz 22 
wird dadurch interessant, dass sie zeigt, dass die Divi 
sion von Verhaltnissen keine neuen und besonderen 
Satze verlangt. 

Der Satz 25 sagt aus, dass, wenn vier Grossen pro 
portional sind, die Summe aus der grossten und kleinsten 
grosser ist als die Summe der beiden anderen; dieser 
Satz wird durch 19 bewiesen. Ein besonderer Fall, der 
hier jedoch nicht erwahnt wird, ist der, dass die Mittel- 
grb sse zwischen zwei Grossen (arithmetisches Mittel) grosser 
ist als ihre mittlere Proportionate (geometrisches Mittel); 
dies wird in VI, 27 durch geometrische Algebra bewiesen 
und liefert den Diorismus fur Gleichungen zweiten Grades. 

Zwar ist die im 5ten Buche gegebene Lehre von den 
Proportionen, trotz der geometrischen Veranschaulichung, 
vollkommen allgemein und auf alle Arten von Grossen 
anwendbar; aber sie bedurfte einer Erganzung, die nach 
der Weise der Alten geometrisch werden musste. Die 
Existenz der Verhaltnisse geht aus den Definitionen her- 
vor, sobald man nur Grossen hat, die nach Definition 4 
Verhaltnisse bilden konnen. Indessen ist, wie oben be- 
riihrt, ein Beweis erforderlich fiir die Existenz einer sol- 


16. Die allgemeine Lehre von den Proportioned 149 

chen Grosse, die in Verbindung mit einer gegebenen ein 
Verhaltnis von gegebenem Werte bildet, und diese Exi- 
stenz wird durch geometrische Konstruktion einer vierten 
Proportionale bewiesen. 

Diese geometrische Erganzung zu der Lehre von den 
Proportionen findet sich im 6ten Buehe, das zugleich 
die wichtigsten Anwendungen dieser Lehre auf die Geo- 
metrie enthalt, namentlich auf ahnliche Figuren, sowie 
ihre Kombination mit der geometrischen Algebra. Das 
wichtige Ziel, das durch diese Kombination erreicht wird, 
ist die geometrische Darstellung und Losung von Glei- 
chungen 2ten Grades, in denen a? 2 mit einem Koefficien- 
ten behaftet ist. Wenn dieser Koefficient a rational war, 
so verstanden die Alten wohl, wie wir gesehen haben 
(S. 61), die Gleichung in eine solche mit der Unbekann- 
ten a x und ohne Koefficienten des quadratischen Gliedes 
umzuformen. Wenn der Koefficient dagegen irrational 
ist und selbst durch eine Strecke dargestellt werden muss, 
so reicht die gewohnliche geometrische Algebra mit zwei 
Dimensionen nicht mehr aus. 

In Satz 1, wo bewiesen wird, dass Dreiecke und 
Parallelogramme von derselben Hohe sich wie die Grund- 
linien verhalten, findet die euklidische allgemeine Defini 
tion von der Gleichheit von Verhaltnissen zweckmassige 
Verwendung. Da gleiche Grundlinien gleiche Flachen- 
inhalte ergeben, so fuhrt eine unmittelbare Anwendung 
dieser Definition zu dem allgemeinen Satze, ohne dass es 
notig ware, wie es in modernen Lehrbiichern geschieht, 
den Fall, wo die gleichartigen Grossen kommensurabel 
sind, nachher zu dem allgemeinen zu erweitern. 

Nach diesem Satze folgen in 2 und 3 die Satze iiber 
parallele Transversalen im Dreieck und iiber die Teilung 
einer Dreiecksipte durch die Halbierungslinie des gegen- 
uberliegenden Winkels. Darauf folgen in 4 7 die Haupt- 


150 Die griechische Mathematik: 

satze iiber ahnliche Dreiecke ; diese werden bewiesen durch 
Konstruktion eines Dreiecks, das deni einen gegebenen 
ahnlich und dem anderen kongruent wird. Sie werden 
sofort (in 8) auf ein rechtwinkeliges Dreieck angewandt 
und auf die beiden Dreiecke, worin dieses durch die Hohe 
auf die Hypotenuse geteilt wird. 

9 13 enthalten die Teilung einer Strecke in gleiche 
oder proportionale Teile, sowie die Konstruktion der drit- 
ten Proportionale (d. h. der vierten zu a, b und b), der 
vierten und der mittleren Proportionale. Die letzte Kon 
struktion ist dieselbe, die schon in II, 14 auf Grundlage 
der geometrischen Algebra angewandt wurde zur Bestim- 
mung der Seite eines Quadrates, das einem gegebenen 
Rechteck gleich war. 

Darauf kommen in 1423 die Satze iiber das Ver 
haltnis zwischen den Flacheninhalten von Figuren. Den 
Hauptsatz 23 iiber die Flacheninhalte gleichwinkeliger 
Parallelogramme haben wir schon besprochen. Im Be- 
weise (19) dafiir, dass das Verhaltnis ahnlicher Dreiecke 
- wie wir sagen - - gleich dem Quadrate des Verhalt- 
nisses zwischen zwei homologen Seiten ist, wird das Ver 
haltnis a : b zwischen diesen beiden, um mit sich selbst 
zusammengesetzt werden zu konnen, auf die Form b : c 
gebracht, so dass das quadratische Verhaltnis a : c wird. 
Die Satzgruppe enthalt auch noch (in 16) den Satz, dass 
in einer Proportion das Rechteck aus den ausseren Glie- 
dern gleich demjenigen aus den inneren Gliedern ist. 

Am Schlusse des Buches werden demnachst in 28 
und 29 die durch Hiilfe der Proportionslehre verallgeniei- 
nerten Flachenanlegungen behandelt. Eine von der 
Proportionslehre unabhangige Verallgemeinerung besteht 
darin, dass die Rechtecke mit Parallelogrammen von einem 
beliebig gegebenen Winkel vertauscht werden; da aber 
diese letzte Verallgemeinerung ohne Einfluss ist auf die 


16. Die allgemeine Lehre von den Proportioned 151 


B 


M 


reometrisch-algebraische Bedeutung dieser Aufgaben, so 
rollen wir von ihr absehen und hier nur von Rechtecken 
sprechen. Die Aufgaben, von denen die Rede ist, sind 
dann folgende: 

An eine gegebene Strecke (a) eine gegebene 
Flache (B) als ein solches Rechteck (mit der Hohe a?) 
anzulegen, dass das fehlende (28) oder iiberschies- 
sende (29) Rechteck einem gegebenen (mit den Seiten 
c und d) ahnlich wird. 

Die Auflosungen werden dieselben, die wir aus II, 5 
und 6 fur die Falle abgeleitet haben (S. 46 49), wo die 
fehlenden oder iiberschiessenden Figuren Quadrate sein 
sollen, ausgenommen, dass 
die friiheren Quadrate jetzt 
mit Rechtecken vertauscht 
werden, die den gegebenen 
ahnlich sind. Die Ahnlich- 
keit tritt iiberdies dadurch 
deutlich hervor, dass eine 

Diagonale der ahnlichen Rechtecke auf eine und dieselbe 
Gerade fallt. Die erweiterten algebraischen Anwendungen, 
die sich jetzt erreichen lassen, erkennt man aus der fol- 
genden algebraischen Darstellung der Aufgaben und der 
Umlegungen von Figuren, wodurch sie gelost werden, 
namlich : 


c 

-\- 

CL 


wo wir durch die moderne Benutzung der Vorzeichen 
nur eine zweimalige Darstellung haben verrneiden wollen. 
Um x zu finden, kommt es darauf an das Rechteck 
_c ^ 2 

d 
und der Differenz oder Summe der bekannten Flachen 


^^--- Y 

c \2 + d X ) 


zu konstruieren, das dem gegebenen ahnlich, 


152 Die griechische Mathematik: 


J / \ 

f j 

c \A / 


Q 

und B gleich sein soil. Hierzu dient, wenn B 


als eine gegebene geradlinige Figur vorausgesetzt wird, 
die Aufgabe 25, die bereits bei den Pythago reern erwahnt 
wurde: Eine Figur zu konstruieren, die einer gegebenen 
geradlinigen Figur gleich und einer anderen ahnlich ist. 
Die Aufgabe 28 verlangt als Diorismus, dass 


M 1 - 


oder dass die gegebene Flache B nicht grosser ist als 
ein Rechteck iiber der Halfte der gegebenen Strecke a, 
das dem gegebenen Rechteck cd ahnlich ist. Dieser 
Diorismus ist der Aufgabe auf gewohnliche Weise hinzu- 
gefugt, aber seine Notwendigkeit ist in dem vorhergehenden 
Satze 27 durch dieselbe Umlegung bewiesen, die in 28 
benutzt wird. Er wurde, wie schon friiher bemerkt (in 
unserem 11 ten Abschnitt) unmittelbar aus der Analyse 
hervorgegangen sein, die der synthetischen Darstellung 
in 28 entspricht. Wenn das Rechteck cd mit einem 
Quadrat vertauscht wird, so sagt der Diorismus aus, dass 
ein Quadrat grosser ist als ein Rechteck von derselben 
Seitensumme (ein Resultat, das, wie schon bemerkt, auch 
aus V, 25 folgt). 

Satz 30 enthalt die stetige Teilung einer Strecke. 
Die Konstruktion wurde schon einmal in II, 11 (S. 52) 
angegeben und stiitzte sich da auf II, 6; nun stiitzt sich 
dieselbe Konstruktion auf Satz VI, 29, der eine Verall- 
gemeinerung von II, 6 ist. Der Grund fur die Wieder- 
holung ist derselbe wie bei der Konstruktion der mittleren 
Proportionale, dass namlich die Aufgabe nun durch die 
Lehre von den Proportionalen anders ausgedruckt wird 
als friiher (Teilung nach ausserem und mittlerem Ver- 
haltnis). 


16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen. 153 

Satz 31 enthalt die Erweiterung des pythagoreischen 
Lehrsatzes auf beliebige ahnliche Figuren uber den Seiten 
eines rechtwinkeligen Dreiecks. Durch diesen Satz, der 
von Euklid personlich herrlihren soil, lasst sich die 
Subtraktion und Addition von Figuren bei den Flachen- 
anlegungen in 28 und 29, wenn B als dem Rechteck c d 
ahnlich gegeben oder ihm ahnlich geniacht ist, mit Hulfe 
eines rechtwinkeligen Dreiecks ausfiihren. 

In 33, dem letzten Satze des Buches, wird bewiesen, 
dass Kreisbogen und die darauf stehenden Centri- und 
Peripheriewinkel proportional sind. 

Wie man sieht, enthalten das 5te und 6te Buch die 
notwendige Grundlage fur eine exakte und vollkommen 
allgemeine Behandlung solcher Aufgaben, die in unserer 
Algebra von Gleichungen des ersten und zweiten Grades 
abhangig sind, durch die Lehre von den Proportionen 
und durch diese in Verbindung mit geometrischer Alge 
bra. Dass man wirklich diese Grundlage benutzt hat, 
das ergiebt sich aus den vorliegenden weitergehenden 
Arbeiten, wie aus der geometrisch-algebraischen Behand 
lung der Lehre von den Kegelschnitten bei Apollonius 
und aus einer grossen Menge von den Untersuchungen, 
die uns Pappus aufbewahrt hat. Dass man sich sogar 
ausdrucklich fur solche algebraische Arbeit riistete, erkennt 
man aus verschiedenen Satzen in Euklid s Data, die eine 
Menge Aufgaben von der angefuhrten Art und in den 
angefiihrten Formen nennen, deren Losung zweck- 
massigerweise wahrend der fortgesetzten analytischen Ar 
beit als so bekannt betrachtet wird, dass es geniigt, die 
neuen Aufgaben darauf zurackzufuhren. 

Was wir als eine Gleichung ersten Grades mit all- 
gem einen Koefficienten schreiben wiirden, das wird in 
den Data der allgemeinen Giiltigkeit wegen als eine Pro 
portion ausgedruckt. Um nur ein Beispiel statt vieler zu 


154 Die griechische Mathematik: 

nennen, so sagt Satz 15 der Data aus: Wenn man gegebene 
Grossen .zu jeder von zwei Grossen addiert, die in einem 
gegebenen Verhaltnis stehen, so stehen entweder die Sum- 
men selbst in dem gegebenen Verhaltnis, oder der tJber- 
schuss der einen liber erne gegebene Grosse steht in dem 
gegebenen Verhaltnis zu den anderen. Das heisst soviel, 
dass x bestimmt wird durch die Proportion 

(a-\-m x) : (b + n ) b. 

Die erste der -genannten Alternative!! driickt aus, dass x 
Null werden kann, namlich wenn 

m : n = a : b. 

Ein negatives x wird dadurch vermieden, dass man die 
Gleichung mit der folgenden 

(a -\- m) : (b -\- n x) = a:b 

vertauscht. 

Wir haben bereits friiher angefiihrt (S. 107), dass die 
Data Aufgaben enthalten, die sich unmittelbar auf Flachen- 
anlegungen zuruckfuhren lassen. Als Beispiel fur solche 
Satze der Data, die Bekanntschaft mit Aufgaben verraten, 
die mehr indirekt von Gleichungen zweiten Grades ab- 
hangen, seien hier 85 und 87 genannt: Wenn zwei Strecken 
unter einem gegebenen Winkel ein Parallelogramm von 
gegebener Grosse einschliessen, und die Summe oder Diffe- 
renz der Quadrate iiber diesen Strecken gegeben ist, so 
sind die Strecken auch gegeben. Man kannte mit anderen 
Worten (unter geometrischer Form) die Losungen der Glei 
chungen 

=b. 


17. Kommensurable Grossen; Euklid VII IX. 


155 


17. Kommensurable Grossen und ihre Behandlung 
durch Zahlen; Euklids 7, 9, Buch, 

Im 7ten Buche wird eine Einheit eingefiihrt, wo- 
durch die Grossen, die sie misst, durch ganze Zahlen 
ausgedriickt warden. In diesem und den beiden folgen- 
den Biichern werden dann ganze Zahlen, sowie ihre Ver- 
haltnisse und andere Verbindungen zwischen ihnen be- 
handelt. Im 7 ten Buche begegnen wir fiir ganze Zahlen 
solchen Satzen iiber Proportionen, die im 5ten Buche 
bereits auf allgemeingultige Weise bewiesen sind. Zur Er- 
klarung dessen dient der Umstand, dass die allgemein 
gultige Proportionslehre des 5ten Buches ziemlich neu 
und deshalb noch nicht geniigend entwickelt war, um 
auf alien den Gebieten, die sie in der Wirklichkeit um- 
fasst, zu Grunde gelegt zu werden. Dadurch ist uns die 
Proportionslehre des 7ten Buches uberliefert worden als 
eine Probe von der alteren Behandlungsweise, bei der 
noch keine Riicksicht auf die Moglichkeit genommen 
wurde, dass die Glieder der Verhaltnisse inkommensurabel 
sein konnen. 

Dass die Lehre von den Verhaltnissen zwischen ganzen 
Zahlen als einbegrifien in der bereits entwickelten all- 
gemeineren Lehre nicht einfach fortgelassen werden konnte, 
beruht darauf, dass bei den ganzen Zahlen auch noch 
andere Riicksichten zu nehmen waren, namentlich auf 
Fragen nach der Teilbarkeit und auf die Reduktion von 
Zahlenverhaltnissen auf die moglichst kleine Zahl. Das 
zeigt sich sofort dadurch, dass fiir Zahlen eine neue 
Definition der Proportion alitat gegeben wird, nam- 

a c 

lich in Def. 20. Nach dieser ist = , wenn a und c 

o a 

itweder dieselben Vielfachen, oder derselbe aliquote Teil 


156 Die griechische Mathematik : 

oder dieselben aliquoten Teile von b und d sind, d. h. 
wenn gleichzeitig a = m . und c = m . . Was die Gleich- 

heit der Verhaltnisse betrifft, so enthalt diese Definition 
allerdings nichts anderes, als was schon in der 5ten De 
finition des 5ten Buches embegriffen ist; indessen wird 
man doch bald sehen, dass durch die Art und Weise, 
wie sie gebraucht wird, eine nicht unwichtige Vorausset- 
zung hineingebracht wird. 

In den Satzen 1 3 werden die bekannten Regeln fiir 
die Bestimmung des grossten gemeinschaftlichen Maasses 
aufgestellt und bewiesen. Direkt wird bewiesen, dass 
man ein gemeinschaftliches Maass erhalt, und antithetisch, 
dass man das grosste erhalt. In 4 wird bewiesen, dass 
man, wenn a und b ganze Zahlen sind und / ihr grosstes 
gemeinschaftliches Maass, immer schreiben kann a = mf, 

b = nf und dadurch a = m . . Ist a &lt;&lt; b, so wird m ]&gt; 1, 

n &gt; 1. Durch diese Bestimmung werden m und n relativ 
prim. Priift man nun auf der Grundlage dieser Bestim- 

a c 
mung, ob nach Definition 20 T-^-TI so bringt man zu- 

gleich die Voraussetzung hinein, dass, wenn es der Fall 

ist, in c = m . der letzte Faktor eine ganze Zahl ist, dass 
n n 

also n, wenn es in einem Produkt m . d aufgeht und relativ 
prim gegen den einen Faktor m ist, in dem anderen Fak 
tor d aufgehen muss. Dieser Fundamental satz der Zahlen- 
theorie ist also bereits in die Voraussetzungen hinein- 
gelegt, und es ist folglich nicht von grosser theoretischer 
Bedeutung, wenn Euklid spater auf der Grundlage von 
diesen mehrere darin einbegriffene Satze beweist, wie in 
30 den Satz, dass eine Primzahl, die in einem Produkt 
aufgeht, in einem der Faktoren aufgehen muss. Die er- 


17. Kommensurable Grossen; Euklid VII IX. 


157 


wahnten Voraussetzungen sind namentlich in Satz 20 be- 

d 

nutzt, der aussagt, dass, wenn = und c und d so 

o d 

klein wie moglich sind, c in a und d in b aufgeht; dieser 
Satz bildet ein wichtiges Glied in der Beweisfiihrung, durch 
die man zu Satz 30 gelangt. 

Wie bekannt benutzt man in einem wirklichen Beweise fur 
den genannten Fundamentalsatz den Umstand, dass, wenn a und 
b relativ prim sind, k der grosste gemeinschaftliche Faktor fiir k a 
und k b ist, ein Satz, der aus den Regeln fiir die Bestimmung des 
grossten gemeinschaftlichen Faktors folgt, der aber von Euklid 
nicht mitgenommen wird. Was man bei Euklid vermisst, das ist 
ein Beweis dafiir, dass die in 4; beschriebene Umformung von a 

in m . die einzige ist, fiir die in und n relativ prim sind. 


Aus dem Gesagten ergiebt sich allerdings, dass Eu 
klid den Grand fiir die Lehre von den ganzen Zahlen 
nicht so tief legt wie den fur die Geometric und fiir die 
Lehre von den allgemeinen kontinuierlichen Grossen; die 
Sorgfalt aber, mit der im iibrigen die zahlreiche Reihe 
von wesentlich theoretischen Satzen dargestellt und be- 
griindet wird, zeugt dennoch sowohl von einem richtigen 
Blick dafiir, dass auch die Arithmetik einer exakten Be- 
handlung bedarf, als auch von einer Benutzung derjenigen 
Operationen, auf deren Theorie soviel Miihe verwandt 
wird. Die drei arithmetischen Biicher haben jedoch keine 
so grosse und grundlegende Bedeutung fiir die Mathema- 
tik bis zu unseren Tagen erhalten wie die vorhergehenden 
und Teile von den folgenden; deshalb wollen wir uns 
hier mit ganz wenigen Bemerkungen iiber ihren ferneren 
[nhalt begniigen. 

Die Lehre von den Verhaltnissen im 7ten Buch wird 
der Hauptsache nach eine Darstellung der wichtigsten 
allgemeinen Satze, die bei der Rechnung mit Briichen 


158 Die griechische Mathematik: 

benutzt werden. (Deshalb haben wir auch im Gegensatz 
zu unserer Wiedergabe des 5ten Buches die Verhaltnisse 
als Briiche geschrieben). 

Die fortlaufenden Proportionen, die im 8ten und 
9 ten Buche behandelt werden, sind, wie wir bereits er- 
wahnt haben, die antike Form fur geometrische Reihen, 
hier rnit ganzen Gliedern. Die Verhaltnisse zwischen 
Gliedern einer solchen Reihe mit verschiedener Stellzahl 
sind die antike Form fiir die verschiedenen Potenzen 
von ganzen Zahlen und Brlichen. Einzelne Satze iiber 
Wurzeln entstehen durch Einschaltung von mittleren Pro- 
portlonalen. 

Die bedeutendsten zahlentheoretischen Satze, die er- 
reicht werden, sind die Satze 20 und 86 des 9ten Buches. 
Im ersten wird die Unendlichkeit der Reihe der Prim- 
zahlen dadurch bewiesen, dass das Produkt der ersten 
Primzahlen -f- 1 entweder eine hohere Primzahl ist oder 
eine solche als Faktor enthalt. Der zweite sagt aus, dass 
das Produkt 

(1 + 2+ 2 2 4- ... + 2").2 W , 

wenn der erste Faktor eine Primzahl ist, eine voll- 
kommene Zahl wird, d. h. eine solche, die gleich der 
Summe aller ihrer Faktoren ist. Die Richtigkeit ist leicht 
dargethan, da - wie bereits fruher (S. 147) erwahnt 
wurde - - die dazu notwendige Summation von geome- 
trischen Reihen in Satz 35 dargestellt ist. 


18, Inkommensurable Grosser) ; Euklids lOtes Buch. 

Wenn wir bei der Besprechung des lOten Buches, 
des umfangreichsten der Elemente, auch nicht sehr ins 
Einzelne gehen, so geschieht das nicht etwa, weil die 
durin niedergelegte Arbeit, die von Theatet begonnen 


18. Inkommensurable Grossen; Euklid X. 159 

uncl von Euklid vollendet 1st, zu wenig bedeutend sein 
sollte um unsere voile Aufmerksamkeit zu verdienen. Im 
Gegenteil riihrt die Schwierigkeit, die sich uns trotz der 
sorgfaltig durchgefiihrten Bearbeitung entgegenstellt, wenn 
wir uns einen Uberblick iiber den Inhalt verschaffen 
wollen, davon her, das es eine beschwerliche Aufgabe ist 
ohne irgendwelche Zeichensprache zwischen den in diesem 
Buche klassificierten irrationalen Grossen zu unterscheiden. 
Dass das Buch dennoch, obgleich man lange Zeit nachher 
die daraus entnommenen Klassifikationen angewandt finden 
kann, nicht eine so anhaltende historische Bedeutung hat 
gewjinnen konnen wie vieles andere bei Euklid, hat sei- 
nen Grand darin, dass weiterhin die Zeichensprache, auch 
schon auf friihen Stufen ihrer Entwickelung, einen viel 
einfacheren Uberblick iiber die verschiedenen Arten irra- 
tionaler Grossen gewahrte. Auch wir wollen uns hier 
damit begniigen mit Hiilfe der Zeichensprache Auskunft 
dariiber zu geben, welches die Grossen sind, die klassifi- 
ciert werden, ohne uns um die Benennungen zu bekum- 
mern, wodurch dies erreicht wird. Was diese angeht, so 
will ich nur, um direkten Misverstandnissen bei Lesern 
Euklid s vorzubeugen, darauf aufmerksam machen, dass 
er, wenn er von rationalen Grossen spricht, damit nicht 
nur solche meint, die mit der Einheit kommensurabel 
sind, sondern auch solche, deren Quadrate es sind, die 
also nur in der Potenz kommensurabel sind mit der 
Einheit. Das Wort Einheit wird hier jedoch nicht so 
wie in zahlentheoretischen Biichern gebraucht, sondern 
eine willkiirlich gewahlte Grosse, die als rational betrachtet 
wird, spielt in diesem Zusammenhange dieselbe Rolle wie 
eine Einheit. 

Uber Kommensurabilitat uncl Inkommensurabilitat 
vergewissert man sich, wie schon fruher erwahnt (S. 55), 
durch direkte Versuche das grosste gemeinschaftliche Maass 


1(50 Die griechische Mathematik : 

zu bestimmen. Die Inkornmensurabilitat wird damn er- 
kannt, dass diese Operation sich bis ins Unendliche fort- 
setzen lasst, wahrend die successive!! Reste bis ins Un 
endliche oder unter jede gegebene Grenze abnehmen. 
Dieses Abnehmen bis ins Unendliche wird mit derselben 
wissenschaftlichen Strenge genommen wie jede Unendliche 
Annaherung bei den Alten. Das geschieht auch hier mit 
Hiilfe der 4ten Definition des 5ten Buches, die in Satz 1 
dahin urngeformt wird, dass man, indem man von einer 
gegebenen Grosse mehr als die Halfte subtrahiert, und 
von jedem folgenden Reste wiederum mehr als die Halfte, 
schliesslich zu einer Grosse gelangen kann, die unter jeder 
gegebenen Grenze liegt. Mit diesem Satz als Ausgangs- 
punkt werden zuerst einige allgemeine Untersuchungen 
irrationaler Grossen, ohne Riicksicht auf ihre Entstehung, 
vorgenommen, und ebenso Untersuchungen von hieraus 
gebildeten neuen irrationalen Grossen. Dann kommen 
besondere Untersuchungen iiber Quadratwurzeln, darunter 
auch die friiher beriihrten Untersuchungen iiber diejenigen 
Falle, in denen diese sich als rational ergeben, nament- 
lich iiber rationale rechtwinkelige Dreiecke. Die Formen 
fiir irrationale Grossen, die ferner aufgestellt werden, sind 
vierte Wurzeln aus rationalen Grossen und Ausdriicke 
von der Form p + V P 2 , VjpM-~2l&gt;i V^ V^ 
sowie die Quadratwurzeln aus diesen Ausdriicken, oder 
richtiger, wie wir an einem Beispiel sehen werden, ge- 
wisse Umformungen dieser Quadratwurzeln in Summen 
oder Differenzen. Die Glieder der letzteren werden durch 
Gleichungen von der Formen a? 2 -\- z/ 2 = a, x . y = b, wo 
a und b schon selbst eine gegebene Form haben, bestimmt. 
Ausser den Definitionen der verschiedenen Klassen 
irrationaler Grossen besteht die Arbeit, welche Euklid 
hier ausgefiihrt hat, im wesentlichen in Beweisen dafiir, 
dass die gebildeten Grossen irrational und im allgemeinen 


18. Inkommensurable Grossen; Euklid X. 161 

unter einander verschieden sind. Das letztere muss mit 
einem ausdrucklichen Hervorheben der besonderen Falle 
verbunden werden, in denen ein Ausdruck von einer der 
Formen sich auf eine einfachere Form reducieren oder 
sich aus Ausdriicken von einfacheren Formen zusammen- 
setzen lasst. Hierher gehort die bekannte Umformung 
des doppelt irrationalen Ausdrucks "I/- -}-/ p2 _ ^2 in 
einen einfach irrationalen. Diese Umformung wird in 54 
und 91 beziehungsweise fiir -f- und vorgenommen. 
Dieselbe Transformation wird dann in 57 und 94 an- 


gewandt, um den Ausdruck y~ _|_ -J "2 _ j~, wo q kein 
Quadrat ist, umzuwandeln in 


2 


Auf diese Form fiihren die Gleichungen, die in 39 
und 76 dazu dienen, die sogenannte grossere und 
kleinere irrationale Grosse darzustellen. Die Opera- 
tionen, wodurch diese und ahnliche Umformungen vor 
genommen werden, werden allerdings in der Form der 
geometrischen Algebra dargestellt, sind aber sachlich die- 
selben, die man jetzt in der algebraischen Zeichensprache 
ausdriicken und zur Losung der entsprechenden Glei 
chungen anwenden wiirde. 


19, Elemente der Stereometrie; regulare Polyeder; 
Euklids lltes und 13tes Buch, 

Indem Euklid so im lOten Buche Gelegenheit findet, 
eine recht weitgehende algebraische Fertigkeit in der Be- 
handlung solcher Aufgaben zu zeigen, die jetzt durch 
wiederholte Losung von Gleichungen zweiten Grades be 

11 


162 Die griechische Mathematik: 

handelt werden, stellt er namentlich die Mittel her um 
diejenigen Grossen zu benennen, zu denen ihn die Be- 
stimmung der Seiten und Kanten bei regularen Polygonen 
und Polyedern fiibrt. Ehe er im 13ten Buche hierzu ge- 
langt, muss er zuerst im llten Buche die ersten Elemente 
der Stereometrie darstellen. 

In den ersten Satzen, die liber die Lage von Geraden 
nnd Ebenen gegen einander handeln, wird man sofort 
dieselben Satze und Beweise antreffen, die sich in mo- 
dernen Lehrbuchern finden. Neben den Satzen muss 
Euklid hier wie in der ebenen Geometric Konstruktionen 
mitnehmen, da durch diese die notwendigen Beweise fur 
die Existenz der betreffenden Figuren gefuhrt werden. 
Da Konstruktionen durch Ebenen nicht in der Weise vor- 
bereitet sind wie Konstruktionen durch Geraden es in 
den Postulaten des ersten Buches waren, so werden die 
Konstruktionen so weit moglich auf planimetrische zuriick- 
gefiihrt. So wird eine Senkrechte auf eine Ebene von 
einem Punkte A ausserhalb dieser dadurch in 1 1 gefallt, 
dass man zuerst von A eine Senkrechte A D an eine be- 
liebige Gerade B C der Ebene zieht und dann von A 
eine Senkrechte auf diejenige Gerade der Ebene, die im 
Fusspunkte D der ersten Senkrechten senkrecht auf B C 
steht. In 12 erhalt man die Senkrechte in einem Punkte 
einer Ebene dadurch, dass man zuerst von einem ausser 
halb liegenden Punkte eine Senkrechte auf die Ebene 
fallt und dann zu dieser eine Parallele durch den gegebe- 
nen Punkt zieht. 

Besonders werden solche Satze mitgenommen, die 
spater Anwendung finden konnen bei Untersuchungen 
und Konstruktionen von Parallelepipeden und Polyedern, 
so in 20 und 21 die bekannten Satze iiber die Seiten 
einer dreiseitigen oder einer beliebigen konvexen Ecke. 


19. Stereometrie; Euklid XI und XIII. 


163 


Demnachst wird die Konstruktion einer dreiseitigen Ecke 
mit gegebenen Seiten in 22 vorbereitet und in 23 aus- 
gefuhrt. Das geschieht dadurch, dass man auf den Schen- 
keln dieser Winkel gleiche Stiicke abschneidet, dann aus 
den Seiten, die in den so entstandenen gleichschenkeligen 
Dreiecken diesen Winkeln gegeniiberliegen, ein Dreieck 
konstruiert und um dieses Dreieck einen Kreis beschreibt; 
der Mittelpunkt dieses Kreises ist dann die Projektion 
des Scheitelpunktes der gesuchten Ecke. Die Moglichkeit 
der Konstruktion, wenn die Seiten den in 20 und 21 
gestellten Bedingungen geniigen, wird sorgfaltig bewiesen 
und dadurch dargethan, dass diese Bedingungen ausrei- 
chend sind. 

Im iibrigen handelt das Buch namentlich von Pa- 
rallelepiden und von den Verhaltnissen zwischen den 
Grossen von solchen, und schliesst mit der Bestimmung 
des Inhaltes eines dreiseitigen Prismas. Die Beweise f in 
die Inhaltsbestimmungen leiden iibrigens unter dem Mangel 
in den geometrischen Voraussetzungen iiber stereometrische 
Grossen, den wir friiher (S. 130) besprochen haben. 

Im 12ten Buche kommt unter anderem die Bestim 
mung des Inhaltes einer Pyramide vor, iiber die wir spater 
in Verbindung mit den iibrigen Bestimmungen, die im 
12ten Buche mittels des Exhaustionsbeweises ausgefuhrt 
werden, genauer berichten wollen. Die iibrige Fortsetzung 
ler Stereometrie folgt im 13ten Buch, das die Bestimmung 
ler 5 regelmassigen Korper enthalt, sowie die Bestimmung 
ler Grosse ihrer Kanten, wenn der Durchmesser der um- 
?hriebenen Kugel gegeben is?. Hierzu sind zunachst 
inige geometrisch-algebraische Hiilfssatze erforderlich, so- 
tie eine volLstandigere Bestimmung der Seiten regularer 
5 olygone als diejenige ist, die die Konstruktion der Poly- 
&gt;ne im 4ten Buch unmittelbar giebt. 

11* 


164 Die griechische Mathematik: 

Die ersten Satze lassen sich in der Zeichensprache 
der jetzigen Algebra folgendermassen ausdriicken: Wenn 
x und y die Abschnitte der stetig geteilten Strecke a sind, 
und x &gt; y, so ist 

1. x -{-- = -/5 (2 ist die Urnkehrung des Satzes 1.) 

3- I + HfVi 

4. a 2 -f-^ 2 = 3a? 2 

5. a 2 == ^( a _f_^ 

Hieraus wird in 6 geschlossen, dass x und y unter 
die Art von irrationalen Grossen gehoren, die im lOten 
Buche den Namen Apotomen erhalten haben. 

Darauf folgen einige Satze iiber die Seiten regelmas- 
siger Fiinfecke, Sechsecke und Zehnecke. Unter diesen 
ist in 10 ein eleganter Beweis dafiir beachtenswert, dass 
von den drei genannten Vielecksseiten die erste Hypote 
nuse, die beiden anderen Katheten eines rechtwinkeligen 
Dreiecks sind. In 11 wird dann auf Grundlage geome- 
trischer Betrachtungen eine Berechnung der Fiinfecksseite 
vorgenommen, wenn der Durchmesser d des umbeschriebe- 
nen Kreises gegeben ist. Euklids eigene Bestinimung 
fiihrt geradezu dahin, dass die Seite auf die Weise be- 
rechnet werden muss, die wir durch den Ausdruck 

-^ I/ -/5 angeben, aber da Euklid die Mittel 

fehlen einen solchen Ausdruck aufzustellen, so begniigt 
er sich damit den Satz auszusprechen, dass die Fiinfecks 
seite, wenn d rational ist, irrational wird von der Form, 
die er im lOten Buche kleinere Irrationale genannt 
hat, und seine wirkliche Bestimmung als einen Beweis 
fur diese Behauptung zu gestalten. Dass der Beweis so 


19. Stereometrie; Euklid XI und XIII. 165 

weitlaufig wird, beruht darauf, dass ausdrucklich nach- 
gewiesen werden muss, dass die doppelte Irrationalitat 
sich nicht aufheben lasst, denn in solchem Falle wurde 
die irrationale Grosse zu einer anderen Klasse gehoren. 

In 12 wird die Dreiecksseite bestimmt, und in 13 
wird ein regulares Tetraeder konstruiert und gezeigt, dass 
die Kante k gleich d V| ist, wenn d den Durchmesser 
der umbeschriebenen Kugel bedeutet. 

In 14 wird ein regulares Oktaeder konstruiert und 
nachgewiesen, dass k=d}/^. 

In 15 wird ein regulares Hexaeder konstruiert und 
nachgewiesen, dass k = d^^. 

In 16 wird ein regulares Ikosaeder konstruiert und 
durch Ausfuhrung der wirklichen Berechnung gezeigt, dass 
die Kante eine kleinere Irrationale ist. 

In 17 wird ein regulares Dodekaeder konstruiert und 
durch Ausfuhrung der wirklichen Berechnung bewiesen, 
dass seine Kante unter die irrationalen Grossen gehort, 
die Apotomen genannt werden. 

18 zeigt an einer und derselben Figur die Konstruk- 
tionen der verschiedenen Kanten. Diese Figur wird be- 
nutzt um sie unter einander zu vergleichen. 

Die Konstruktionen zeigen, dass die 5 regularen 
Polyeder wirklich existieren. Im Schlusssatze des Buches 
wird der Beweis hinzugefiigt, dass sie die einzig mog- 
lichen sind. 

Die meisten Ausgaben von Euklid enthalten noch 
ein sogenanntes 14tesBuch, das von dem etwas spateren 
[athematiker Hypsikles herruhrt, und ein gewiss viel 
jiingeres 15tes Buch. Man hat sie als Anhange zum 
luklid aufgefasst, weil sie ebenso wie dessen letztes 
5uch von regularen Polyedern handeln. Das Buch des 
iypsikles ist in der That eine weitergehende Behand- 
lung dieses Gegenstandes. Als Beispiel fur die darin 


Die griechische Mathematik: 

enthaltenen Satze mag der angefiihrt werden, dass die 
um die Seitenflachen ernes regularen Ikosaeders und Do- 
dekaeders beschriebenen Kreise gleich gross werden, wenn 
die beiden Polyeder in dieselbe Kugel beschrieben sind. 
Als Specialuntersuchung gehort dies Buch eigentlich gar 
nicht unter die Elemente, aber es ist ein hiibsches Bei- 
spiel fiir die Untersuchungen, mit denen sich die Mathe- 
matiker der alexandrinischen Zeit beschaftigten. Nach 
der Vorrede bildet es die Fortsetzung ahnlicher Unter 
suchungen, die von dem grossen Geometer Apollo nius 
herriihren. 

In diesem Zusammephange wollen wir auch noch 
eine andere Arbeit nennen, die sich an die Untersuchung 
regularer Polyeder angeschlossen hat, namlieh Archi 
medes Bestimmung von halbregularen Polyedern, 
d. h. von solchen, die von regularen Polygonen verschiedener 
Art begrenzt werden. In einer Arbeit, die verloren ge- 
gangen ist, von der uns aber Pappus berichtet, fand 
Archimedes, dass es 13 solcher Korper giebt. 


20, Der Exhaustionsbeweis; Euklids 12tes Buch. 

Wesentlich dieselben Mittel, durch welche er in der 
Lehre von den Proportionen eine exakte Behandlung auch 
von solchen Grossen erreichte, die sich nur naherungs- 
weise durch rationale Zahlenverhaltnisse bestimmen lassen, 
brachte Eudoxus auch in An wen dung fiir die exakte Be 
stimmung solcher Grossen, die als Grenzwerte fiir eine 
unendliche Annaherung entstehen, und fiir das Operieren 
mit ihnen. Die Methode, die er erfand urn diese Grenz 
werte sicher zu stellen ohne direkten Gebrauch von dem, 
damals von den Mathematikern in den Bann gethanen, 
Unendlichkeitsbegriffe zu machen, hat so bestimmte For- 


20. Der Exhaustionsbeweis ; Euklid XII. 


167 


men, dass sie ihren eigenen Namen verdient. Wir wollen 
den Namen gebrauchen, den man ihr im 17ten Jahr- 
hundert gegeben hat, und sie den Exhaustionsbeweis 
nennen. Dieser wird auf der Voraussetzung aufgebaut, 
die in der 4ten Definition des 5ten Buches aufgestellt ist, 
oder gewohnlich mehr unmittelbar auf dem daraus ab- 
geleiteten Satz 1 des lOten Buches, dass man, wenn 
man von einer Grosse die Halfte oder rnehr als 
die Halfte wegnimmt und diese Operation eine hin- 
reichende Anzahl von Malen wiederholt, schliess- 
lich zu einer Grosse gelangen kann, die kleiner 
ist als irgendwelche gegebene Grosse derselben 
Art. (In der modernen Sprache: Lim a . /5 . y . . . = 0, 
wenn a, ?...&lt;). 

Wir wollen den Exhaustionsbeweis kennen lernen aus 
seiner ersten Anwendung bei Euklid, wo er in XII, 2 
benutzt wird um zu beweisen, dass die Flachen zweier 
Kreise sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser verhalten. 
Im vorhergehenden Satz 1 ist bewiesen, dass ahnliche 
einbeschriebene . Polygone sich wie die Quadrate ihrer 
Durchmesser verhalten. Man kann dann, wenn man sich 
kurz ausdriicken will, sagen, dass der Beweis fiir 2 darin 
besteht, die Kreise als Grenzen fiir solche Polygone zu 
betrachten. Die Zuverlassigkeit dieses Grenziiberganges 
wird durch den Exhaustionsbeweis gewahrleistet. Die 
hierzu dienende Anwendung von X, 1, welche erst im 
Beweise selbst vorkommt, lauft in diesem Falle darauf 
hinaus, dass man in einen Kreis ein Polygon mit so 
vielen Seiten beschreiben kann, dass die Differenz zwischen 
diesem und dem Kreise kleiner wird als irgendwelche 
3gebene Grenze. Die Dreiecke, die man bei einer Ver- 
loppelung der Seitenzahl von den Segmenten abzieht, 
ms denen diese Differenz besteht, sind namlich halb so 


168 Die griechische Mathematik: 

gross wie Rechtecke, die diese Segmente ganz enthalten, 
also selbst grosser als die Halfte der Segmente. 

Um nun, wenn A und B die Kreise, a und b ihre 
Radien sind, zu beweisen, dass 

A:B=a 2 :6 2 , 
nimmt man an, dass 


Um zu prufen, ob es dann moglich ist, dass C &lt; B, 
beschreibt man in A und B ahnliche, regulare Polygone 
A und B* mit so vielen Seiten, dass B B f &lt; B C, 
also B &gt; C. Dann miisste man haben 


das ist aber unmoglich, da A &gt;&gt; A, aber C &lt;C B . 

Der Fall, wo C &gt; B, wircl auf den vorhergehenden 
zurlickgefiihrt, da man aus C &gt; B wiirde ableiten kon- 
nen, dass 

&2 :a * = C:A = B:D, 
wo D &lt; A. 

Es ist klar, dass derselbe Beweis iinmer, wenn vari- 
ierende Grossen A und H die Grenzwerte A und B 
haben, und das Verhaltnis A : B einen konstanten Wert 
hat, benutzt werden kann um darzuthun, dass das Ver 
haltnis A : B denselben Wert hat. Wenn im besonderen 
A = B , so giebt das A = B. Die Alten stellen jedoch 
nicht, so wie man es in der modernen Lehre vom Un- 
endlichen thun wiirde, diesen Satz ein fiir allemal auf, 
denn das wiirde ebensoviel sein, als wenn sie solche Be- 
griffe wie unendliche Annaherung erklaren und dadurch 
anerkennen wollten; vielmehr wiederholen sowohl Eu- 
klid wie spater Archimedes dieselben Beweisformen 
jedes einzelne Mai, wo sich Verwendung dafiir findet. 


20. Der Exhaustionsbeweis; Euklid XII. 


169 


Bereits in Satz 5, in dem bewiesen wird, dass zwei 
dreiseitige Pyramiden von derselben Hohe sich wie die 
Grundflachen verhalten, hat Euklid Gelegenheit die an- 
gefiihrte Beweisfiihrung zu wiederholen, nachdem er in 
3 und 4 bewiesen hat, dass die Voraussetzungen fiir ihre 
Anwendbarkeit vorhanden sind. Das geschieht dadurch, 
dass eine dreiseitige Pyramide, wie in nebenstehender Fi- 
gur, durch die Ebenen EFG, EGIHund E H K, die 


K 


durch die Mitten von 3 oder 4 Kanten gelegt sind, zer- 
legt wird in zwei ihr ahnliche Pyramiden von halb so 
grossen linearen Dimensionen, und in zwei Prismen, von 
denen sich mit Hiilfe der Satze des vorhergehenden Buches 
jigen lasst, dass sie gleich gross sind, und von denen 
das eine dieselbe Hohe und Grundflache hat wie eine 
der kleinen Pyramiden. Teilt man nun wieder jede von 
den kleinen Pyramiden auf dieselbe Weise, und fahrt 


170 Die griechische Mathematik: 

man damit fort, so wird man auf diese Weise als Nahe- 
rungswerte fur die Pyramide die Summe der 2 ersten, 
der 4 folgenden, der 8 folgenden u. s. w. Prismen er- 
halten. Man sieht, dass die Prismen, die man jedesmal, 
wenn man zu einer neuen Annaherung iibergeht, von der 
Pyramide fortnimmt, mehr als die Halfte von dem be- 
tragen, was iibrig bleibt; die beiden kleinen Pyramiden, 
die bei der Teihing einer Pyramide entstehen, sind nam- 
lich kleiner als die beiden Prismen, da sie sich so legen 
lassen, dass sie nur Teile von diesen ausmachen. 

Hat man nun zwei Pyramiden, A mid B, von der- 
selben Hohe, und benutzt man als Naherungswerte fur 
diese die Prismensummen A und B 1 , die dadurch gebildet 
werden, dass man bei beiden Pyramiden gleich weit in 
der Teilung gegangen ist, so kommt es (in 4) nur darauf 
an zu zeigen, dass A : B f gleich dem Verhaltnis zwischen 
den Grundflachen (Fund G) ist. Das ergiebt sich, wenn 
wir fiir die beiden Pyramiden die Summen der beiden 
ersten Prismen u l und v l nennen, die der 4 bei der fol 
genden Teilung entstehenden u% und v 2 , die der 8 nach- 
sten u 3 und v 3 u. s. w., durch den Beweis, dass 

F: G = u 1 : V-L = U 2 :v 2 =u 3 : v 3 . . . = A : B . 

Der Exhaustionsbeweis liefert dann in 5, dass 

A:B=F:G. 

Die Bedeutung des hier benutzten Verfahrens erkennt 
man am besten, wenn man beachtet, dass der Satz 3 die 
Bedingungen liefert, die nach X, 1 gewahrleisten, dass 

A = u l -f- u 2 -|- u 3 -f- u. s. w. bis ins Unendliche. 

Diese Betrachtung ruft den Wunsch hervor, die kon- 
vergente Reihe genauer zu untersuchen. Man sieht nun 
leicht, und teilweise wird das auch von Euklid in XII, 4 
benutzt, dass jedes von den beiden gleich grossen Prismen 


20. Der Exhaustionsbeweis; Euklid XII. 


171 


in u, zweien von den 4 gleich grossen Prismen in u 2 
ahnlich ist, und so fort, woraus sich ergiebt, dass u 2 = 1 u lt 
u 3 = J u 2 u. s. w., oder dass 


i 


0&gt; 


wenn w ein Prism a bedeutet von derselben Hohe und 
Grundflache wie die Pyrarnide P. Fur die Richtigkeit 
dieses Satzes lasst sich leicht ein Exhaustionsbeweis 
fiihreii. 

Dieses Verfahren wendet Euklid allerdings nicht an. 
Wenn wir es nichtsdestoweniger fur wert gehalten haben, 
es hier anzufiihren, wo wir nicht nur die Verfahrungsarten 
Euklids, sondern uberhaupt die der Alten kennen lernen 
wollen, so geschieht das deshalb, weil Archimedes 
wirklich, wie wir bald erwahnen werden, ganz die- 
selbe Summation einer unendlichen Reihe an- 
wendet um die Flache eines Parabelsegmentes zu finden. 
Statt dieser Summation wendet Euklid in Satz 7 
die bekannte Teilung eines dreiseitigen Prismas in drei 
Pyramiden an, um den Inhalt der dreiseitigen Pyramide 
zu finden. Es ist iiberflussig, beim Ubergange zu mehr- 
seitigen Pyramiden, sowie beim Ubergange von Prismen 
und Pyramiden zu Cylindern und Kegeln zu verweilen; 
der letztere wird mit Hiilfe des Exhaustionsbeweises voll- 
zogen. 

Schwieriger ist der in 18 hergestellte Beweis dafiir, 
dass zwei Kugeln sich wie die Kuben der Radien ver- 
halten, denn hier kann man nicht so einfache Naherungs- 
werte bilden wie bei den Kreisflachen. Als Vorbereitung 
lafiir wird die Aufgabe (17) gelost: in eine Kugel ein 
^lyeder zu beschreiben, das eine kleinere koncentrische 
lugel ganz umschliesst. Diese Aufgabe wird folgender- 
mssen gelost. In einen grossten Kreis der grosseren 
Kugel (wir wollen ihn Aquator nennen) wird ein regulares 


172 Die griechische Mathematik : 

Polygon von gerader Seitenzahl (2 n) so beschrieben, dass 
es den in derselben Ebene liegenden grossten Kreis der 
kleineren Kugel ganz umschliesst. Darauf wird in den 
Aquator der grossen Kugel ein regulares Polygon von 
doppelt so vielen Seiten (4 n) beschrieben. Durch dessen 
Ecken und den Pol des Aquators werden neue grosste 
Kreise (Meridiane) gelegt, welche vom Schnittpunkt mit 
dem Aquator an in ebenso viele Teile (4 n) wie der Aquator 
geteilt werden. Die Teilpunkte werden dann Eckpunkte 
des gesuchten Polyeders sein, dessen Seitenflachen Tra 
peze und Dreiecke werden, von denen die Dreiecke um 
die Pole herum liegen. Aus Euklids vollstandigem Be- 
weise geht hervor, dass er diese Losung hat geben wollen, 
wenn es auch nicht diese, sondern eine andere unrichtige 
Losung ist, die in dem nun vorliegenden Texte dem Be- 
weise vorangeht. 

Hier hat man allerdings nicht eine Reihe Naherungs- 
werte fiir die Kugeln, aber der Exhaustionsbeweis lasst 
sich dennoch wie friiher fuhren. Sind namlich A und B 
die gegebenen Kugeln, a und b ihre Radien, und ist C 
eine zu B koncentrische Kugel bestimmt durch die Glei- 
chung 

A: C=a 3 :6 3 , 

so kann man, wenn C &lt; B, in B ein Polyeder B be- 
schreiben, das C ganz umschliesst, und in A ein diesem 
ahnliches Polyeder A . Diese werden dann ebenso be- 
nutzt wie die Grossen, die wir in dem friiher gefiihrten 
Exhaustionsbeweise A und B genannt haben. 

Um zu voller Klarheit iiber den logischen Wert des 
Exhaustionsbeweises zu gelangen, wird es niitzlich sein, 
ihn mit modernen Arten der Betrachtung zu vergleichen. 
Wenn auch die Alten solche Ausdriicke wie Grenzwert 
einer unencllichen Annaherung durchaus vermeiden, so 


20. Der Exhaustionsbeweis ; Euklid XII. 


173 


sind es dennoch, wie schon angefiihrt, in der That solche 
Werte, die man durch den Exhaustionsbeweis bestimmt. 
Es ist sogar der exakte Grenzbegriff, der der ganzen 
Untersuchung zu Grunde gelegt wird, da verlangt wird, 
dass die (endliche) Annaherung so weit soil gebracht 
werden konnen, dass die Abweichung des Naherungswertes 
vorn Grenzwerte kleiner wird als jede gegebene Grosse. 
Der Exhaustionsbeweis ist ein exakter, antithetischer Be- 
weis fur die Eindeutigkeit dieser Bestimmungsart, oder 
dafiir, dass zwei Grossen, die auf diese Weise Grenzen 
fiir dieselben Naherungswerte werden, gleich gross sind. 
Er ist ein notwendiges Glied in jeder vollstandigen Infini- 
tesimaluntersuchung, und zudem ist er nichts anderes als 
ein solches Glied, weshalb man sagen kann, dass da, wo 
es einen Exhaustionsbeweis giebt, auch eine Infinitesimal- 
untersuchung vorhanden ist, namlich die, die zu dem 
Resultat fiihrt, dessen Richtigkeit hinterher bewiesen 
wird. 

Die Innnitesimaluntersuchungen, die man bei den 
alten Autoren da findet, wo sie den Exhaustionsbeweis be- 
nutzt haben, lassen sich auch auf bestimmte von den infmi- 
tesimalen Methoden zuruckfiihren, die man jetzt anwendet. 
So kann man sagen, dass nicht nur die Pyramiden bei 
Euklid XII, 5 und das Parabelsegment bei Archimedes, 
sondern auch die Kreise im Satze XII, 2 durch konver- 
gente Reihen bestimmt sind, und Archimedes benutzt, 
wie wir sehen werden, solche Summen von unendlich 
vielen unendlich kleinen Grossen, die wir jetzt bestimmte 
Integrale nennen. Der Exhaustionsbeweis macht die An- 

rendung von diesen vollkommen exakt. Die Alten gehen 
jedoch in den iibeiiieferten Schriften so ganz darin auf 

liese Exaktheit in jedem einzelnen Falle sicher zu 
stellen, dass kein Raum dafiir bleibt diejenigen Methoden, 
die sie benutzen um die Resultate zu fin den, iiber den 


174 Die griechische Mathematik: 

augenblicklichen Bedarf hinaus zu entwickeln und andere 
neue Methoden zu bilden. 

Als im 17ten Jahrhundert die Infmitesimalunter- 
suchungen namentlich im Anschluss an Archimedes 
Schriften wieder aufgenommen wurden, kam es haupt- 
sachlich darauf an, nicht nur seine Begriindung der Re- 
sultate zu verstehen, sondern zugleich zu sehen, wie diese 
und neue sich fin den liessen, also Methoden hierfiir zu 
entwickeln. Man fuhr jedoch fort die nach und nach 
gewonnenen Resultate zum grossen Teil entweder durch 
wiederholte Anwendungen des Exhaustionsbeweises sicher 
zu stellen, oder ihnen doch Zutrauen zu verschaffen durch 
die Bemerkung, dass dieser Beweis sich wiirde benutzen 
lassen. So verfuhr z. B. Fermat, und man fuhr sogar 
darnit fort, nachdem die Differential- und Integralrech- 
nung durch Newton und Leibnitz begriindet worden 
war. Als man sich allmahlich mehr in die Benutzung 
der Methode zur Auffindung neuer Resultate vertieft und 
sich im Umgehen mit unendlich kleinen Grossen Routine 
erworben hatte, vergass man jedoch oft die logische Sicher- 
stellung, die der Exhaustionsbeweis zu geben bestimmt 
war. Man betrachtete unendlich kleine Grossen als hin- 
reichend definiert durch ihren Namen, und es konnte 
wohl vorkommen, dass einer sich soweit vergass, eine 
Grosse als durch eine unendliche Reihe definiert zu be- 
trachten, ohne sich von ihrer Konvergenz iiberzeugt zu 
haben. 

Erst in unserem Jahrhundert haben die Forderungen 
nach Exaktheit, denen die Alten durch den Exhaustions 
beweis geniigten, wieder voile Anerkennung gefunden. 
Man erfiillt sie eben dadurch, dass man fur die Existenz 
und Eindeutigkeit der Grenzwerte solche Beweise fiihrt, 
die im wesentlichen mit dem Exhaustion sbeweise zu- 
sammenfallen. Nur fiihrt man diesen jetzt - - und dass 


20. Der Exhaustionsbeweis; Euklid XII. 


175 


man das kann, deuteten wir bereits bei der ersten An- 
wendung des Exhaustionsbeweises an ein fiir alle- 
mal oder wendet ihn doch nur an bei der Behandlung 
so allgemeiner BegrifTe, wie es die Summe einer unend- 
lichen Reihe oder ein bestimmtes Integral sind, wahrend 
man ihn im Altertum fiir jede einzelne Anwendung wieder- 
holte. 

Eine nicht unwesentliche Formverschiedenheit, die 
allerdings die Stringenz der Schlusse unberiihrt lasst, aber 
von dem verschiedenen Ausgangspunkt herriihrt, ist jedoch 
vorhanden zwischen der Behandlung dieser Fragen im 
Altertum und in der Gegenwart. Sie trat bereits hervor, 
als im allgemeinen die Rede war von der Kontinuitat der 
Grossen. Das Vorhandensein dieser wurde von den Alten 
unmittelbar vorausgesetzt durch die geometrisch dar- 
gestellten Grossen in Euklids vier ersten Biichern, und 
erst hinterher lernt man im 5ten Buche arithmetische 
Mittel kennen, die sich auch benutzen lassen um Grossen 
zu vergleichen, die nicht kommensurabel sind. Nun da- 
gegen stellt man vielmehr diese arithmetische Grossen- 
bestimmung an die Spitze und wendet sie erst nachher 
an auf die mehr empirischen, kontinuierlich variierenden 
Grossen. Ebenso wird man jetzt oft den konvergenten 
arithmetischen Naherungsprocess, durch den die Flache 
einer ebenen Figur, z. B. eines Kreises, oder ein Volumen, 
z. B. einer Pyramide, bestimmt wird, voranstellen und 
als Definition fiir Flacheninhalt oder Volumen benutzen. 
Die Alten dagegen betrachteten jede ebene Flache und 
jedes Volumen als definiert durch die allgemeinen Grossen- 
iome, die wir in Euklids erstem Buche kennen gelernt 
laben. So wurde der Satz, class der Kreis grosser ist 
Is jedes einbeschriebene und kleiner als jedes umbeschrie- 
me Polygon, eine unmittelbare Folge des 8ten Axiomes. 
LUS den Axiomen des ersten Buches wurden die Nahe- 


176 Die griechische Mathematik: 

rungsprocesse abgeleitet, die damals fur die Bestimmungen 
angewandt wurden und jetzt fur die Definitionen ange- 
wandt werden. Die Ubereinstimmung besteht darin, dass 
man damals ebenso wie jetzt sichere Beweise fiir die 
Kon verge nz dieser Processe verlangte. 

Die allgemeinen Grossenaxiome reichen indessen nicht 
aus, wenn es darauf ankommt die Lange einer krummen 
Linie oder den. Inhalt einer krummen Flache zu bestim- 
men. Deshalb halt man es jetzt fiir besonders notwendig, 
diese BegrifTe durch eben den Naherungsprocess zu defi- 
nieren, durch den die Grossen faktisch bestimmt werden. 
Es zeigt sich, dass wenigstens Archimedes fiir die hier 
beruhrte Schwierigkeit ein offenes Auge gehabt hat. Er 
sucht ihr nicht abzuhelfen durch formelle Definitionen 
der genannten Begriffe, sondern statt dessen stellt er nach 
Weise der Alten ausdrucklich die Voraussetzungen auf 
- postuliert sie , die er ausser den allgemeinen 
Voraussetzungen iiber Grossen in den Naherungsprocessen, 
wodurch die Grossen bestimmt werden, und in den Be- 
weisen fiir die Konvergenz dieser Processe anwendet. 
Diese Voraussetzungen werden als Postulate zu seiner 
Schrift iiber die Kugel und den Cylinder aufgestellt. Sie 
sagen aus, dass 

1) die gerade Linie der kurzeste Weg zwischen zwei 
Punkten ist; 

2) dass von zwei Linien zwischen denselben Punkten, 
die ihre Konvexitat nach derselben Seite wenden, die 
aussere die grossere ist; 

3) dass eine ebene Flache kleiner ist als eine krumme 
von demselben Umkreis; 

4) dass von zwei krummen Flachen mit demselben 
(ebenen) Umkreis, die ihre Konvexitat nach derselben 
Seite wenden, die aussere die grossere ist. 


20. Der Exhaustionsbeweis ; Euklid XII. 177 

Es 1st offenbar ein Missverstandnis, wenn man zu- 
weilen in dem ersten von diesen Postulaten aus seinem 
^usammenhang herausgerissen eine Definition der 
jraden Linie hat sehen wollen. Vielmehr dient dieses 
und das folgende zur Definition der Lange einer krummen 
Linie, die beiden letzten zur Definition des Inhaltes einer 
krummen Flache. Dass diese indirekten Definitionen 
ausreichend sind, zeigt sich dadurch, dass sie sich 
.wirklich fiir die Bestimmungen verwerten lassen. Dagegen 
enthalten 2 und 4, die sicheiiich nieht ganz entbehrt 
werden konnten, etwas mehr als streng notwendig ist. 

Nachdem wir nun auch hier die allgemeinen Prin- 
cipien kennen gelernt haben, die Archimedes benutzte 
um seine infinitesimalen Bestimmungen mittels des Ex- 
haustionsbeweises sicher zu stellen, konnen wir uns im 
Folgenden damit begniigen die Zerlegungen, wodurch die 
Bestimmungen ausgefiihrt wurden, und die dadurch er- 
reichten Resultate anzugeben, ohne dass es notig ware 
auf die Einzelheiten der strengen Beweisfiihrung einzu- 
gehen. 


11. Infinitesimale Bestimmungen bei Archimedes, 

Obgleich die ausserordentlichen Verdienste des Ar 
chimedes sich auch auf anderen Gebieten zeigen, die 
im Teil schon beriihrt sind oder spater erwahnt werden 
&gt;llen, so tritt uns seine schopferische Kraft dennoch vor 
illem entgegen sowohl in den infinitesimalen Unter- 
luchungen, fiir die Eudoxus schon eine so zuverlas- 
dge Grundlage geschafTen hatte, als auch in der Lehre 
om Gleichgewicht, von der man vor Archimedes 
keine exakte Behandlung kennt. In diesen Untersuchungen 
hat er vielfach Gelegenheit sich ausser mit der elemen- 

12 


178 Die griechische Mathematik: 

taren Mathematik auch mit der Lehre von den Kegel- 
schnitten vertraut zu zeigen, so vertraut, dass er sogar 
Schnitte an solchen Flachen behandeln kann, die durch 
Umdrehung von Kegelschnitten entstanden sind. Da wir 
jedoch iiber die griechische Lehre von den Kegelschnitten 
am liebsten im Zusammenhange reden wollen, so wollen 
wir in unserer sonstigen Besprechimg von Archimedes 
Arbeiten nur jedesmal die Eigenschaften der Kegelschnitte 
erwahnen, die er gerade benutzt, ohne vorlaufig zu unter-. 
suchen, woher er sie kennt. 

Wir wollen unsere Mitteilungen iiber Archimedes 
infinitesimals Untersuchungen mit der. Schrift iiber 
die Quadratur der Para be 1 beginnen, weil wir in dieser 
Schrift aasnahmsweise erfahren, wie Archimedes von 
Anfang an zu seinem Resultat gelangt ist, und weil dies 
Resultat naturgemass den Anstoss zu den damit verwandten 
Untersuchungen in anderen Schriften gegeben haben kann. 

Archimedes nennt den Weg, auf dem er zuerst die 
Flache des Segmentes gefunden hat, das von einem Pa- 
rabelbogen und seiner Sehne begrenzt wird, mechanisch, 
weil er sich auf die Satze von statischen Momenten und 
vom Schwerpunkt des Dreiecks stiitzt, die in seinem Buche 
iiber das Gleichgewicht ebener Figuren, das spater be- 
sprochen werden soil, dargestellt warden. Die Untersuchung 
lasst sich kurz folgendermassen wiedergeben: Nimmt man 
die Sehne A C (deren Lange wir a nennen wollen) zur 
Abscissenaxe und den durch den einen Endpunkt A der 
Sehne gehenden Parabeldurchmesser A G zur Ordinatenaxe, 
bezeichnen ferner x und y die Koordinaten eines Punktes 
E der Parabel, rj l die der Abscisse x entsprechende Ordi- 
nate ZL der Tangente CG im anderen Endpunkt der 
Sehne, dann ist was Archimedes zuerst aus den da- 
mals bekannten Satzen iiber die Parabel ableitet - 
a . if = x . y l . 


21. Infinitesimale Bestimmungen bei Archimedes. 179 

Die Ordinate y^ hat deshalb in der Lage, die sie wirklich 
einnimmt, dasselbe Moment mit Bezug auf die Linie A G, 
wie die Ordinate y haben wiirde, wenn man sie parallel 


rnit sich selbst nach C verlegte. Durch eine Teilung der 
Figur in Streifen mittels Parallelen zur Ordinatenaxe und 
durch eine Anwendung des Exhaustionsbeweises, die am 
ehesten einer vollstandigen Begriindung des Satzes ent- 
sprechen wiirde, dass 


a\ ydx = ( y l xdx, 
y o */ o 


&gt;eweist Archimedes dann, dass das Moment des in C 
ingebrachten ganzen Parabelsegmentes mit Bezug auf A G 
lasselbe ist wie das Moment des Dreiecks A C G in seiner 
latiirlichen Lage. Da nun der Abstand des Schwerpunktes 
les Dreiecks A C G von A G ein Drittel von demjenigen 
les Punktes C ist, so wird das Segment ^ vom Dreieck 

12* 


180 


Die griechische Mathematik: 


A C G oder des Dreiecks, das von der Sehne und den 
Tangenten in ihren Endpunkten begrenzt wird. [Bei der 
genaueren Ausfuhrung hiervon denkt Archimedes sich 
die Parabel in dem an der en Endpunkt eines gleicharmigen 
Hebels mit dem Unterstiitzungspunkte in A aufgehangt]. 
Ungeachtet der strengen Durchfiihrung dieses Beweises 
fiigt Archimedes dennoch einen ausserordentlich hub- 
schen geometrischen Beweis hinzu. 1st A E B F C das 
Segment und BD der Durchmesser, der die Sehne A C 
htilbiert, so wird zuerst das Dreieck ABC in das gegebene 
Segment beschrieben, darauf die Dreiecke A E B und 


BFC in die abgeschnittenen Segmente, entsprechende 
Dreiecke in die neuen Segmente u. s. w. Dann ergiebt 
sich leicht, dass jedes Dreieck (wie A E B) in einer neuen 
Reihe von Dreiecken gleich | eines Dreiecks (wie ABC) 
in der vorhergehenden Keihe ist. Da in jeder neuen 
Reihe doppelt so viele Dreiecke wie in der vorhergehenden 
sind, so erhalt man 

Segment ABC = (l + l+ (\Y + ..*.] A A B C 


Der Beweis wird - - wie in unserer Besprechung von Eu- 
klids 12tem Buche beriihrt wurde als ein Exhaustion 
beweis durchgefiihrt. 


21. Infinitesimale Bestimmungen bei Archimedes. 181 

Wahrend Archimedes geometrische Quadratur der 
Parabel faktisch auf der Summation einer unendlichen 
Reihe beruht, haben wir in unserer Wiedergabe der me- 
chanischen Bestimmung das Integralzeichen benutzt urn 
eine Zerlegung in Stiicke, die samtlich gleichzeitig bis ins 
Unendliche abnehmen, zu bezeichnen. Archimedes Be- 
handlung kann hier jedoch nicht eine Integration genannt 
werden, sie dient im Gegenteil dazu, eine Integration zu 
vermeiden, da sie iiur die vorliegende Untersuchung auf 
eine andere zuriickfiihrt, deren Resultat vorher schon ohne 
Integration gefunden war, namlich auf die Bestimmung 
des Schwerpunktes eines Dreiecks. 

Von wirklichen Integrationen lasst sich dagegen 
reden in den Schriften iiber die Spiral en und iiber 
Konoide und Spharoide. Archimedes stellt dort 
namlich Satze auf, die genau unseren Formeln 


f C x dx = 

*J 


und 


entsprechen, und wendet diese auf unter sich verschiedene 
geometrische Bestimmungen an, die man jetzt mit 
Ausnahme der bei jeder einzelnen Frage wiederholten 
Anwendung des Exhaustionsbeweises auf dieselbe Weise 
mitHiilfe der angefiihrten Integralformeln ausfiihren wiirde. 
Diese Satze, von denen der erste in der Einleitung zu der 
Schrift iiber Konoide und Spharoide angefiihrt wird, der 
zweite in einem Zusatz zu Satz 10 iiber die Spiralen, 
sind folgende: 

r 


h* &lt; 


(2 /O 2 + (8 


182 Die griechische Mathematik: 

Der erste ergiebt sich unmittelbar durch eine Summa 
tion der Glieder einer arithmetischen Reihe (Differenz- 
reihe), die sicher schon lange bekannt gewesen 1st. Der 
zweite beruht auf einer im Hauptsatz 10 ausgefiihrten 
Summation der betreffenden Reihe. Archimedes findet, 
dass 

3 [h 2 + (2 ti)* + (3 h)* + . . . + (n /O 2 ] = 
(TI + 1) (n h) 2 + h (h + 2 h + 3 h -f . . . + n h). 

Der Beweis, in dem h, 2 h u. s. w. durch Strecken 
dargestellt werden, lasst sich, wenn wir h als Einheit be- 
trachten und die gesuchte Summe der Quadrate s nennen, 
folgendermassen wiedergeben: 

(n-f l)n = n* + [(!)+ 1] + [(n 2) + 2] 2 + . . . 

+ [2 + (n 2)] +. [1 + (n !)] + n* 

==2.*+2.(n l)-f 4(n 2)+6.(n 3)-f ... 

+ 2(n l).l. 

Addiert man hierzu 

(n + n 1 + n 2 -f . . . + 1), 

so erhalt man 

2 s + n -f 3 . (n 1) + 5 . (n 2) -f . . . + (2 n 1) . 1. 

Dass diese Grosse genau gleich 3 s ist, geht aus der 
Summation der folgenden Gleichungen hervor, deren Rich- 
tigkeit aus der Formel fiir die Summe der Glieder einer 
Differenzreihe folgt: 

n^=:n-{-2(n l + n 2 + . . . + 1) 

(n l)8=n l + 2(n 2 + n 3.+ .-. + 1) 

(n 2) 2 = n 2 4- 2 (n 3 -f- n 4 -f- . . . -f 1) 


Diese Summation ist ein wertvolles algebraisches 
Nebenprodukt von Archimedes Untersuchung. 


21. Infmitesimale Bestimmungen bei Archimedes. 183 

Die Anwendung, die Archimedes hiervon in seiner 
Schrift liber die Spiralen macht, 1st die Berechnung eines 
Sektors einer archimedischen Spirale r = a . $. Die Flache 
eines solchen ist 


/#! ! P 

I r 2 d & = --- I 
J # 2 a J 


r 

wird also durch die letzte der beiden angefiihrten Inte- 
grationen gef unden. Archimedes bestimmt das Ver- 
hiiltnis zu einem Kreissektor mit dem Radius r, und 
erreicht dies durch Teilung des Winkels f & l $ und 
dadurch zugleich der Sektoren, durch Konstruktion von 
Kreissektoren, die von Spiralsektoren eingeschlossen werden 
und diese umschliessen, durch Vergleichung mit diesen 
Kreissektoren, und durch Anwendung des Exhaustions- 
beweises. 

Als Konoide werden teils Umdrehungsparaboloide 
bezeichnet, teils Umdrehungshyperboloide mit zwei Netzen, 
von denen jedoch nur das eine benutzt wird. Spharoide 
sind Umdrehungsellipsoide. In der Schrift iiber diese 
Arten von Flachen bestimmt Archimedes das Volumen 
von Segmenten, die von einer solchen Flache und einer 
beliebigen Ebene begrenzt werden. Archimedes ist im- 
stande die BeschafTenheit eines willkiirlichen ebenen 
Schnittes an einer solchen Flaohe zu ermitteln und seine 
Axen mit Hiilfe der Abschnitte zu bestimmen, die seine 
Ebene auf dem zugehorigen Durchmesser der Flache ab- 
schneidet. Er hat ferner die Flache einer Ellipse gef unden, 
was leicht durch Vergleichung von Figuren geschieht, die 
in die Ellipse und in einen Kreis iiber ihrer einen Axe 
ils Durchmesser beschrieben werden. Die Volumen bestim- 
mungen werden dann auf eben die Integrationen zuriick- 
;fiihrt, die Archimedes, wie wir gesehen haben, in 
einer anderen Form kannte. 


184 Die griechische Mathematik: 

Die beiden angefiihrten Schriften sind ausser durch 
die darin enthaltenen Flachen- und Volumenbestimmungen 
auch noch in anderer Beziehung merkwiirdig. So liefert 
die Schrift iiber Konoide und Spharoide, wie sich 
schon aus dem Angefiihrten ergiebt, uns Aufklarungen 
iiber Archimedes Bekanntschaft mit den Kegelschnitten. 
In der Schrift iiber die Spiralen finden sich einige 
friiher erwahnte Einschiebungen. Zur Hauptaufgabe 
dieser Schrift gehort ausser der Flachenbestimrnung auch 
noch eine andere infinitesimale Aufgabe, namlich die Be- 
stimmung von Tangenten an die Spiralen. Dazu benutzt 
Archimedes, selbstverstandlich unter der gebiihrenden 
Kontrole mittels des Exhaustionsbeweises, dasselbe infini 
tesimale Dreieck, das jetzt fiir die Bestimmung von Tan 
genten an Kurven benutzt wird, die in Polar-Koordinaten 
ausgedriickt sind. Als Resultat ergiebt sich, dass die 
Polarsubtangente r . $ wird. Die Subtangenten in den 
Endpunkten der verschiedenen ganzen Umlaufe der Spi 
ralen erhielten -- wie wir friiher (S. 78) beriihrt haben - 
fiir Archimedes ein besonderes Interesss dadurch, dass 
sie geradlinige Darstellungen von Kreisperipherien sind. 

Die wichtigste integrationsahnliche Bestimmung, die 
wir Archimedes verdanken, diirfte jedoch seine Bestim 
mung der Kugeloberflache sein. Das Verfahren 1st, wenn 
auch in einer anderen Form, ungefahr dasselbe, das in 
unseren elementaren Lehrbuchern benutzt wird, und fiihrt, 
in Ubereinstimmung mit dem Titel des Werkes, nament- 
lich dahin, dass Kugelzonen und die entsprechenden 
Stiicke der Mantelflache des umbeschriebenen Cylinders 
gleich gross sind. Von da aus gelangt man jedoch leicht 
zu anderen Bestimmungsformen und gleichfalls zu der 
Bestimmung des Volumens von Kugel, Sektor und Seg 
ment. Da Archimedes ebensowenig wie Euklid irgend- 


21. Infinitesimals Bestimmungen bei Archimedes. 185 

welche Einheit einfiihrt, so bestehen diese letzten Bestim 
mungen in der Konstruktion von Cylindern und Kegeln, 
die den gesuchten Raurngrossen gleich sind. 

Im zweiten Buch derselben Schrift werden (ausser 
der eben genannten Bestimmung der Volumina von Seg- 
menten) verschiedene Aufgaben liber die gesuchten Raum- 
grossen behandelt, darunter diejenige, durch eine Ebene 
eine Kugel in zwei Segmente zu teilen, die in einem ge- 
gebenen Verhi-ltnis stehen. Die Losung hangt wie bekannt 
von einer Gleichung dritten Grades ab. Auf eine solche 
fiihrt auch Archimedes die Aufgabe zuriick, indem er 
ihr folgende Form giebt: Eine Strecke D Z, auf der die 
Punkte B und T gegeben sind, so durch einen Punkt X 
zu teilen, dass 

DB*:DX*=XZ: T Z. 

D B ist hier der Durchmesser 2 r der Kugel, auf dessen 
Verlangerung BZ=r abgetragen ist, DX ist die Hdhe 
des einen Segmentes, und wenn dieses sich zu dem 
anderen verhalten soil wie m:n, so ist 

TZ=- M r. 

m -\- n 

Archimedes verspricht diese Gleichung spater zu 
losen und hebt fur den Augenblick nur hervor, dass der 
Bedingung fiir die Moglichkeit, welche die Gleichung ver- 
langt, genugt wird durch die vorliegende Aufgabe iiber 
die Kugel. Ein Grand fiir diesen Aufschub - - der leider 
dazu gefiihrt hat, dass die Auflosung in dem vorliegenden 
Text fehlt mag darin gelegen haben, dass Archimedes 
in demselben Buche mehrfach Verwendung fiir dieselbe 
Gleichung hatte. Der letzte (9te) Satz des Buches sagt 
namlich aus, dass das grosste von den Kugelsegmenten, 
die eine gegebene krumme Oberflache haben, eine Halb- 


Die griechische Mathematik; 

kugel 1st. Der Beweis, der hierfiir gefiihrt wird, der 
iibrigens in dem iiberlieferten Text nur unvollstandig 1st, 
lasst deutlich erkennen, dass er erst gemacht 1st, nachdem 
das Resultat auf anderem Wege gefunden worden war. 
Eine wirkliche Ableitung des genannten Satzes hatte da- 
gegen einen natiirlichen Platz in demselben Zusatz finden 
konnen, den Archimedes mit Bezug auf die Kugel- 
teilung versprochen hatte. Bin solcher Satz iiber ein 
Maximum, wie dieser 9te, kommt namlich stets bei den 
Griechen als Diorismus zu einer Aufgabe vor. Dieser 
hat im gegenwartigen Falle darauf ausgehen miissen ein 
Kugelsegment zu finden, dessen Volumen und krumme 
Oberflache gegeben waren, und diese Aufgabe lasst sich 
eben mittels der oben genannten Gleichung losen. 

Nun findet sich wie gesagt der versprochene Zusatz 
nicht in dem iiberlieferten Text selbst, aber man nimnit 
an, dass er in einem anderen alten Manuskript enthalten 
gewesen ist, das von Eutokius, dem Kommentator des 
Archimedes, gefunden und im Auszuge wiedergegeben 
ist. In diesem Manuskript wird die Gleichung des Ar 
chimedes mit Hiilfe von Kegelschnitten gelost, und aus 
der Gleichung werden solche Bestimmungen der Moglich- 
keit abgeleitet, dass ihre Anwendung auf die Aufgabe, 
ein Kugelsegment von gegebenem Volumen und gegebener 
krummer Oberflache zu finden unmittelbar den Satz 9 
ergeben wiirde. Eben diese Losung soil spater mitgeteilt 
werden, da sie eines der besten iiberlieferten Beispiele 
dafiir ist, wie die Alten die sogenannten raumlichen 
Aufgaben behandelten. 

Dass die Bestimmung der Kugeloberflache in reichem 
Maasse Veranlassung zu weiteren Untersuchungen giebt, 
hat sich also sofort in Archimedes Schrift zu erkennen 
gegeben. Anwendungen in der Praxis oder auf andere 
Wissenschaften, wie die Geographic, liegen auch nahe. 


21. Infinitesimale Bestimmungen bei Archimedes. 187 

Diese Umstande mogen dazu beigetragen haben, dass 
Archimedes diese Bestimmung unter seinen Arbeiten 
am hochsten stellte. Ein geniigender Grund hierfiir lag 
jedoch schon in dem Umstande, dass es ihm gelungen 
war, den Inhalt einer nicht abwickelbaren krummen 
Flache zu einer Zeit zu berechnen, wo sogar die Berech- 
nung von ebenen Flachen und von Ranminhalten so 
wenig entwickelt war. Und wie wenige Flachen kennen 
wir nicht heutigen Tages, deren Inhalte sich auf leidlich 
iibersichtliche Weise darstellen lassen! 

Nach Archimedes Wunsch setzte man auf sein 
Grab ein Monument, das eine Kugel mit einem umbe- 
schriebenen Cylinder enthielt. Dies fand und erneuerte 
Cicero anderthalb Jahrhundert spater, als er Quastor auf 
Sicilien war. 


22, Archimedes Lehre vom Gleichgewicht, 

Die Regeln fur das Gleichgewicht eines ungleich- 
armigen Hebels sind lange vor Archimedes Zeit bekannt 
gewesen, aber bei ihm findet man die erste wirkliche Be- 


E 


A D 


griindung. Wir konnen seinen Gedankengang kurz fol- 
gendermassen wiedergeben. A und C seien die Angriffs- 
punkte der Gewichte P und Q, und der Punkt B sei 
luf A C derartig bestimmt, dass 

AB:BC=Q:P. 

Dann ist der Hebel, auf dessen eigenes Gewicht keine 
Riicksicht genommen wird, im Gleichgewicht, wenn er in 


188 Die griechische Mathematik: 

B unterstiitzt wird. Der Beweis wird dadurch gefiihrt, 
dass man den Hebel in einem Punkte D so teilt, dass 


und auf seiner Verlangerung E und F so bestimmt, dass 
EA = AD und CF=DC. Man kann dann, ohne die 
Gleichgewichtsverhaltnisse zu andern, das Gewicht von P 
gleichmassig liber ED, und das von Q gleichmassig liber 
DF verteilen, wodurch das ganze Gewicht P+ Q gleich 
massig liber EF verteilt wird. Wegen der Symmetrie 
findet dann Gleichgewicht statt, wenn EF im Mittel- 
punkte B unterstiitzt wird. 

Im ersten Buche seiner Schrift liber das Gleich 
gewicht ebener Figuren fiihrt Archimedes einen solchen 
Beweis ohne jedoch eine kontinuierliche Verteilung zu 
benutzen. Er behandelt zuerst den Fall, wo P und Q 
kommensurabel sind und sich also auf Punkte mit glei- 
chen Abstanden verteilen lassen, und geht darauf mittels 
des Exhaustionsbeweises zu dem Fall liber, wo P und Q 
inkommensurabel sind. Er hat wie gewohnlich ausdriick- 
lich die Voraussetzungen aufgestellt, auf denen der Beweis 
aufgebaut wird, und das sind hier die Bedingungen fur 
Gleichgewicht oder fiir den Mangel an Gleichgewicht bei 
einem gleicharmigen Hebel. Mit Rlicksicht auf das Fol- 
gende werden auch noch die Voraussetzungen aufgestellt, 
dass die Schwerpunkte ahnlicher Figuren homologe Punkte 
sind, und dass der Schwerpunkt einer Figur, deren Kon- 
vexitat sich liberall nach aussen wendet, auf die Figur 
selbst fallen muss. Wenn die Beweise dafiir, dass der 
Schwerpunkt eines Dreiecks der Schnittpunkt seiner 
Medianen ist, mit denen das Buch schliesst, uns jetzt 
unnotig weitlaufig vorkommen, so beruht das darauf, dass 
sie auf den ausdriicklich aufgestellten Voraussetzungen 
haben aufgebaut werden miissen. 


22. Archimedes Lehre vom Gleichgewicht. 189 

Wir haben bereits gesehen, wie Archimedes die 
&gt;atze iiber Gleichgewicht benutzt hat um die Flache eines 
Parabelsegmentes zu finden. Spater hat er im zweiten 
Buche der Schrift iiber das Gleichgewicht ebener 
Figuren den Schwerpunkt eines Parabelsegments gefunden. 
Dieser Bestimmung liegt der Satz zu Grande, dass die 
Schwerpunkte verschiedener Parabelsegmente ihre Durch- 
messer nach demselben Verhaltnis teilen miissen. Das 
wird bewiesen durch dieselbe Teilung der Parabelsegmente 
in unendlich viele Dreiecke, die in seiner geometrischen 
Bestimmung der Flache des Segmentes 1 (vergl. die Figur 
S. 180) benutzt wurde. Der unbekannte Wert des kon- 
stanten Verhaltnisses lasst sich nun finden durch Zer- 
legung des Segmentes A B C in das Dreieck ABC und 
zwei neue Segmente. Die dabei entstehende Gleichung 
ersten Grades lost Archimedes unter geometrischer Form. 

Es ergiebt sich, dass Archimedes noch einen 
Schwerpunkt kennt, namlich denjenigen eines beliebigen 
Segmentes eines Umdrehungsparaboloids. Dieser kann 
nicht auf dieselbe Art gefunden worden sein wie der 
Schwerpunkt des Parabelsegmentes, sondern seine Bestim 
mung muss unter der einen oder anderen Form zuriick- 
gefiihrt worden sein auf die bereits erwahnten, von Ar 
chimedes gekannten Integrationen, von denen sie in der 
That abhangt. Archimedes selbst giebt uns keine Auf- 
klarung dariiber, wie er diesen Schwerpunkt kennen ge- 
lernt hat, aber er nennt und benutzt ihn zu wiederholten 
Malen im 2ten Buche seiner Schrift iiber Korper, die 
auf einer Fliissigkeit schwimmen. 


1 Der Schluss des Beweises 1st indessen im 7ten Abschnitte 
des iiberlieferten Textes durch ein offenbares Missverstandnis von 
einem spateren Herausgeber auf ahnliche Segmente eingeschrankt 
worden. 


190 Die griechische Mathematik: 

Im ersten Buche dieser hydrostatischen Schrift wird 
der bekannte Hauptsatz iiber das Gleichgewicht ganz oder 
teilweise eingtauchter Korper, der den Namen das archi- 
medische Princip erhalten hat, aufgestellt und begriindet. 
In diesem Buche nimmt Archimedes sogar einen so 
allgemeinen Standpunkt ein, dass er die Kugelgestalt der 
Erde und die Richtung der Schwere gegen ihren Mittel- 
punkt hin beriicksichtigt. Im letzten Satze des Buches 
behandelt er die Aufgabe, die Gleichgewichtslage eines 
teilweise eingetauchten Kugelsegmentes zu finden; leider 
aber sind wesentliche Teile dieser Untersuchung verloren 
gegangen. 

Dass Archimedes nicht ohne weiteres und nur aus 
Griinden der Symmetric schliesst, dass es keine anderen 
Gleichgewichtslagen giebt als diejenige, bei der die Axe 
des Segmentes lotrecht steht, lasst sich vermuten aus der 
vollstandigeren Behandlung, der er im 2ten Buche die 
Aufgabe unterwirft, die Gleichgewichtslagen eines Seg 
mentes zu finden, das von einem Umdrehungspara- 
boloid durch einen senkrecht zur Axe gelegten Schnitt 
abgeschnitten wird. Bei dieser Untersuchung wird der 
Wasserspiegel jedoch als eben vorausgesetzt ; bei ihr be- 
nutzt er die Schwerpunkte auch von solchen Segmenten, 
die durch schief zur Axe stehende Ebenen abgeschnitten 
werden. 

Archimedes statische Werke bilden die Grundlage 
sowohl fiir die theoretische Mechanik wie fiir die prak- 
tischen Anwendungen der Mechanik. Dass er es selbst 
in solchen Anwendungen weit brachte, wissen wir aus 
vielen Berichten des spateren Alterturns, wo man es besser 
verstand die sichtbaren Resultate zu bewundern als die 
wissenschaftliche Arbeit. Eine unmittelbare Benutzung 
des archimedischen Princips ist seine Benutzung des spe- 
cifischen Gewichtes um die Zusammensetzung von Metall- 


22. Archimedes Lehre vom Gleichgewicht. 191 


gemischen zu bestimmen (Hiero s Krone ). Er soil 
Apparate konstruiert haben um durch geringe Kraft grosse 
Massen zu bewegen. Die Wasserschnecke riihrt von ihm 
her. Besondere Bedeutung erhielt seine mechanische Ge- 
schickliohkeit durch die wahrend der Belagerung von Sy- 
rakus konstruierten Kriegsmaschinen ; unter diesen 1st 
jedoch die Anwendung des Brennspiegels, um die romische 
Flotte anzuziinden, eine Fabel, wenn es auch keineswegs 
unmoglich ist, dass er parabolische Brennspiegel erfunden 
hat. Mit grosser Bewunderung nannte man im Altertum 
ein von ihm konstruiertes mechanisches Planetarium. 


23, Die Lehre von den Kegelschnitten 
vor Apollonius. 

Wir haben bereits (S. 87) bei unserer Erwahnung 
des delischen Problems, sowie bei der Konstruk- 
tion von zwei mittleren Proportionalen angefiihrt, 
dass dieses Problem von Menachmus, dem Schiller des 
ludoxus, gelost wurde mittels der Schnittpunkte zwischen 
swei von den Kurven 


die er als Schnittkurven zwischen einem Umdrehungs- 
kegel und einer Ebene darstellte. In Ubereinstimmung 
hiermit wird berichtet, dass Menachmus die Kegelschnitte 
Eunden habe. Zugleich weiss man, dass man zu ihrer 

[erstellung bis zu Apollonius hinauf eine Ebene ge- 
)rauchte, die senkrecht auf einer Erzeugenden der Kegel- 
le stand, wodurch Ellipsen, Parabeln und Hy- 

&gt;erbeln die Namen Schnitt des spitz winkeligen, 
-echtwinkeligen und stumpfwinkeligen Kegels 
jrhielten. Hieraus darf man jedoch nicht schliessen, dass 


192 Die griechische Mathematik: 

Menachmus und die Mathematiker bis zu Apollonius 
ein Verfahren besessen batten, das besonders zu der Be- 
stimmung von Eigenschaften solcher Schnitte fiihrte, die 
senkrecht auf einer Erzeugenden standen, und nicht mit 
derselben Leichtigkeit benutzt werden konnte um nach- 
zuweisen, dass anders belegene Schnitte ganz dieselben 
Eigenschaften besassen. Von einem solchen Verfahren 
ist uns keine Spur in der griechischen Mathematik auf- 
bewahrt, und es diirfte, wenigstens was die Ellipse und 
Hyperbel betrifft, schwierig sein ein solches Verfahren zu 
zu erfinden. 

Die Sache lasst sich indessen folgendermassen erklaren. 
Fur die Bestimmung der beiden mittleren Proportionalen 
liessen sich die Kurven verwenden, die durch die oben 
genannten Gleichungen definiert werden. Eine solche 
Definition musste indessen von dem Postulat begleitet 
sein, dass die Kurven wirklich existierten, oder mit anderen 
Worten, dass die durch diese Definition bestimmten 
Punkte kontinuierlich aufeinander folgten. Das Postulat 
konnte vermieden werden, wenn sich eine, auf friihere 
Postulate gegriindete, Konstruktion der Kurven angeben 
liess, ja in diesem Falle wiirde es sogar unstatthaft 
gewesen sein, neue Postulate aufzustellen. Die von Me 
nachmus gefundene Konstruktion besteht eben in der 
Bestimmung der Kurven als Schnitte an Kreiskegeln : die 
Kontinuitat der Kegelfiache ist dann sichergestellt durch 
diejenige der Leitkurve, des Kreises, und die Kontinuitat 
der Schnittkurve wiederum durch diejenige der Kegelflache. 

Fiir diese Verwendung ist jede Erzeugung als Schnitte 
an Kegeln gleich gut, ja um sich zu versichern, dass 
eine Kurve mit bestimmten Konstanten sich wirklich als 
Schnitt an einem Kegel erzeugen lasst, ist es sogar am 
bequemsten, wenn man eine gleichartige Losung dieser 
Aufgabe hat. Dass dann namentlich die Losung, bei der 


23. Die Lehre von den Kegelschnitten vor Apollonius. 193 


man zugleich die Kegelflache gerade und die Schnittebene 
senkrecht auf einer Erzeugenden sein lasst, zweckmassig 
sein kann, ergiebt sich leicht, wenn wir zuerst parabo- 
lische Schnitte betrachten, die als Schnitte am rechtwinke- 
ligen Kegel hervorgebracht sind. T sei der Scheitelpunkt 
einer solchen, KTC ein Axenschnitt, GPH die Spur 
eines parallel zur Grundflache gelegten Schnittes, y das 


f* ,/ 


\p 


\H 


/ 
If/ 


\ 

\ 


X 

V 


Stuck, welches zwischen P und der Kegelflache auf einer 
Geraden abgeschnitten wird, die in P senkrecht auf der 
Ebene der Figur steht. Dann ist, wenn AP.TK, 


jr Schnitt, der in A P senkrecht zur Ebene der Figur 
errichtet wird, wird dann, wenn AP x und 2 AL=p, 
dargestellt durch 

In tJbereinstimmung mit dieser Konstruktion wird 
der halbe Parameter-^- noch von Archimedes das Stuck 

bis zur Axe genannt, namlich vom Scheitelpunkt A der 
Parabel bis zur Axe des Kegels. 

Man sieht also, dass Menachmus eben die Losung 
derjenigen Aufgabe erhielt, die vorlag: eine Kurve mit 
der CTrleichung |/ 2 = J p# als Schnitt an einem Kegel dar- 
zustellen. Es kam nur darauf an, den Kegel gerade sein 

13 


194 Die griechische Mathematik: 

zu lassen, den Schnitt senkrecht zu einer Erzeugenden 
zu legen und dafiir zu sorgen, dass das Stuck bis zur 

Axe ~ wurde. 

2i 

Dieselben Vorteile erreicht man durch die entspre- 
chende Darstellung der Ellipse und Hyperbel als Schnitte, 
die senkrecht auf der Erzeugenden ernes spitzwinkeligen 
oder stumpfwinkeligen Umdrehungskegels stehen. Wir 
wollen dafiir dieselben Bezeichnungen benutzen wie in 
der umstehenden Figur, und nur zugleich durch A den 
Schnittpunkt von A P mit der anderen Erzeugenden T C 
der Figurebene bezeichnen, oder fiir die Hyperbel, den 
Schnittpunkt mit der Verlangerung der TC iiber T hin- 
aus. Dann findet man, wenn A P=x, PA 1 =x lt wenn 

ferner wie friiher das Stuck bis zur Axe oder AL = ^ 

2i 

der halbe Parameter ist, und wenn A A ^ = 2 a, 


Diese Bestimmung (durch die Axengleichung) ist 
gerade diejenige, welche die altesten griechischen Geometer 
in der einen oder anderen Form (ihre Bestimmung kommt 

// 2 p 

der Gleichung = ^- am nachsten) der Untersuchung 
xx l 2 a 

der Ellipse und Hyperbel (je nachdem x -f- x 1 = 2 a, oder 
a? L a? =2 a) zu Grunde legen. Da die Konstanten der 
Kurve auf einfache Weise in der Figur dargestellt sind, 
so hat man in der That eine gute und bestimmte Me- 
thode diese Kurven als Schnitte an Kegeln darzustellen, 
also zu zeigen, dass sie fiir alle Werte der Konstanten 
Kegelschnitte sind. 

Hierbei wird jedoch vorausgesetzt, dass diese Kurven 
vorher bekannt gewesen und - - selbstverstandlich unter 


23. Die Lehre von den Kegelschnitten vor Apollonius. 195 

geornetrischer Form durch die angefiihrte Gleichung 
dargestellt worden sind. Was die Ellipse betrifft, so 
deutet verschiedenes hierauf; es kann dann sehr nahe 
gelegen haben, sie als Cylinderschnitt zu betrachten. Die 
Hyperbel, und namentlich die gleichseitige, hat sich, 
wie schon angefiihrt, als verwendbar fur die Konstruktion 
von zwei mittleren Proportionalen gezeigt, aber freilich 
durch eine andere Gleichung bestimmt, namlich durch 
diejenige, wodurch sie auf ihre Asymptoten bezogen wird. 
Die Verwendbarkeit fiir die Konstruktion der beiden 
mittleren Proportionalen hat dann eine gute Veranlassung 
gegeben, urn zu untersuchen, ob die Kurve nicht etwa 
eine auf anderem Wege bekannte Kurve, z. B. ein Kreis, 
sein konne - - die ursprungliche Bestimmung durch die 
Mittel, iiber die man verfiigte, namentlich durch die geo- 
metrische Algebra, umzuformen. Die Umformung in die 
Axengleichung hat dann gerade fiir dieses Hiilfsmittel 
ziemlich nahe gelegen. Ein unmittelbarer Zusammenhang 
zwischen der Asymptotengleichung und der Darstellung 
als Kegelschnitt ist aber kaum bekannt gewesen. 

Das, was durch senkrechte Schnitte auf der Erzeu- 
genden eines Umdrehungskegels erreicht wurde, war also 
das Mittel, jede Parabel, Ellipse oder Hyperbel als Schnitt 
eines Umdrehungskegels darzustellen. Selbstverstandlich 
sah man zugleich, dass urngekehrt a lie derartig aii- 
gebrachten Schnitte Parabem, Ellipsen und Hyperbeln 
sind. Es hat zugleich unmoglich der Aufmerksamkeit 
entgehen konnen, dass die besondere Lage durchaus gar 
keine Rolle bei dieser umgekehrten Bestimmung spielt. 
Jedenfalls hat dieselbe Bestimmungsmethode sich als an- 
wendbar gezeigt, sobald man iiberhaupt Veranlassung fand 
nach anders belegenen Schnitten zu fragen. Das finden 
wir bestatigt in Archimedes Schrift iiber Konoide und 
Spharoide. Bereits die Einleitung zu dieser Schrift zeigt, 

13* 


196 


Die griechische Mathematik: 


dass man sogar vor seiner Zeit wenigstens alle elliptischen 
Schnitte an geraden Kegeln kannte, und im Verlaufe 
seiner eigenen Untersuchungen werden sogar gewisse ellip- 
tische Schnitte an schiefen Kreiskegeln betrachtet, nam- 
lich solche, die senkrecht auf der Symmetrieebene des 
Kegels stehen. Archimedes lost die Aufgabe, die nach 
unserer Ausdrucksweise heissen wiirde: Bestimmung der 
cirkularen Schnitte an einer Kegelflache zweiter Ordnung 
mil bekannten Hauptschnitten. Da Archimedes bei 
den vorliegenden Aufgaben keine Verwendung fur hyper- 
bolische Schnitte hat, die auf die angefuhrte Weise liegen, 
so darf man aus seinem Schweigen nicht schliessen, dass 
er sie nicht gekannt habe. 

Archimedes erhalt sogar Gelegenheit uns das Hiilfs- 
mittel kennen zu lehren, wodurch man die planimetrische 
Bestimmung ebener Schnitte an Kreiskegeln fand. Die 

Figur moge diejenige sein, 
in der der Kegel von seiner 
Symmetrieebene geschnit- 
ten wird (oder, wenn der 
Kegel gerade ist, ein be- 
liebiger Axenschnitt), T L 
und TK die in dieser 
Ebene liegenden Erzeugen- 
den, LK die Spur der 
kreisformigen Grundflache. 
Die Beschaffenheit des ebe- 
nen Schnittes, der in NN l 
projiciert wird, ergiebt sich 
dann durch folgenden planimetrischen Hiilfssatz: wenn 
die Geraden NN 1 und M M, welche die festen geraden 
Linien L T und TK in M und N, und in M l und N lt 
sowie sich selbst in P schneiden, ihre Richtungen nicht 


23. Die Lehre von den Kegelschnitten vor Apollonius. 197 

PM.PM l 
verandern, so ist PAT Constant oder gleich k. 

JL J.\ . JT -/V -I 

1st nun MM l die Spur eines der Grundflache parallelen 
Schnittes, und y das Stuck, welches von der in P proji- 
cierten Geraden zwischen P und der Kegelflache abge- 
schnitten wird, so ist 

|/ 2 = PM . PM l = fc . P TV . PN lt 

und das ist eben die Eigenschaft, durch die wir eine 
Ellipse oder Hyperbel charakterisiert haben. 

Der hier benutzte planimetrische Satz wird als be- 
kannt vorausgesetzt, ist also gewiss auch vor Archimedes 
benutzt worden um die Eigenschaften der Kegelschnitte 
abzuleiten. Er gilt nach dem sogenannten Potenzsatz, 
den wir spater besprechen werden und der dem Archi- 
.medes bekannt war, auch wenn die Punkte M, N y M^ 
und N l auf einem beliebigen Kegelschnitt liegen. Archi 
medes konnte deshalb in der angefiihrten Schrift iiber 
Umdrehungsflachen zweiter Ordnung ebene Schnitte an 
diesen auf ganz dieselbe Weise bestimmen. 

Wenn wir angenommen haben, dass die Entdeckung 
des Menachmus wesentlich darin bestand, dass Parabel, 
Ellipse und Hyperbel sich als Kegelschnitte darstellen 
liessen, so haben wir damit die Annahme verbinden 
miissen, dass diese Kurven wenigstens teilweise vorher 
untersucht worden waren, namentlich in Verbindung mit 
dem delischen Problem und auf Grundlage der Eigen 
schaften, die jetzt durch ihre einfachsten Gleichungen 
dargestellt werden. Diese Annahme wird in hohem Grade 
durch den Umstand unterstiitzt, dass es in alien weiter- 
gehenden Untersuchungen bei griechischen Schriftstellern 
die planimetrischen Haupteigenschaften sind und nicht 
die Darstellung als Kegelschnitte, die der Untersuchung 
zu Grunde gelegt werden. Sie tragt auch dazu bei zu 


198 Die griechische Mathematik: 

erklaren, dass die Lehre von den Kegelschnitten gleich 
nach Menachmus sich so rasch bei den Griechen ent- 
wickeln konnte, wie es der Fall war. Das Interesse fur 
diese Lehre musste dadurch wachsen, dass man bald 
wahrnehmen musste, dass die Kegelschnitte sich nicht 
nur wie von Menachmus fiir die Konstruktion der beiden 
mittleren Proportionalen verwenden liessen, sondern auch 
bei der Losung von vielen anderen Aufgaben, die man 
vergebens mil Hiilfe von Zirkel und Lineal zu losen ver- 
sucht hatte. Zu dem Behufe musste man die Kegelschnitte 
als geometrische Orter benutzen, als raumliche Orter , 
wie man sie damals nannte. Das Gewicht, das man auf 
eine solche Anwendung legte, zeigt sich dadurch, dass 
das alteste Werk iiber Kegelschnitte, das angefiihrt wird, 
den Titel raumliche Orter hatte. Es riihrte von 
einem Mathematiker Aristaus her, der ein alterer Zeit- 
genosse von Euklid war. Dass der Titel dieses verlorenen 
Werkes wirklich eine besondere Bedeutung hatte und nicht 
nur ein Name fiir die Lehre von den Kegelschnitten im 
allgemeinen war, geht daraus hervor, dass die bald nach- 
her erschienenen Biicher iiber Kegelschnitte von 
Euklid die raumlichen Orter des Aristaus erganzen 
und nicht vertreten sollten. Man fuhr sogar fort diese 
Schrift neben den Kegelschnitten des Apollonius, 
welche diejenigen des Euklid vollstandig verdrangten, 
zu studieren und zu benutzen. 

Der Gebrauch, den Aristaus wahrscheinlich von 
den Kegelschnitten gemacht hat, und den man in weiter- 
gehendem Maasse gemacht hat, als die Lehre von den 
Kegelschnitten durch Euklid und Apollonius weiter 
entwickelt worden war, wird sich am besten verstehen 
lassen, wenn wir aus dem grossen Werk des Apollonius 
gelernt haben werden, wie die Alten diese Kurven iiber- 
haupt MSehandelten. Aus diesem Werke werden wir zu- 


23. Die Lehre von den Kegelschnitten vor Apollonius. 199 

gleich, wenn wir besonders darauf aufmerksam machen, 
welche Fortschritte man Apollonius personlich verdankt, 
eine Vorstellung von dem gewinnen, was bereits Euklids 
Darstellung enthalten haben muss. Vorlaufig wollen wir 
nur bemerken, dass sich aus Archimedes Schriften er- 
kennen lasst, dass dies nicht so ganz wenig gewesen sein 
kann; denn die Satze iiber Kegelschnitte, die Archi 
medes als bekannt voraussetzt, sind gewiss in Euklids 
verlorenem Werke zu finden gewesen. In diesem muss 
man nicht nur die bereits angefiihrte Beziehung der Kegel 
schnitte auf ihre Axen haben finden konnen, sowie die 
daran angeschlossene Bestimmung von Tangenten, konju- 
gierten Durchmessern und Asymptoten, sondern auch die 
entsprechende Beziehung auf zwei konjugierte Durchmesser, 
und die bereits dem Menachmus bekannte Beziehung 
auf die Asymptoten; endlich auch den soeben erwahnten 
Potenzsatz. 


24. Die Kegelschnitte des Apollonius, 

Aus Apollonius grossem Werke liber die Kegel 
schnitte kennen wir hauptsachlich die Lehre der Alten 
von den Kegelschnitten, so wie wir ihre elementare Geo 
metric aus Euklid kennen. Von Apollonius 8 Bii- 
chern iiber Kegelschnitte sind uns jedoch nur 7 erhalten 
geblieben, die 4 ersten auf Griechisch, die 3 letzten durch 
eine arabische tJbersetzung. Die 4 ersten Biicher ent 
halten das, was man die Elemente der Lehre von den 
Kegelschnitten nennt, das heisst die zusammenhan- 
gende Darstellung der Haupteigenschaften der Kegel 
schnitte, die man zum Ausgangspunkt nehmen muss so- 
wohl fur die Anwendung der Lehre von den Kegelschnitten 
auf die Losung von Konstruktionsaufgaben mittels raum- 


200 


Die griechische Mathematik: 


licher Orter, als auch fiir weitergehende besondere Unter- 
suchungen einzelner, die Kegelschnitte betreffender Fragen. 
Die folgenden Biicher dagegen entbalten hierher gehorige 
Specialuntersuchungen. Das fiinfte Buch, das iiber Nor- 
malen an die Kegelschnitte handelt, 1st zugleich das vollstan- 
digste erhaltene Beispiel fiir die Anwendung der Kegel 
schnitte auf Konstruktion, namlich auf die Konstruktion 
von Normalen, die von einem gegebenen Punkte ausgehen, 
und fur die an eine solche Konstruktion angeschlossene 
feinere theoretische Untersuchung. 

Die allgemeine Kenntnis, welche die Alten von den 
Kegelschnitten hatten, lernen wir jedoch zunachst und 
vor all em aus den vier ersten Biichern kennen. Bei 
diesen wollen wir deshalb so lange venveilen, dass wir 
nicht nur einen Uberblick iiber das zu geben vermogen, 
was die Alten iiber die Kegelschnitte wussten, sondern 
es auch verstandlich machen, dass sie wirklich Mittel 
besassen um so weit zu gelangen. 

Zunachst miissen wir dann sehen, wie im ersten 
Buehe die Grundmauer aufgefuhrt wird. Geschieht dies 
auch mit einem anderen Ausgangspunkt, als der von 
Apollonius Vorgangern benutzte war, so sind doch, 
wie sich aus seinen Vorreden ergiebt, die einzelnen Satze, 
aus denen diese Grundmauer zusammengefiigt ist, zum 
grossen Teile dieselben, die auch seine Vorganger kannten 
und anwandten. Was die Hyperbel betrifft, so zeigt sich 
jedoch in diesen Satzen der bedeutende Fortschritt, dass 
Apollonius, wenn er auch die beiden Aste der Hy 
perbel zusammengehorende Hyperbeln nennt, dennoch 
diese Aste als eine einzige Kurve behandelt, und 
dadurch die Gleichartigkeit in den Satzen iiber Ellipse 
und Hyperbel erreicht, die nur auf diesem Wege mog- 
lich ist. 

Der neue Ausgangspunkt besteht darin, dass Apol- 


24. Die Kegelschnitte des Apollonius. , 201 

lonius, statt Schnitte zu betrachten, die von Ebenen in 
einer bestimmten Lage an Umdrehungskegeln hervor- 
gebracht werden, sofort beliebige ebene Schnitte an 
beliebigen Kreiskegeln betrachtet. Das Verfahren, 
welches benutzt wird um eine solche planimetrische Eigen 
schaft an diesen Schnitten abzuleiten, dass sie der weiteren 
Untersuchung der Kurven zu Grunde gelegt werden kann, 
ist eine Verallgemeinerang desjenigen, das wir Archi 
medes haben benutzen sehen um Schnitte senkrecht zur 
Symmetrieebene des Kegels zu untersuchen ; dadurch wird 
aber die planimetrische Eigenschaft auch allgemeiner. 
Es wird dann nicht rnehr diejenige, die dadurch aus- 
gedriickt wird, dass man den Kegelschnitt auf eine von 
seinen Axen und die halben zugehorigen Sehnen als Ordi- 
naten bezieht, sondern diejenige, die man auf ahnliche 
Weise erhalt, indem man den Kegelschnitt auf einen be 
liebigen Durchmesser und dessen Sehnen bezieht. Das 
muss man festhalten, wenn man den rechten Uberblick 
liber den Gang des Buches erhalten will. Von den unter- 
suchten Kurven ist es anfangs nur bekannt, dass sie 
diese Eigenschaft besitzen in Bezug auf einen einzelnen 
Durchmesser und ein dazu gehoriges Sehnensystem, das 
im allgemeinen einen schiefen Winkel mit dem Durch 
messer bildet. Erst im weiteren Verlaufe der Darstellung 
sieht man, dass sie dieselbe Eigenschaft besitzen in Be 
zug auf unendlich viele Durchmesser, und am Schlusse 
des Buches werden endlich solche Durchmesser kon- 
struiert, die senkrecht auf ihren Sehnen stehen, 
und gezeigt, dass die Kurven, wenn man sie auf diese 
bezogen hat, sich als Schnitte in Umdrehungskegel 
hineinlegen lassen. Erst dann ist die Identitat der von 
Apollonius behandelten Kurven mit den bereits fruher 
bekannten Kegelschnitten vollkommen dargethan. 

Diese letzten Resultate machen also das Ziel aus, 


202 


Die grieChische Mathematik: 


das Apollonius wahrend der Auffiihrung des ganzen 
ersten Buches vor Augen gehabt hat. Wahrend des 
Aufbaus 1st er jedoch teils genotigt gewesen, teils hat er 
sich die Gelegenheit dazu verschafft, viele Eigenschaften 
der Kurven darzustellen, die in den spateren Biichern zur 
Verwendung gelangen konnen, oder die es an und fur 
sich wert sind, dass man sie kennen lernt. So wird die 


Lehre von den Tangenten und ihrer Bestimmung mit- 
genommen als Einleitung zu der, fiir den Hauptzweck 
des Buches notwendigen, Lehre von den Durchmessern 
zu parallelen Sehnensystemen. 

Will man sich eine Vorstellung von den benutzten 
Arten des Verfahrens machen, so geschieht das am besten 
durch Vergleichung mit der, in der jetzigen analytischen 
Geometric gebrauchlichen, algebraischen Umformung 
der Gleichungen in die neuen Formen, die man durch 


24;. Die Kegelschnitte des Apollonius. 


203 


Beziehung auf neue Koordinatensysteme erhalt, oder uber- 
haupt mit den algebraischen Operationen der ana- 
lytischen Geometrie. Diese werden nur von Apollonius 
mit Hiilfe der geometrischen Algebra dargestellt. 
Die Brauchbarkeit dieser hierfiir wird man am besten er- 
kennen, wenn man die geometrische Form sieht, unter 
der Apollonius diejenigen Gleichungen fiir die Kegel 
schnitte darstellte, die er aus ihrer Lage auf dem Kegel 
ableitete. In diesen Gleicbungen werden sie, wie schon 
gesagt, auf einen Durchmesser und die dazu gehorigen 


halben Sehnen als Ordinaten bezogen. A B sei ein Durch 
messer 2 a einer Ellipse oder Hyperbel, C D die Half te 
einer dazu gehorigen Sehne. Dass dann das Quadrat CD 2 

in einem konstanten Verhaltnis - zu dem Produkt 

2a 

AC.CB stehen soil, das findet seinen Ausdruck dadurch, 

dass man in A und C auf A B die Senkrechten A E 

und CF errichtet, und auf der ersten AE=p abtragt. 

3t dann F der Schnittpunkt zwischen CF und BE, so 

mss das Quadrat iiber CD dem Rechteck A F gleich 

sein ; denn C F ist dann eben - . C B. Die Hiilfsfigur 


204 Die griechische Mathematik: 

rriacht also den geometrisch-algebraischen Apparat aus, 
durch den man dasselbe darstellt, was wir, wenn C D = y 
und AC = x, ausdriicken wiirden durch die Gleichung 


Man sieht, dass die dargestellte Grundeigenschaft 
dieselbe 1st, die man vor Apollo nius kannte (und die 
man deshalb mit Unrecht das Theorem des Apollo nius 
nennt). Die Darstellungsform stimmt durchaus mit den 
gewohnlichen Formen der geometrischen Algebra iiberein. 
Sie hat jedoch eine besondere Bedeutung dadurch erhalten, 
dass sie den neuen Benennungen zu Grunde gelegt 1st, 
die Apollonius den Kegelschnitten geben musste, nach- 
dem die Bestimmungsmethode, an welche die alten Be- 
zeichnungen sich anschlossen, aufgegeben war. Die Fi- 
gur, die benutzt wird, ist namlich dieselbe wie diejenige, 
welche, entsprechend der Umformung der Gleichung in 


* - 


ausdriickt, dass das Quadrat y 2 an die Strecke AE=p 
so angelegt ist, dass die Seiten des mangelnden oder 
uberschiessenden Rechtecks sich wie p : 2 a verhalten 
(vergl. Euklids 6tes Buch). In Ubereinstimmung mit 
den bei der Auflosung der Gleichungen zweiten Grades 
benutzten Bezeichnungen wird die dargestellte Kurve selbst 
Ellipse oder Hyperbel genannt, je nachdem dasRechteck 
E F mangelt oder iiberschiesst. Ist weder ein tJberschuss 
noch ein Mangel vorhanden, so hat man eine einfache 
Anlegung des Quadrates y 2 an p. Die Kurve y 2 =px 
hat dann denselben Namen Parabel bekommen, wie die 
einfache Flachenanlegung. 


24. Die Kegelschnitte des Apollonius. 205 

Man sieht, dass die geometrische Algebra hier genau 
dieselben Dienste leistet, wie die Algebra in der spateren 
analytischen Geometric. Wie wir jetzt die Grundeigen- 
schaft einer Kurve durch eine algebraische Gleichung 
ausdriicken, so wird sie bei Apollonius durch eine 
Figur dargestellt. Dadurch dass diese Hiili sfigur recht- 
winkelig zur Abscissenaxe gezeichnet 1st, auch wenn die 
Ordinaten diese unter schiefen Winkeln schneiden, erhalt 
sie eine gewisse Unabhangigkeit von der Figur, bei deren 
Untersuchung sie benutzt werden soil. Ebenso wie die 
algebraische Gleichung der Kurve vom zweiten Grade 
mit Bezug auf x ist, ebenso wird die Hulfsfigur dieselbe, 
die in den Elementen zur Darstellung und Losung einer 
Gleichung zweiten Grades benutzt wird. Gerade als 
Kurven von zweiter Ordnung haben die Kegelschnitte 
sich daher als so geeignet fiir die antike Behandlungsart 
erwiesen. Dass diese selbst der Algebra eine geometrische 
Form giebt, hat jedoch Veranlassung gegeben zu manchen 
Kombinationen des geometrischen Hiilfsmittels mit dem 
Gegenstande der geometrischen Untersuchung, die der 
analytischen Geometric ferner liegen wiirden, namentlich 
solange diese geometrische Fragen vollstandig in Rechen- 
aufgaben verwandelte. 1m Gegensatze hierzu gleicht die 
antike Behandlung etwas mehr der jetzt iiblichen Be- 
nutzung der analytischen Geometric, bei der man die 
geometrische Bedeutung der vorzunehmenden Umformungen 
nicht vergisst. 

Wir konnen allerdings hier nicht bis ins Einzelne die 
Umformungen der unter geometrischer Form dargestellten 
Gleichungen der Kurve verfolgen, wodurch man nach 
und nach zu dem Resultat gelangt, das wir als das Ziel 
des Buches bezeichnet haben, aber als Beispiel wollen 
wir doch ein Zwischenglied nennen, das eine Hauptrolle 
sowohl hier wie bei den weitergehenden Untersuchungen 


206 


Die griechische Mathematik: 


im 3ten Buche spielt. Ein Kegelschnitt mil dem Mittel- 
punkt C und den Durchmessern CE und CB wird als 
geometrischer Ort fur solche Punkte H betrachtet, dass 
das Viereck CMHT, welches begrenzt wird von 
diesen beiden Durchmessern, von der Linie H M, 
die den von CB halbierten Sehnen parallel 1st, 
und von der H T, die den von CE halbierten Seh 
nen parallel ist, einen konstanten Flacheninhalt 
erhalt. Fiir uns ist dieser Flachensatz allgernein giiltig, 


sobald wir die einzelnen Teile eines uneigentlichen Vier- 
ecks, wenn ein solches vorkommt, nach gewohnlichen 
Regeln mit Vorzeichen rechnen. Apollo nius dagegen 
muss ihn in mehrere verschiedene Satze zerlegen, deren 
Zusammenhang er jedoch offenbar vor Augen hat. Die 
Anwendung, die Apollonius im ersten Buche von diesem 
Satze macht, wird man verstehen, wenn wir darauf hin- 
weisen, dass der Satz zuerst aus der Gleichung abgeleitet 
wird, durch welche die Kurve auf den einen Durchmesser 
und seine Sehnen bezogen wird, und dass er darauf auf 
entsprechende Weise zu der Gleichung fuhrt, wodurch 


. Die Kegelschnitte des Apollonius. 


207 


die Kurve auf den anderen Durchmesser und seine Sehnen 
bezogen wird. 

Aus dem ersten Buche wollen wir noch die Be- 
stimmung der Tangenten erwahnen. Nach der Glei- 
chung der Kurve kommt es bei dieser darauf an, durch 
einen Punkt (a? , y } der Kurve eine Gerade so zu ziehen, 
dass jeder andere Punkt (a?, y] von dieser der Bedingung 

11% 7/2 


geniigt, worin fur die Parabel - - mit vertauscht wird. 

2 d 

Apollonius zeigt, dass dies fiir die Ellipse und Hyperbel 
erreicht wird, wenn die Tangente und die Ordinate im 
Punkte (a? , y] den Durchmesser harmonisch teilen (die 
Bezeichnung harmonisch ist jedoch neueren Ursprungs). 
Der Beweis ist etwas zu weitlaufig, um hier wiederholt 
zu werden. Dagegen lasst sich der Beweis dafiir, dass 
eine, von einern Punkte (a? , y) der Parabel y 2 =px ge- 
zogene Gerade, welche die Abscissenaxe irn Punkte ( x , 0) 
trifft, Tangente der Parabel ist, sich etwa auf folgende 
Weise wiedergeben. Ist (x,y) ein Punkt dieser Geraden, 
so wird 


Da man nun durch Euklid weiss, dass die mittlere 
Proportionate zwischen zwei Grossen (ihr geometrisches 
Mittel) kleiner ist als ihr arithmetisches Mittel, oder dass 


x 


208 Die griechische Mathematik: 

Wenn man recht erkennt, wie gut und vollstandig 
der Grund in Apollonius erstem Buche gelegt 1st, so 
versteht man urn so rnehr, wie er sich in mehreren von 
den iibrigen Biichern so hoch erheben kann, namentlich 
im Bten und zumteil im 5 ten Buche. Wir miissen uns 
hier damit begniigen, den Inhalt dieser verschiedenen 
Biicher in aller Kurze anzugeben. 

Im 2ten Buehe werden die Haupteigenschaften der 
Asymptoten und konjugierten Durchmesser auseinander- 
gesetzt. Ausser den zusammengehorenden Asten einer 
Hyperbel werden auch konjugierte Hyperbeln betrachtet, 
die in verschiedenen Winkeln zwischen denselben Asymp 
toten liegen und Durchmesser von gleicher Lange haben. 
Es werden namlich auch den Durchmessern, welche die 
Kurven nicht schneiden, Langen beigelegt, die in Wirk- 
lichkeit dieselben sind, die wir jetzt benutzen. Ausser- 
dem werden verschiedene Aufgaben iiber Durchmesser 
und Asymptoten gelost, darunter die Konstruktion von 
Mittelpunkt und Axen eines gegebenen Kegelschnittes, 
Konstruktion einer Tangente, die einen gegebenen Winkel 
mit dem Beruhrungsdurchmesser bildet u. s. w. 

Das 3te Bueh enthalt vor allem solche Satze, welche 
sich auf die Punkte der Kurven unabhangig von Durch 
messern und Axen beziehen. Der Ableitung dieser Satze 
wird der schon genannte Flachensatz zu Grunde gelegt, 
der in Wirklichkeit eine Beziehung der Kurve auf zwei 
nicht konjugierte Durchmesser darstellt. Man begreift, 
dass er auch einen guten Ausgangspunkt fiir den Beweis 
des auch von Archimedes gekannten Potenzsatzes ab- 
geben kann; denn dieser betrifft Sehnen mit gegebenen, 
aber willkiirlich gewahlten Richtungen. Die Hauptsatze 
iiber Pol und Pol are finden sich auch vor. Endlich 
kommt auch die Erzeugung eines Kegelschnittes durch 
zwei solche Geradenbiischel vor, die man jetzt pro- 


24:. Die Kegelschnitte des Apollonius. 


209 


jektivische nennt. Die Scheitel der Biischel sind be- 
liebige Punkte A und C der Kurve, und die einander 
entsprechenden Geraden A M und C M werden dadurch 
bestimmt, dass sie auf den, zu den Tangenten in A und C 
gezogenen Parallelen die Stiicke C P und A Q abschneiden, 
welche ein Rechteck von konstantem Flacheninhalt bilden. 


Man sieht leicht, dass alle diese Satze unvollstandig 
und wenig ubersichtlich werden, wenn ein einzelner Hy- 
perbelast allein fur sich betrachtet wird. Man versteht 
deshalb, dass Apollonius neue AufTassung der beiden 
Kurvenaste namentlich seinem drittem Buche einen wesent- 
lichen Vorzug vor der friiheren Behandlung desselben 
Gegenstandes verliehen hat, selbst wenn einzelne Satze 
in begrenzterer Form vorher bekannt gewesen sind. 

Eine andere Reihe von Satzen desselben Buches ent- 
halt die einfachsten Bestimmungen von Tangenten ohne 


210 Die griechische Mathematik: 

Benutzung der Beriihrungspunkte, namentlich von Tan- 
genten an eine Hyperbel als denjenigen Geraden, die auf 
den Asymptoten vom Mittelpunkt aus - - und von Tan- 
genten an eine Ellipse und Hyperbel als denjenigen Ge 
raden, die auf parallelen Tangenten vom Beriihrungs 
punkte aus Stucke abschneiden, die ein Rechteck von 
konstantem Inhalt bilden. Tangenten an eine Parabel 
werden als solche Geraden bestimmt, deren Schnittpunkte 
mit festen Tangenten gleichzeitig proportionale Strecken 
durchlaufen. Diese Satze erklaren das Ziel, welches zwei 
kleinere Schriften des Apollonius iiber den Verhaltnis- 
schnitt und den Flachenschnitt verfolgen. Die Auf- 
gaben: von einem Punkt aus eine Gerade zu ziehen, 
die auf zwei gegebenen Geraden von gegebenen Punkten 
an Stucke abschneidet, welche in einem gegebenen Ver- 
haltnis stehen oder ein Rechteck von gegebener Flache 
bilden, hat er in diesen Schriften mittels der geometri- 
schen Algebra gelost und - - wenigstens in der erhaltenen 
Schrift iiber den Verhaltnisschnitt mit einer fast pein- 
lichen Beriicksichtigung aller Einzelheiten diskutiert. Die 
Losung dieser Aufgaben mittels Zirkel und Lineal liefert 
in der That, gernass den erwahnten Satzen des 3ten Buches 
iiber die Kegelschnitte, die Bestimmung einer Tangente 
von einem gegebenen Punkte an einen hinlanglich be- 
stimmten Kegelschnitt. 

Noch ein bemerkenswerter kleiner Abschnitt ist in 
demselben dritten Buche enthalten, namlich eine el emeu- 
tar-geometrische Behandlung derLehre von den Brenn- 
punkten der Ellipse und Hyperbel. Die Lage dieser 
Punkte F und F 1 auf der Hauptaxe AA l ist, wie 
angegeben wird, dadurch bestimmt, dass das Rechteck 
A F. FA l gleich J ap sein muss, wo 2 a und p die Lange 
der Axe und des Parameters bezeichnen. Mit Hiilfe der 
eben genannten Bestimmung von Tangenten an die Ellipse 


24. Die Kegelschnitte des Apollonius. 


211 


und Hyperbel ergiebt sich dann, dass das Stuck, welches 
die Tangenten in A und A auf einer beweglichen Tan- 
gente abschneiden, von F und F^ aus unter einem rech- 
ten Winkel gesehen wird, wonach die iibrigen Hauptsatze 
leicht zu erreichen sind. t)ber den Brennpunkt der Pa- 
rabel findet sich merkwiirdigerweise nichts bei Apollo 
nius. Pappus Hiilfssatze zu einer verlorenen Schrift 
Euklids lassen jedoch vermuten, dass dieser Punkt teil- 
weise wenigstens schon dem Euklid bekannt war. 

Im 4ten fiuche wird die grosste Anzahl (Maximum) 
der Schnittpunkte zwischen zwei Kegelschnitten bestimmt. 
Hier giebt Apollonius in der Vorrede ausdriicklich an, 
dass sein personlicher Fortschritt in der Bezugnahme auf 
beide Aste der Hyperbel besteht, ein Umstand, der hier 
eine Hauptrolle spielt. Bei unserer Auseinandersetzung 
iiber die Behandlung raumlicher Aufgaben durch die Alten 
werden wir genauer iiber das 5te Buch reden. Das 6te 
Bueh handelt teils iiber ahnliche Kegelschnitte, teils 
enthalt es einige Erweiterungen der im ersten Buche vor- 
genommenen Konstruktionen von Kegeln durch vorgelegte 
Kegelschnitte. 

Das 7te Buch enthalt eine grossere Sammlung von 
Ausdriicken fur gewisse Funktionen von den Langen kon- 
jugierter Durchmesser, von den zugehorenden Parametern 
u. s. w. Namentlich kommen hier die wichtigen Satze 
vor, dass der Inhalt desjenigen Dreiecks, welches von 
einem Paare konjugierter Darchmesser (die bei der Hy 
perbel Durchmesser konjugierter Hyperbeln sind) und der 
zwischen ihnen liegenden Sehne gebildet wird, konstant 
ist, ebenso wie die Summe oder Differenz der Quadrate 
von konjugierten Durchmessern. In den anderen Fallen, 
wo die Funktionen sich nicht als konstant erweisen, werden 
ihre Maximal- oder Minimalwerte gesucht. Da nun an- 
gegeben wird, dass das 7te Buch die Beweise fiir die 

14* 


212 Die griechische Mathematik: 

Diorismen der Aufgaben enthalt, die in dem jetzt ver- 
lorenen 8 ten Buch ihre Losung fanden, so miissen diese 
Aufgaben darauf ausgegangen sein solche konjugierte 
Durchmesser zu finden, fiir welche diese Funktionen ge- 
gegebene Werten haben. Die Ausdriicke, welche im 7 ten 
Buche fiir diese Funktionen gefunden sind, haben sofort 
die fiir die Losung der Aufgaben erforderlichen Glei- 
chungen geliefert. 


25. Raumliche Orter und Aufgaben, 

Der ursprungliche Zweck der Lehre von den Kegel- 
schnitten bestand darin, wie wir bereits angegeben haben, 
geometrische Orter herzustellen, die sich bei der Losung 
solcher Aufgaben benutzen liessen, bei denen die Gerade 
und der Kreis nicht mehr ausreichten. Aufgaben, die 
sich mit Hiilfe der Geraden und des Kreises losen lassen, 
heissen ebene Aufgaben, und Gerade und Kreis heissen 
als geometrische Orter ebene Orter. Im spateren Alter- 
tum nahm man an, dass der letzte von diesen Namen 
der ursprungliche sei und daher riihre, dass die angefiihrten 
Linien urspriinglich als in einer Ebene liegend bestimmt 
werden. Es ist jedoch genau eben so wahrscheinlich, 
dass der Name eben urspriinglich solchen Aufgaben an- 
gehort hat, die von Gleichungen von hochstens deni zweiten 
Grade abhangen, also in der geometrischen Algebra in 
der Ebene durch Relation en zwischen Flachen dargestellt 
werden. Ist das richtig, so hat der Name rauniliche 
Aufgaben* urspriinglich solchen angehort, die von Glei 
chungen 3ten Grades abhangen und durch Relationen 
zwischen Parallelepipeden dargestellt werden. Raumliche 
Orter bezeichnen solche geometrische Orter, die Kegel- 
schnitte sind. Man darf annehmen, dass dieser Name 


25. Raumliche Orter und Aufgaben. 213 

daher riihrt, dass sie fiir die Losung von raumlichen Auf 
gaben bestimmt waren. Bereits im spateren Altertum 
nahm man jedoch an, dass umgekehrt der Name raum- 
liche Orter der altere sei und von der stereometrischen 
Definition der Kegelschnitte herriihre. 

Leider ist die Schrift des Aristaus, in der die Kegel 
schnitte namentlich als geometrische Orter behandelt worden 
sein sollen, verloren gegangen, und wir wissen nichts 
von spateren Werken, in denen dasselbe Ziel verfolgt ist. 
Da jedoch Apollonius Lehre von den Kegelschnitten 
denselben Gegenstand von einer anderen Seite behandelt 
hat, so lasst sich daraus schliessen, welche raumlichen 
Orter man gekannt hat oder doch leicht hat finden 
konnen, sobald in einer Aufgabe Verwendung dafiir war. 
Bereits aus Apollonius erstem Buche sieht man, dass 
dies nicht nur der Fall gewesen sein muss, wenn gewisse 
gegebene Linien sich sofort als konjugierte Durchmesser 
oder dergleichen ergaben. Im Flachensatze wird namlich 
die Kurve auf zwei nicht konjugierte Durchmesser be- 
zogen. Das dritte Buch fuhrt uns jedoch weiter, teils 
durch seinen eigenen allgerneineren Charakter, teils da- 
durch, dass Apollonius ausdmcklich angiebt, wozu es 
benutzt werden soil. Seine besondere, gewiss durch Ein- 
fuhrung der beiden Hyperbelaste vervollstandigte, Behand- 
lungsart soil namlich nach seiner eigenen Angabe den 
Mangeln bei der alteren Bestimmung raumlicher Orter 
abhelfen. Unter diesen Ortern wird ausclriicklich der 
Ort zu drei oder vier Geraden genannt. Der Ort zu 
vier Geraden ist diejenige Kurve, welche, wenn a?, i/, z 
und u, gemessen auf Schiefen von gegebenen Richtungen, 
die Abstande eines Punktes von vier festen Geraden be- 
zeichnen und k eine Konstante bedeutet, durch die Glei- 
chung 

x z = k y u 


214 Die griechische Mathematik: 

dargestellt wird. Der Ort zu drei Geraden wird auf ahn- 
liche Weise durch die Gleichung 


dargestellt. 

Altere, nicht ganz vollstandige Beweise dafiir, dass 
diese Orter Kegelschnitte sind, muss Apollonius als so 
wohl bekannt voraussetzen, dass seine Leser, ohne dass 
die Beweise wiederholt wurden, sehen konnten, dass sie 
durch sein 3tes Buch vervollstandigt wurden. Dieses Buch 
muss also die Voraussetzungen vervollstandigt haben, auf 
denen man vorlier diese Beweise auffiihrte und auch fort- 
fahren sollte sie aufzufiihren. Wir, die wir die altere 
Bestimmung der Orter nicht kennen, konnen nur aus 
dem, was im Buche vorliegt, versuchen Schliisse auf diese 
zu ziehen. Das ist nicht so schwierig fiir den Ort zu 
drei Geraden. Dass ein beliebiger Kegelschnitt em sol- 
cher Ort ist, leitet Apollonius namlich selbst (im Ver- 
laufe des Beweises fiir die erwahnte Erzeugung durch 
projektivische Biischel) ab aus einem speciellen Falle des 
Potenzsatzes. Dass er auch ein Ort zu vier Geraden sein 
kann, lasst sich in dem Falle, wo zwei gegeniibeiiiegende 
Geraden, y = und a = 0, parallel sind, aus dem all- 
gemeinen Potenzsatz ableiten. 

Daes schon hierdurch viel erreicht ist, sieht man am 
besten durch cine Zusammenstellung mit der Darstellung 
eines raumlichen Ortes* durch die analytische Geometrie. 
Nimmt man einen Punkt dieses Ortes zum Anfangspunkt, 
so erhalt man eine Gleichung von der Form 

ax 2 -\-bxy-\-cy 2 -\- dx + ey = Q 
oder 


25. Raumliche Orter und Aufgaben. 215 

Die Kurve wird also geradezu als Ort zu vier Geraden 
dargestellt, von denen zwei gegeniiberliegende parallel 
sind. Da nun die von den Alten vorgenommene Um- 
legung von Flachen und Einfuhrung von Koefficienten 
mittels der Proportionslehre genau unserer Behandlung 
von Ausdriicken zweiten Grades entspricht, so wird die 
jetzige Darstellung einer Kurve durch eine allgemeine 
Gleichung zweiten Grades ziemlich genau der antiken 
Darstellung als Ort zu vier Geraden, von denen zwei 
gegeniiberliegende parallel sind, in geometrischer Trag- 
weite entsprochen haben. Hierauf liess sich auch der 
allgemeine Ort zu vier Geraden zuruckfuhren. Dass man 
wirklich ein Auge fur diese umfassende Bedeutung des 
Ortes zu vier Geraden hatte, geht aus dem Gewicht her- 
vor, das Apollo nius darauf legt, gerade die Behandlung 
dieses Ortes verbessert zu haben. Ubrigens scheint auch 
Euklids verlorene Schrift iiber Porismen Mittel zu sol- 
chen Umformungen angegeben zu haben, wie sie hier 
Verwendung finden konnten. 

Es giebt eine verlorene Schrift des Apollo nius, 
die man mit dem Ort zu vier Geraden in Verbindung 
bringen konnte, namlich die Schrift iiber den bestimm- 
ten Schnitt. Man weiss namlich, dass diese die Kon- 
struktion von Punkten auf einer Geraden enthalten hat, 
deren Abstande von zwei Punktepaaren derselben Geraden 
Rechtecke von gegebenem Verhaltnis bilden, sowie eine 
sorgfaltige Diskussion dieser Aufgabe. Auf diese Aufgabe 
wird die Bestimmung der Schnittpunkte zwischen einer 
Geraden und einem Ort zu vier Geraden zuruckgefiihrt, 
wenn alle vier Abstande parallel mit der gegebenen Geraden 
gerechnet werden. Fasst man die Sache so auf, so fallt 
die Bestimmung eines Ortes zu vier Geraden zusammen 
mit dem Satze iiber Involution der Schnittpunkte einer 
Geraden mit einem Kegelschnitte und mit den gegeniiber- 


216 Die griechische Mathematik: 

liegenden Seiten eines einbeschriebenen Vierecks, der spater 
von Desargues wiedergefunden 1st und seinen Namen 
tragt. Sicher 1st es, dass die Schrift iiber den bestimmten 
Schnitt einzelne wichtige Teile der jetzigen Lehre von der 
Involution enthalten hat. 

Wie soeben angefiihrt waren raumliche Aufgaben 
wohl ursprunglich solche, die von Gleichungen dritten 
Grades abhingen und stereometrisch dargestellt wurden. 
Spater dagegen wurde der Name mit der Losung durch 
Kegelschnitte verbunden, und dadurch kam es, dass er 
faktisch auch solche Aufgaben umfasste, die wenn 

man sie auf eine Gleichung gebracht haben wiirde - 
von Gleichungen vierten Grades abhangig gewesen waren. 

Die einfachste raumliche Aufgabe, die reine kubische 
Gleichung, haben wir bereits in der Form der Frage nach 
der Multiplikation des Wiirfels kennen gelernt, und wir 
haben zugleich gesehen, wie die Benutzung von Kegel- 
schnitten sich ursprunglich an die Losung dieser Aufgabe 
kniipfte. Andere Beispiele sind uns begegnet in der Drei- 
teilung des Winkels oder in den Einschiebungen, worauf 
diese zuriickgefiihrt wird, und wir haben erwahnt, dass 
Archimedes in der Schrift iiber die Spiralen einen 
anderen Gebrauch von denselben Einschiebungen macht. 
Wie diese durch Kegelschnitte ausgefuhrt wurden, das 
hat uns Pappus mitgeteilt. 

Die wichtigsten Beispiele fur die Losung raumlicher 
Aufgaben durch Kegelschnitte, die wir aus den besten 
Tagen der griechischen Mathematik besitzen, finden sich 
jedoch in der uberlieferten Behandlung der Gleichung, 
auf welche Archimedes seine Teilung der Kugel zu- 
riickfubrt (vergl. S. 185), und in der Konstruktion von 
Normalen von einem Punkte an einem Kegelschnitt im 
5ten Buche des Apollonius. Was diesen Losungen 


25. Raumliche Orter und Aufgaben. 


217 


namentlich Interesse verleiht, 1st die Sorgfalt, mit der 
sowohl die Bedingungen fiir die Moglichkeit auseinander 
gesetzt werden, sowie auch die verschiedene Anzahl von 
Losungen, die man erhalt, wenn man den gegebenen 
Grossen verschiedene Werte beilegt. Dadurch tritt - - in 
voller Ubereinstimmung mit dem, was wir iiber die Be- 
deutung der geometrischen Konstruktion bei den Griechen 
gesagt haben - - deutlich hervor, dass die Konstruktion 
durch Kegelschnitte nicht so sehr ein Mittel - - und zwar 
ein sehr diirftiges ist um die gesuchten Grossen her- 
zustellen, sondern vielmehr ein gutes theoretisches Mittel 
um zu untersuchen, in welchen Fallen sie existieren. Die 
Bestimmungen der Maxima und Minima, die man dadurch 
fiir die gegebenen Grossen erhalt, sind die wirklichen 
und bedeutungsvollen geometrischen Satze, die das Haupt- 
ziel der Untersuchung bildeten. 

Wir haben gesehen, dass Archimedes die Kugel- 
teilung zuriickfuhrte auf die Gleichung 

DB* :DX*=XZ: T Z, 

wo D, B, T und Z bekannte Punkte, X ein gesuchter 
Punkt einer Geraden ist. In dem bereits erwahnten iiber- 
lieferten Manuskript, das vielleicht von Archimedes 
selbst herrahrt und einen Anhang zu seinem 2ten Buch 
iiber die Kugel und den Cylinder gebildet hat, wird diese 
Aufgabe auf eine Weise gelost, die wir am leichtesten in 
modernen algebraischen Zeichen folgendermassen wieder- 
geben konnen. Schreiben wir seine Gleichung in der Form 


und setzen wir diese beiden Quotienten gleich-, wo e 

y 

eine beliebige Gerade ist, so lassen sich x und y bestimmen 


218 Die griechische Mathematik: 

b 2 
als Schnittpunkte zwischen der Parabel x 2 = . y und 

G 

der Hyperbel (a x)y = ce. 

Bei den Anwendungen auf die Kugelteilung sind die 
Konstanten, die wir hier mit a und c bezeichnet haben, 
positiv, und es kommt darauf an, einen solchen Wert 
von x zu bestirnmen, dass &lt; x &lt; f a, da X zwischen D 
und B, denEndpunkten desKugeldurchmes&ers DB=\DZ, 
fallen muss. Die erhaltene Darstellung der Gleichung be- 
greift jedoch auf Grund der verschiedenen Lagen, die man 
Z und T erteilen kann, oder die man den gesuchten 
Punkt X einnehmen lassen kann, alle Gleichungen von 
der Form 


in sich, und die Aufgabe lasst sich so stellen, dass man 
alle Wurzeln mit bekommt. Wir haben hier also ein 
Beispiel fur das, was wir schon friiher gesagt haben, dass 
namlich, wenn die Griechen auch nicht unsere Benutzung 
der Vorzeichen kannten, die geometrische Darstellung diesen 
Mangel immerhin weniger fiihlbar machte. 

Was nun die Grenzbedingungen betrifft, so werden 
diese bei den einzelnen Aufgaben zum Teil darauf beruhen, 
ob der Punkt X auf oder neben die Intervalle fallt, welche 
die vorliegende Aufgabe fordert; was aber zugleich bei 
alien diesen Aufgaben eine Hauptsache bleibt, das ist 
die Erkennung der Grenzfalle, in denen die Kegelschnitte 
sich beriihren, zwei Wurzeln also zusammenfallen ; denn 
dadurch wird der tJbergang zwischen den Fallen gebildet, 
in denen diese beiden Wurzeln reell sind, also nach der 
damals geltenden Auffassung wirklich existiren konnten 
oder nicht. In dem aufbewahrten Bruchstiicke wird an- 
gegeben, dass dieser tTbergangsfall eintritt, wenn x = a, 


25. Raumliche Orter und Aufgaben. 


219 


wenn also b z c = - r a 3 . Ist dagegen x ^ J a, so muss 

b 2 c &lt;C T^y a 3 sein, was also die Bedingung fur zwei Auf- 

losungen wird. Dies wird leicht bewiesen mit Hiilfe der 

Satze iiber die Tangenten der Kegelschnitte. Soil namlich 

die Tangente der Parabel im Punkte P die Hyperbel be- 

riihren, deren Asymptoten die Geraden y = und y = a 

sind, so muss P die Mitte des 

Stiickes der Tangente sein, welches 

die Asymptoten abschneiden. Der 

Schnittpunkt &gt;S der Tangente mit 

der Abscissenaxe, die Tangente im 

Scheitelpunkt der Parabel ist, soil 

ferner die Mitte zwischen P und : 

dem Schnittpunkt mit der Ordi- 

natenaxe sein. Daraus ergiebt sich, 

dass D Q, die Abscisse von P, gleich 

| DZ ist. Man iiberzeugt sich leicht, 

dass, wie Archimedes sagt, die fur die Moglichkeit der 

Losung gestellte Bedingung, & 2 c&lt;^ 7 a 3 , wirklich bei 

der Kugelteilung erfiillt ist, bei der der Punkt B auf Q, 

und T zwischen Q und Z fallt. Man erhalt jedoch nur 

eine Losung, da die Punkte X auf verschiedene Seiten 

von B fallen wurden, und man nur denjenigen benutzen 

kann, der auf DB fallt. 

Archimedes fiihrt also seine Aufgabe tiber Kugel 
teilung zuriick auf eine kubische Gleichung von sehr 
allgemeiner Form, die, wie bereits bemerkt wurde, auch 
einen Beweis liefert fur den letzten Satz des zweiten 
Buches iiber die Kugel und den Cylinder, und die ferner 
Anwendung findet bei einigen von Archimedes an 
anderen Orten gestellten Aufgaben iiber die Bestimmung 
von Segmenten von Ellipsoiden und Hyperboloiden rnit 
gegebenem Volumen. Apollonius Bestimmung von Nor- 


220 


Die griechische Mathematik: 


malen 1st dagegen ein Beispiel fur eine Aufgabe, die di- 
rekt durch Kegelschnitte gelost wird ohne Aufstellung einer 
Gleichung. Wir wollen uns damit begniigen seine Lo- 

sung in der Sprache der jetzigen 
Algebra mitzuteilen. sei ein 
Punkt (a? lf 1/j) der an einen 
Punkt M O, y) eines Kegel- 
schnittes gezogenen Normalen, 
G der Schnittpunkt dieser Nor 
malen mit der Hauptaxe, und 
N die Projektion von M auf 
dieselbe Axe. Nehmen wir dann 
diese zur Abscissenaxe und rechnen wir, um die von 
Apollonius besonders behandelten Falle zusammen- 
zufassen, die Grossen nach moderner Weise mit Vor- 
zeichen, so haben wir 

y NG 


N G 1st die Grosse, die wir jetzt die Subnormale nennen, 
und betragt fur die Parabel ^-; dadurch verwandelt sich 
die gefundene Gleichung in 


-(! -)f-*if-0; 


fiir die Ellipse und Hyperbel ist die Subnormale, wenn 
man den Mittelpunkt zum Anfangspunkt nimmt, beziehungs- 

weise + a?, und dadurch verwandelt sich die Gleichung in 


25. Raumliche Orter und Aufgaben. 221 

In beiden Fallen wird, wenn der Punkt (a? 1 , y^} ge- 
geben 1st, der Punkt (a?, y) auf einer Hyperbel liegen, 
deren Schnittpunkte mit der gegebenen Kurve die Fuss- 
punkte der vom Punkte (x l} y^) ausgehenden Normalen 
sein werden. Diese Bestimmung der Normalen benutzt 
Apollo nius urn ausfiihiiich zu untersuchen, wie viele 
Normalen sich von den verschiedenen Punkten der Ebene 
ziehen lassen. Die Hauptsache ist hier diejenigen Punkte 
zu bestimrnen, deren entsprechende Hyperbeln die gegebene 
Kurve beruhren. Die von diesen Punkten gebildete Kurve 
bildet namlich den Ubergang zwischen den Teilen der 
Ebene, die so beschaffen sind, dass man von den Punkten 
des einen Teiles zwei Normalen mehr ziehen kann als 
von denjenigen des an deren. Indem Apollonius die Be- 
dingungen fiir die erwahnte Beruhrung sucht, findet er, 
wie man die Ordinate eines Punktes dieser Kurve be- 
stimmen kann, wenn man die Abscisse kennt. Die Kurve 
ist dieselbe, die man jetzt die Evolute des Kegelschnittes 
nennt. Indessen ist weder bei Apollonius noch bei den 
Alten iiberhaupt die Rede von irgend einer genaueren 
Untersuchung dieser Kurve, als die hier angefuhrte ist. 


26, Die berechnende Geometric, 

Aus Archimedes Integrationen, wie wir sie genannt 
haben, aus Apollonius Lehre von den Kegelschnitten 
und aus der von den Griechen gemachten Anwendung der 
Kegelschnitte zur Diskussion von Aufgaben, die in unserer 
Mathematik von Gleichungen dritten und vierten Grades 
abhangen, erkennen wir, bis zu welcher Hohe die griechische 
Geometrie und die Mathematik in geometrischer Form sich 
gehoben hatten. Wir haben friiher gesehen, mit welcher 
Strenge man die Algemeingiiltigkeit dieser Mathematik 


222 Die griechische Mathematik: 

sicher stellte. Wir haben indessen auch oft Gelegenheit 
gehabt zu erwahnen, dass man bei diesem Streben nach 
Algemeingultigkeit zu wenig Gewicht legte auf die Ent- 
wickelung der Hiilfsmittel fiir wirkliche numerische Berech- 
nung, durch welche die Mathematik praktische Anwendung 
erhalten konnte. 

Selbstverstandlich vernachlassigte man jedoch diese 
Seite der Sache nicht ganz. Man fuhr fort die geometrischen 
Satze, die man von den agyptischen Landmessern gelernt 
hatte, auf das Landmessen anzuwenden, und fiigte dazu 
auch die Anwendung der einfachsten von den Satzen, die 
man selbst fand. Es wiirde ungereimt sein anzunehmen, 
dass die Mathematiker, die Einsicht genug besassen um 
ihren Resultaten eine so allgemeingultige Form zu geben, 
nicht auch eben dadurch die specielle Anwendbarkeit 
dieser Resultate auf die numerischen Aufgaben kennen 
sollten, die in der Praxis vorkommen konnen. Denjenigen, 
welche eine so scharfsinnige Lehre von den Proportionen 
ausgearbeitet haben, haben die Mittel fiir die Behandlung 
solcher Aufgaben, die in der Praxis unter die einfache 
oder zusammengesetzte Regula de Tri gehoren, nicht 
gefehlt. Hero - - bei dem wir zugleich eines von den 
geometrischen Resultaten antreffen, von dessen Anwendung 
in der Praxis narnentlich die Rede sein konnte, namlich 
die Bestirnmung des Inhaltes eines Dreiecks aus seinen 
Seiten - hat in seinen Aufgabensammlungen Zeugnis 
gegeben von der numerischen Anwendung wenigstens der 
einfachsten planimetrischen und stereometrischen Satze 
und von der Auflosung von Gleichungen zweiten Grades. 
Das beschrankte Gebiet der Geometrie, aus dem diese 
Anwendungen genommen werden, und der bescheidene 
Grad von Genauigkeit, rnit dem Hero sich bei seinen 
Berechnungen begniigt, deuten jedoch darauf bin, dass 


26. Die berechnende Geometrie. 223 

in der That guter Grand vorhanden 1st, diese Seite der 
griechischen Mathematik etwas niedriger zu stellen. 

Es war nicht ausschliesslich der schon (S. 57 61) 
erwahnte Mangel an Rechenfertigkeit, der in den besten 
Tagen der griechischen Geometrie ihrer Anwendung auf 
wirklicheBerechnungen Hindernisse entgegenstellte, sondern 
ihre Resultate waren fur solche nicht besonders eingerichtet. 
Die Aufgaben werden in der Form von Konstruktionen 
gelost, und diese lassen sich gewiss oft in Berechnung 
umsetzeri, so wie man es sicher lange vor Hero gethan 
hat. Indessen giebt es, selbst wenn wir uns an die 
elementare Geometrie halten wollen, ein wichtiges Gebiet, 
auf dem diese Umsetzung sich nicht bewerkstelligen lasst, 
namlich dasjenige, wo unter den Grossen, die sich durch 
einander bestimmen lassen sollen, nicht bloss Strecken, 
Flachen und Volumina vorkommen, sondern auch Winkel. 
Mit anderen Worten, die Griechen besassen in der besten 
alexandrinischen Zeit noch keine Trigonometric, ein 
Mangel, dem erst die grossen Geometer und Astronomen 
jener Zeit abzuhelfen begannen. Bevor dies geschah, war 
man jedoch nicht ganz von solchen Untersuchungen aus- 
geschlossen, die man jetzt auf trigonometrischem Wege 
vornimmt. Die Satze 12 und 13 im 2ten Buche von 
Euklids Elementen driicken ganz dasselbe aus wie die 
Formel 

a a =62 +c 2 Zbccosa 

und lassen sich ebenso ganz wie diese bei alien allge- 
meinen Untersuchungen anwenden, bei denen der Winkel 
a nicht gerade in Winkelmaass gegeben ist oder in 
solchem auszudrucken versucht wird. Wie scharf man 
den Zusammenhang zwischen der Grosse von Winkeln 
und dem Verhaltnisse von Strecken auffasste, geht aus 
den Satzen in Euklids Data hervor, die aussagen, dass 
ein Dreieck unter gewissen Bedingungen der Gestalt nach 


224 Die griechische Mathematik: 

gegeben 1st. Nach Satz 80 dieses Buches 1st das der 
Fall bei einem Dreieck, von clem ein Winkel und das 
Verhaltnis zwischen dem Rechteck aus den einschliessenden 
Seiten und dem Quadrat der gegenuberliegenden Seite 
gegeben sind. Die iibrigen Winkel des Dreiecks und die 
Verhaltnisse zwischen seinen Seiten werden also durch 
diese Grossen bestimmt. Im iibrigen enthalten die Data 
weitergehende Satze derselben Art. 

Fiir numerische Berechnung lassen solche Satze sich 
jedoch erst dann benutzen, wenn unter der einen oder 
anderen Form der Zusammenhang zwischen einem in 
Winkelmaass gegebenen Winkel und dem Verhaltnis von 
Strecken bestimmt 1st. Einen derarligen Zusammenhang 
kannte man wohl fur die wenigen Centriwinkel reguliirer 
Polygone, deren Seiten man konstruieren und dadurch 
berechnen konnte; aber teils scheint man diese Berech 
nung lange unteiiassen zu haben, teils war hier nur die 
Rede von ganz einzelnen Winkeln. 

Hieraus lasst sich schliessen, dass die Anwendung 
der Mathematik auf die Astronomic, die mit Eudoxus 
ihren Anfang genommeii hatte, zu Euklids Zeiten noch 
nicht zu sonderlich genauen Bestimmungen gefiihrt haben 
kann. Denn das, was man einigermassen genau beob- 
achten kann, sind eben Winkel, und diese verstanden 
die Mathematiker nicht zu gebrauchen, weshalb man 
dann wieder umgekehrt auf derartige Bestimmungen 
keinen Fleiss verwandte. Man hat sicher in der Schule 
des Eudoxus und namentlich in derjenigen Platos seine 
Gleichgiiltigkeit in dieser Beziehung auf dieselbe Weise 
beschonigt wie die Gleichgiiltigkeit gegeniiber der aus- 
fiihrlichen Berechnung von irrationellen Grossen, und 
gemeint, dass man sich, wenn sich bei empirischen Be 
stimmungen doch keine mathematische Genauigkeit er- 
reichen liesse, ebensogut mit einer groberen Bestimmung 


26. Die berechnende Geometrie. 225 

begniigen konne. Wenn man solche als Postulate auf- 
stellte, so kam es nur darauf an mit absoluter Sicher- 
heit diejenigen Resultate abzuleiten, die aus diesen einmal 
aufgestellten Voraussetzungen folgen. 

Wurde man nun auch auf diese Weise dahin gebracht 
das Messen von Winkeln zu vernachlassigen, so mussten 
dennoch Winkelgrossen sich bei den astronomischen Be- 
stimmungen von selbst geltend machen. Beispielsweise 
konnten sie sich darbieten als Verhaltnisse zwischen den 
Zeiten, in denen ein Bogen und der ganze Kreis bei einer 
gleichformigen Kreisbewegung durchlaufen werden. Ein 
Beispiel fiir die Art und Weise, wie man bei richtigen 
mathematischen Schliissen diese Art von Bestimmungen 
anzuwenden verstand und zugleich ein Beispiel fiir 
die Ungenauigkeit der darnaligen Bestimmung von Winkeln 
- besitzen wir in einer uberlieferten Untersuchung des 
Ari starch von Samos iiber Abstand und Grosse der 
Sonne und des Mondes. Bei dieser Untersuchung, bei 
der Aristarch jedoch Vorganger gehabt hat, namentlich 
den Eudoxus, wird teils der Radius des Erdschattens in 
der Entfernung des Mondes von der Erde benutzt, dessen 
Verhaltnis zum Radius des Mondes aus der Dauer der 
Verfinsterung berechnet wird, teils der Winkelabstand 
zwischen Sonne und Mond in dem Augenblick, wo der 
Mond sich genau halb erleuchtet zeigt. Wahrend irn 
iibrigen der Proportionslehre gemass mit Verhaltnisse n 
zwischen Entfernungen und Radien operiert wird, wird 
dieser letzte Winkel in Winkelmaass gefunden. Sein 
Komplement wird von Aristarch auf 3 veranschlagt, 
und daraus wird abgeleitet, dass der Abstand der Sonne 
19mal so gross ist wie del- des Mondes, was dasselbe ist 
als wenn man annimmt, dass in unserer trigonometrischen 
Sprache sin 3 ^g. 

15 


226 Die griechische Mathematik: 

Um dahin zu gelangen, benutzt Ari starch einen 
Hiilfssatz, der sich trigonometrisch folgendermassen aus- 

driicken lasst: Wenn der Winkel ft von bis wachst, 

ft ft 

so wircl das Verhaltnis -wachsen and ^ abnehmen. 

sin ft tgft 

Diesen Satz betrachtet er als bekannt, und wir erkennen 
auch leicht die Verbindung zwischen ihm und alteren 
Untersuchungen, deren Bedeutung uns dadurch klarer wird. 

ft ft 

und - - sind namlich dem Radiusvector und der 


sinft tgft 

Abscisse der Quadrat rix (vergl. S. 77) proportional, und 
die angefuhrten Resultate haben sich dann natiirlich 
an die Untersuchung dieser Kurve angeschlossen. 

Zugleich wusste man aus der Bestinimung der Seiten 

regularer Polygone, dass sin 77 = ^ und tg = 


" JT- 1 


oder, da \/2&gt; , dass tg &lt; . Hieraus erhalt man zur 
5 o 1.2 

Bestimmung von sin 3 oder sin 

n I n 1 

Sm 60&gt;10 8 ^6 &gt; 20 

. jz JT 2 5 1 

mithin naherungsweise sm3 = T 1 g . 

Es ist beachtenswert, dass sich dasselbe Verfahren, 
da sinft &lt;^ft&lt;itgft, oder wie die Griechen es ausdriicken, 
da ein einbeschriebenes Polygon einen kleineren, ein um- 
beschriebenes einen grosseren Umfang hat als der Kreis, 
auf eine genahrte Bestimmung von n anwenden lasst. 
Danach ergiebt sich 


Bestimmungen dieser Art konnte man seit den Zeiten 


26. Die berechnende Geometric. 227 

Antiphons und Brysons (S. 69, 70) ausfiihren, denn da 
man die von diesen begangenen Fehler erkannte, war 
man auch imstande sie zu vermeiden. Die geometrischen 
Hiilfsmittel fur die Erreichung einer grosseren Genauigkeit, 
die in der Berechnung der Umfange von regularen Poly- 
gonen mit mehr Seiten bestehen wiirden, besass man 
auch zu den Zeiten Euklids. In dieser Beziehung diir- 
fen wir namlich nicht nur an Polygonseiten den ken, 
deren Irrationalitat er ausdrucklich darstellt, denn dabei 
beschrankt er sich auf diejenigen, die bei der Konstruk- 
tion regularer Polyeder, benutzt werden, und er teilt nicht 
alles mit, was man, nach seinem Buche und z. B. nach 
Aristarchs Benutzung der Seite des regelmassigen um- 

beschriebenen Achtecks f 2 tg \ zu urteilen, damals ver- 

mochte. Um jedoch wirklich die vorliegenden geome 
trischen Hiilfsmittel fiir eine genauere Bestimmung von 
jz, oder fiir eine genauere Anwendung gemessener Winkel 
zu benutzen, musste sich einmal das Bediirfnis nach 
solchen zeigen, und zweitens war grosse Energie er- 
forderlich um damals eine Berechnung durchzufiihren, 
bei der verschiedene Quadratwurzeln auszuziehen waren. 
Unter anderem machte sich dies Bediirfnis geltend bei 
der, im Vergleich mit fruheren Messungen, genaueren 
Bestimmung der Schiefe der Ekliptik durch Eratosthenes 
und bei seiner Gradmessung. Um bei diesen den Unter- 
schied in der Polhohe und die Entfernung von zwei 
Orten mit nahezu gleicher Lange fiir die Berechnung des 
Erddurchmessers zu benutzen, musste man eine leidlich 
gute Bestimmung von n besitzen. Archimedes war es, 
der in seiner Kreismessung die Schwierigkeiten iiberwandt, 
die sich einer solchen entgegen stellten. Wir wollen hier 
kurz iiber den Inhalt seiner Schrift berichten, in der 
jedoch leider keine Aufklarung dariiber enthalten ist, wie 

15* 


228 Die griechische Mathematik: 

er die grosste der vorhandenen Schwierigkeiten iiberwand, 
namlich die Bestimmung der Quadratwurzeln. 

Archimedes beginnt damit mittels des Exhaustions- 
beweises darzuthun, dass der Kreis denselben Inhalt hat wie 
ein Dreieck, das die Peripherie zur Grundlinie und den 
Radius zur Hohe hat. Dadurch wird die Quadratur des 
Kreises auf die Berechnung der Kreisperipherie zuriickge- 
fiihrt. Archimedes beweist, dass das Verhaltnis dieser 
Peripherie zum Durchmesser, also die Zahl, die in neuerer 
Zeit n genannt worden ist, kleiner als 3^, aber 
grosser als 3^ ist. Das wird dadurch bewiesen, dass 
selbst der Umfang des einbeschriebenen 9 Geeks grosser 
ist als 3^J d, und selbst der Umfang des umbeschriebenen 
96ecks kleiner ist als 3^ c?, wenn wir niit d den Durch 
messer des Kreises bezeichnen. 

Zu diesem Ergebnis gelangt Archimedes dadurch, 
dass er aus den Verhaltnissen zwischen den Seiten eines 
rechtwinkeligen Dreiecks mit einem gewissen Winkel x 
die Verhaltnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkeligen 
Dreiecks mit dem halben Winkel (J x) bestimmt. Wenn 
er die obere Grenze fiir die Peripherie sucht, so lasst er 
die Dreiecke mit den YVinkeln x und ^x die diesen 
Winkeln anliegende Kathete gemeinsam haben, und wenn 
er die untere Grenze sucht, die Hypotenuse; in beiden 
Fallen aber lasst die gefundene Relation zwischen den 
Verhaltnissen sich in der trigonometrischen Sprache 
unserer Zeit wiedergeben durch 


sinx 


( tgx \ 

loder- - ). 

\ secx1/ 


l+cosx\ secx+ 

Diese Ubereinstimmung wird bei der Anwendung 
jedoch durch den Umstand verdeckt, dass bei der einen 
Untersuchung obere Grenzen fiir die Quadratwurzeln ge- 
braucht werden, zu denen der tFbergang zwischen den 


25. Die berechnende Geometric. 229 

Verhaltnissen verschiedener Seiten desselben rechtwinke- 
ligen Dreiecks (sm 2 x -f cos 2 a?= 1) Veranlassung giebt, 
und bei der anderen untere Grenzen, und dass diese durch 
verschieden gebildete Naherungswerte ausgedriickt werden. 
Indera Archimedes von einem rechtwinkeligen Dreieck 

mit dem Winkel ausgeht und wiederholt zu neuen Drei- 
b 

ecken iibergeht, findet er, dass (mit unseren trigonome- 
trischen Bezeichnungen fur die untersuchten Verhaltnisse) 

si 153 n 66 


^96 ^46731 96" 2017* 

und gelangt dadurch zu den oben angegebenen Grenzen 
fiir n. 

Nachdem durch Archimedes Arbeit das Eis ein- 
mal gebrochen war, soil A polio ni us eine noch genauere 
Berechnung geliefert haben. Vielleicht riihrt von ihm 
der Wert 3,1416 her, der im wesentlichen der Genauig- 
keit entspricht, die sich spater in den Sehnentafeln des 
Ptolemaus findet, und dem wir spater bei indischen 
Schriftstellern begegnen werden. 

Archimedes Schrift enthalt f aktisch Bestimmungen 

der unteren Grenzen fiir sin und der oberen Grenzen 

n 

fiir tg- fiir n = 6, 12, 24, 48, 96. Die letzte Bestim 
mung liefert auch eine brauchbare obere Grenze fiir 
, und Ari starch s Arbeit zeigt, dass man imstande 

war sie zu benutzen. Apollonius Bestimmung von n 
muss zu einer noch genaueren Bestimmung des sinus 
eines kleinen Bogens oder derjenigen Grosse gefiihrt 
haben, iiber deren Werte wir Tabellen von spateren grie- 
chischen Astronomen besitzen, namlich der Sehne des 


230 Die griechische Mathematik: 

doppelten Bogens. Um eine vollstandige Tafel der Sehnen 
zu Vielfachen dieses kleinen Bogens zu berechnen, 1st 
nun welter nichts erforderlich als die Kenntnis des Satzes 
iiber einbeschriebene Vierecke, der jetzt der ptoleinaische 
genannt wird, weil Ptolemaus ihn ausdriicklich fiir 
die Berechnung seiner Sehnentafel anwendet, oder die 
Kenntnis ernes anderen Satzes, der sich auf ahnliche 
Weise anwenden lasst. Einen solchen hat man zu und 
nach der Zeit des Archimedes und Apollonius leicht 
finden konnen in dem Moment, wo man wirklich eine 
Sehnentafel wunschte, und die grosste Schwierigkeit hat 
auch hier darin bestanden, die zur Durchfiihrung der 
Arbeit notwendigen Quadratwurzeln zu berechnen; aber 
gerade dadurch wurde man gezwungen, die dazu dienenden 
Methoden zu verbessern. Wie friiher angefiihrt (S. 62) 
war dieser Fortschritt mit der Einfiihrung der Sexagesi- 
malbriiche verbunden. 

Die erste Sehnentafel, von der wir sichere Nachricht 
haben, stainmt aus dem zweiten Jahrhundert v. Chr. und 
ist von dem grossen Astronomen Hipparch verfasst. 
Diese ist, ebenso wie eine spatere von Menelaus, ver- 
loren gegangen. Die Sehnentafel, die sich in Ptolemaus 
Almagest findet, ist uns dagegen iiberliefert und hat, da 
sie auf den alteren hat aufgebaut werden konnen, die 
grosste Volstandigkeit und Genauigkeit erhalten. Sie 
geht mit Intervallen von -J bis zu einem Bogen von 180. 
Da der sinus die Halfte von der Sehne des doppelten 
Bogens ist, so spielt diese Tafel dieselbe Rolle wie eine 
Tafel der sinus von solchen Bogen, die mit Intervallen 
von J bis zu 90 hinaufreichen. Der Durchmesser des 
Kreises wird gleich 120 gesetzt, und die Sehnen werden 
nach dem Sexagesimalsystem in Ganzen, Minuten und 
Sekunden ausgedriickt, das heisst, wie bei der Winkel- 
teilung, in Briichen mit den Nennern 60 und 60 2 ; das 


26. Die berechnende Geometrie. 231 

Verhaltnis der Sehnen zum Durchmesser wird also in 
Briichen mit dem Nenner 432000 angegeben. Zur Be- 
nutzung bei der Interpolation werden Dreissigstel der 
DifTerenzen zwischen den aufeinander folgenden Sehnen, 
den Bogendifferenzen von 1 Minute entsprechend, hinzu- 
gefiigt. 

Fur die Berechnung dieser Taf el benutzt Ptolemaus 
hauptsachlich den Satz iiber das einbeschriebene Viereck. 
Dieser lasst sich unmittelbar benutzen, um die Sehne zu 
der Summe oder Differenz zweier Bogen, und dadurch 
auch die Sehne zu dem verdoppelten und halbierten 
Bogen zu berechnen. Wenn man von den bekannten 
Sehnen ausgeht, so kann man auf diesem Wege dahin 
gelangen, Sehnen zu Bogen von 1^ und | zu berechnen. 
Aus diesen wird die Sehne zu 1 durch eine Art von 
Interpolation berechnet, die darauf beruht, dass das Ver 
haltnis zwischen Sehne und Bogen abnimmt, wenn der 
Bogen wachst, dass also 

Sehne | Sehne 1 Sehne 1^ 

~r i H 

Fur den hier benutzten geometrischen Satz, den auch 
Ari starch anwandte, teilt Ptolemaus einen hubschen 
geometrischen Beweis mit. Nachdem die Sehne zu 1 
auf diese Art gefunden ist, wird der ptolemaische Satz 
fur die successive Berechnung der ubrigen Sehnen benutzt. 

Da eine Sehnentafel dieselbe Rolle spielt wie eine 
Sinustafel, so kann man, wenn man will, mit Hiilfe 
dieser Tafel und des pythagoreischen Lehrsatzes jedes 
Stiick eines ebenen rechtwinkeligen Dreiecks durch zwei 
andere, unter denen sich eine Seite befindet, bestimmen 
und dadurch, wenn auch durch beschwerliche Rechnungen, 
die Bestimmungen ausfiihren, die in die ebene Trigono- 
metrie hineingehoren. Im Almagest finden sich Beispiele 


232 Die griechische Mathematik: 

fiir verschiedene solcher Bestimmungen. Den Astronomen 
lag jedoch sehr viel daran, auch die spharisch-trigo- 
nometrischen Bestimmungen zu gewinnen. Hierzu war 
vor alien Dingen etwas spharische Geometric erforderlich. 


27, Spharische Geometrie, 

Aus der Geometrie der Kugel haben wir bei Euklid 
nur den Satz iiber das Verhaltnis zwischen den Inhalten 
von Kugeln gefunden, zu dem Archimedes die exakte 
Bestlmmung von Oberflache und Inhalt hinzufiigte; aber 
dabei konnten die Astronomen nicht stehen bleiben. Nament- 
lich mussten sie Mittel haben um die Lage von Punkten 
auf der Kugel, von Sternen am Himmel, von Orten auf 
der Erde zu charakterisieren. Das geschieht durch Be- 
ziehung auf einen grossten Kreis, der auf die eine oder 
andere Weise als bekannt betrachtet werden darf, auf 
Horizont, Aquator oder Ekliptik am Himmel, Aquator 
auf der Erde, und diese Beziehung konnte nicht wohl 
von der verschieden sein, die jetzt durch die gewohnlichen 
spharischen Koordinaten ausgefuhrt wird. Eine solche 
Beziehung liegt zu Grunde, wenn Eratosthenes, um 
dieGrosse der Erde zu bestimmen, die Entfernung zwischen 
zwei Orten von derselben Lange und bekanntem Breitenunter- 
schiede misst, selbst wenn die Einfuhrung der Bezeich- 
nungen Lange undBreite erst dem Hipparch zugeschrieben 
wird. Im iibrigen wollen wir daran erinnern, dass die- 
jenige Einteilung der Kugel, die Euklid im 12tenBuche 
der Elernente anwendet (S. 171), genau einer Einteilung 
durch solche Koordinaten entspricht. 

Eine mehr oder weniger direkte Anwendung sphari- 
scher Koordinaten lasst sich benutzen um die Punkte 
des Himmels oder der Erde auf einer gedrechselten Kugel 


27. Spharische Geometric 233 

abzubilden. Das erstere 1st jedenfalls geschehen. Indessen 
waren die Griechen durch ihre hoch entwickelte Geometric 
in den Stand gesetzt die schwierigeren Aufgaben zu losen, 
die sich darbieten, wenn man auf zweckmassige Weise 
eine Kugel auf einer Ebene abbilden will. Mit Rucksicht 
hierauf wird es in dieser Darstellung der Geschichte der 
Mathematik geniigen anzufiihren, dass die Griechen ver- 
schiedene Anwendungen der in geometrischer Beziehung 
wichtigen und interessanten stereographischen Projek- 
tion gemacht haben. Diese besteht wie bekannt in einer 
Centralprojektion der Kugelflache von einem auf ihr 
gelegenen festen Punkt auf denjenigen grossten Kreis, 
der den festen Punkt zhm Pol hat, und zeichnet sich u 
dadurch aus, dass jeder Kreis auf der Kugel als Kreis 
auf die Ebene projiciert wird, und dass Winkel ibre 
Grosse behalten. 

Aus den vorliegenden Anwendungen weiss man, dass 
die Griechen wenigstens die erste von diesen Eigenschaften 
gekannt haben, die in naher Verbindung steht mit der 
Lehre von den beiden Systemen von Kreisschnitten an 
einem schiefen Kegel. Eine Bestimmung von diesen findet 
sich bei Archimedes, und die Lehre von den verschie- 
denen Schnitten an demselben Kegel wird von Apollo- 
nius weiter entwickelt. Die stereographische Projektion 
darf also wohl als eine Frucht der Lehren dieser Manner 
betrachtet werden. Sie fand zu den Zeiten Hipparchs An- 
wendung an einem Apparat, der gebraucht wurde., um 
aus der augenblicklichen Hohe eines bekannten Sterns 
die Zeit in der Nacht zu bestimmen. Dazu benutzte 
man zwei Scheiben, von denen die eine Projektionen 
bekannter Sterne enthielt, die andere Projektionen des 
Horizonts und parallel zu ihm gelegter Schnittkreise, 
beide Teile vom Sudpol des Himmels aus projiciert. Es 
kam darauf an, die eine Scheibe so um das Bild des 


234 Die griechische Mathematik : 

Nordpols zu drehen, dass der beobachtete Stern auf dem 
seiner Hdhe entsprechenden Schnittkreise zu liegen kani. 
Erne andere Anwendung findet sich in der Geographic 
des Ptolemaus. 

Die griechische Geometric lieferte jedoch nicht nur 
die Mittel, um astronomische Bestimmungen durch solche 
mechanische Operationen vorzunehmen. Wir sahen soeben, 
dass man seit den Zeiten der grossen Geometer begonnen 
hatte sich mit den tabellarischen Arbeiten zu beschaftigen, 
die notwendig waren um derartige Aufgaben durch Be- 
rechnung zu losen. Gleichzeitig muss die Geometric die 
spharisch-geometrischen Satze hervorgebracht haben, auf 
denen die Anwendung der Tabellen beruht, und die in 
anderer Form unseren spharisch-trigonometrischen Formeln 
liber das rechtwinkelige Dreieck entsprechen. Diese Form 
lernen wir bei Ptolemaus kennen. Er benutzt dafiir 
einen Satz, den man nach seiner Angabe den Satz des 
Menelaus genannt hat. In seiner planimetrischen Ge- 
stalt heisst dieser Satz: Wenn eine Transversale die den 
Ecken A, B und C eines Dreiecks ABC gegeniiber- 
liegenden Seiten in D, E und F schneidet, so ist 


_ CE AF 

CD ~AE ~ " 


der Satz bleibt aber auch bestehen, wenn man die 
geraden Linien mit grossten Kreisen auf derselben Kugel 
vertauscht, die Strecken mit den sinus der Bogenstrecken, 
oder, wie Ptolemaus sagen muss, mit den Sehnen des 
doppelten Bogens. Wahrscheinlich ist der Satz in beiden 
Gestalten weit alter als Menelaus. Die planimetrische 
gehort durchaus unter die Gegenstande, die in Euklids 
Porismen behandelt wurden, und was den spharisch-geo 
metrischen Satz angeht, so verstand wenigstens Hip parch 


27. Spharische Geometrie. 235 

die Berechnungen auszufiihren, zu denen er bei Ptolemaus 
benutzt wird. 

Diese Berechnungen sind dieselben, die in der spha- 
rischen Trigonometrie ausgefuhrt werden durch die 4 Rela- 
tionen, die in einem rechtwinkeligen spharischen Dreieck 
zwischen den 3 Seiten oder zwischen 2 Seiten und einem 
Winkel stattfinden. ABC sei ein solches Dreieck mit 

dem rechten Winkel bei B, und 
D, E und F seien die Punkte, 
in denen der grosste Kreis mit 
dem Pol A die Seiten des 
spharischen Dreiecks schneidet. 
Dann ist in Gradmaass 


Die iibrigen Bogen der Figur 
sind Seiten des Dreiecks ABC 
oder deren Komplemente. \Vemi 

man nun nach einander die vier Dreiecke ABC, 
CDE, AFE und DBF und jedesmal den vierten 
grossten Kreis als Transversale betrachtet, so erhalt man 
eben die erwahnten vier Relationen. Erst bei spaten 
arabischen Schriftstellern finden wir eine Relation zwischen 
2 Winkeln und eine Seite. 


28, Verfall der griechischen Geometrie, 

Die Entwickelung der berechnenden Geometrie bei 
den Griechen, die wir soeben verfolgt haben, reichte uicht 
ganz wenig iiber den Zeitpunkt hinaus, an dem die iibrige 
griechische Geometrie ihren Hohepunkt erreicht hatte. 
In den mehr abstrakten, geometrischen und in geome- 
trischer Form dargestellten rein mathematischen Unter- 
suchungen, in deneri die Griechen besonders weit gelangten, 


236 Die griechische Mathematik: 

konnen wir namlich eigentlich nach Apollo nius keinen 
Fortschritt von grosserer Bedeutung nachweisen. Das 1st 
indessen nicht so zu verstehen, als ob die mathematische 
Arbeit sofort nach ihm aufgehort hatte. Der gelegte Grund 
war so sicher, und die angewandten Methoden der Behand- 
lung so fruchtbar, dass es den Schiilern der grossen 
Mathematiker, so lange die Zeitverhaltnisse es zuliessen, 
leicht gewesen sein muss, in den angefangenen Richtungen 
weiter zu arbeiten. Das ist auch geschehen. Indessen 
ist es leicht erklarlich, dass die Ausbeute dieser Arbeit, 
die sich gerade dadurch, dass sie auf den einfacheren 
Untersuchungen der Meister aufgebaut wurde, auf weniger 
zugangliche und mehr specielle Gebiete erstreckt haben 
kann, in der nun kommenden Zeit des Verfalls weder 
so viel Interesse noch so viel Verstandnis hat finden 
konnen wie die zu Grunde liegenden einfacheren Arbeiten, 
und deshalb verloren gegangen ist. 

In der That liegen denn auch nur vereinzelte Mit- 
teilungen vor iiber die geometrischen Arbeiten der Nach- 
folger oder Zeitgenossen der grossen Geometer. Von 
Nikomedes und seiner Konchoide haben wir bereits 
gesprochen (S. 82). Von Perseus wird berichtet, dass 
er die sogenannten spirischen Kurven untersucht habe, 
die, wie man annimmt, Schnitte an der Flache waren, 
die durch Umdrehung eines Kreises urn eine in seiner 
Ebene liegende Axe erzeugt wird (Wulst). Eine einzelne 
von diesen Kurven ist vielleicht fruher von Eudoxus 
untersucht worden, der zur Darstellung der scheinbaren 
Bahnen der Planeten und ihrer Knotenpunkte eine Kurve, 
Hippopede genannt, angewandt hat, die moglicherweise 
dieselbe gewesen ist, die wir jetzt Lemniskate nennen. 
Die Cissoide des Diokles ist auch in unseren Tagen be- 
kannt und wird als niitzliches Beispiel fur die Anwendung 
der Differential- und Integralrechnung auf die Geometric 


28. Verfall der griechischen Geometrie. 237 

benutzt. Diokles verdankt man auch eine neue Losung 
von Archimdes kubischer Gleichung mit Hiilfe der 
Kegelschnitte (vergl. S. 216). 

Aus der nachsten Zeit nach den grossen Geometern 
stammen sicherlich auch die wichtigsten der von Pappus 
angefuhrten Resultate, die sich nicht auf diese selbst zu- 
riickfuhren lassen. Einige konnen auch in den einzelnen 
Perioden entstanden sein, in denen das Verstandnis wieder 
aufleuchtete, und ein einzelnes legt Pappus sich selbst 
bei. Wir wollen hier einige von diesen Resultaten an- 
fiihren. Ausser der von Archimedes gefundenen ebenen 
Spiralenflache (S. 183) hat man Flachen bestimmt, be- 
grenzt von Spiralen, die auf entsprechende Weise auf der 
Kugel dargestellt werden. Archimedes Bestimmung des 
Inhaltes der Kugeloberflache wurde dabei zu Grunde ge- 
legt. Die Projektion eines ebenen Schnittes durch eine 
Erzeugende einer windschiefen Schraubenflache (deren 
Erzeugenden der Grundflache parallel sind) auf die Grund 
flache ist ein Quadratrix. - Pappus legt sich selbst 
den wichtigen allgemeinen Satz bei, dass das Volumen 
eines Umdrehungskorpers gleich ist dem Produkte aus 
der Flache, die von der Meridiankurve umschlossen 
wird, und dem Wege, den der Schwerpunkt dieser Flache 
wahrend der Umdrehung durchlauft. Dieser Satz, der nach 
einem spateren Wiederentdecker den Namen der Guldin* 
schen Regel erhalten hat, muss im iibrigen bei der von 
den Alten benutzten geometrischen Darstellung der fur 
Schwerpunktsbestimmungen notigen Integrationen sehr 
nahe gelegen haben. Pappus allgemeine Aufstellung 
desselben ist jedoch ein wirkliches Verdienst. Bei 

Pappus findet sich ferner eine Erweiterung des Ortes zu 
vier Geraden (vergl. S. 213). Fur die Bestimmung einer 
gewissen Kurve stellt er die Forderung auf, dass das 
Verhaltnis zwischen den Produkten der Abstande eines 


238 Die griechische Mathematik: 

Kurvenpunktes von zwei Gruppen von in beliebiger An- 
zahl gegebenen Geraden einen gegebenen Wert haben 
soil. Das Verhaltnis wird in tTbereinstimmung mit Eu- 
klids fiinftem Buche als ein zusammengesetztes Verhaltnis 
dargestellt (vergl. S. 145). Pappus teilt jedoch keine 
Eigenschaften der Kurve mit, die liber die Definition 
hinausgingen. Indessen ist die Kurve ein wichtiger Aus- 
gangspunkt fiir Descartes analytische Geometrie ge- 
worden. 

Wie interessant auch mehrere der hier angefuhrten 
Resultate sein mogen, so spricbt doch der Umstand, dass 
sich bei Pappus neben den zahlreichen und bedeutungs- 
vollen Mitteilungen iiber die Arbeiten der alten Mathema- 
tiker, die wir bereits bei unserer Erwahnung von diesen 
in reichem Maasse benutzt haben, keine anderen sonder- 
lich neuen Satze nachweisen lassen, dafur, dass der Zeit- 
raum zwischen Apollonius und Pappus innerhalb der 
Geometrie keinen Fortschritt von bleibender Bedeutung 
hervorgebracht hat. Dass diese 500 Jahre dann einen 
bedeutenden Riickgang in der Kenntnis und dem Ver- 
standnis der mathematischen Schatze friiherer Zeiten mit 
sich gebracht haben, war zu erwarten. Das erkennt man 
auch deutlich aus den vielen Hiilfssatzen zu den alten 
Schriften, die Pappus aus" dieser Zwischenzeit aufbewahrt 
hat. Durch die sorgfaltige, oft kleinliche Erklarung, die 
diese von Einzelheiten geben, tritt es namlich deutlich 
hervor, wie wenig man sich den Blick fiir die Bedeutung 
der Gesamtheit bewahrt hatte. 

Wenn man nun fragt, wie ein solcher Niedergang 
bei einer so griindlich und reich entwickelten Wissenschaft, 
wie die griechische es war, moglich sein konnte, so lasst 
sich wohl auf die in der historischen t)bersicht genannten 
verschiedenen ausseren Umstande hinweisen, aber diese 


28. Verfall der griechischen Geometrie 289 

geben keine geniigende Erklarung. Da, wie wir bei 
Pappus sehen, manche altere Schriften bestandig erhalten 
blieben, so konnte man erwarten, dass sich durch diese 
die veiiorene mathematische Einsicht hatte wiedergewinnen 
und die unterbrochene Entwickelung hatte wiederauf nehmen 
lassen. Doch geschah das nicht im Altertum, und bei 
den Arabern und demnachst bei den Europaern der neueren 
Zeit musste das Studium der Schriften der Alten von 
einer ganz neuen Entwickelung die zugleich nach 
anderen Richtungen bin fruchtbar war begleitet werden, 
bevor man sich das, was diese Schriften enthielten, voll- 
kommen aneignete. 

Der Grund fiir einen solchen Niedergang und fur 
das Fehlen der Bedingungen fiir einen Wiederaufbau ist 
in den Mangeln zu suchen, die in den aus dem Altertum 
iiberlieferten Schriften selbst enthalten sind. Auf diese 
Mangel haben wir gelegentlich schon hingewiesen, aber 
wir wollen sie noch einmal zusammenstellen. 

Ein Mangel hangt genau mit etwas zusammen, was 
in anderer Beziehung unsere hochste Bewunderung hervor- 
gerufen hat, namlich mit der ausserordentlichen Sorgfalt, 
mit der man sich durch bestimmte Formen der logischen 
Unanfechtbarkeit versicherte. Wegen dieser wurde nam 
lich alles bei Seite gesetzt, was die Zuganglichkeit eiieich- 
tern, einen Uberblick verschaffen oder die Absichten bei 
den einzelnen Operationen verdeutlichen konnte. Aller- 
dings erhielt sich bis zu einem gewissen Grade lange das 
Verstandnis fiir das, was durch diese Formen erreicht 
wurde, und zum Teil lernte man sie nachzuahmen; aber 
indem man seine ganze Kraft hierauf verwandte und keine 
Anleitung zu einem allgemeineren Verstandnis des ganzen 
Zusammenhanges erhielt, blieb man bei dem Interesse 
fiir diese Formen und bei einer sparsamen Aneignung 
der einfachsten von den Eigenschaften stehen, die nun 


240 Die griechische Mathematik: 

einmal in sie hineingelegt waren. Da diese Einzelheiten 
in den bewunderten Formen auftraten, so erhielten sie 
ein solches Geprage von Vollkommenheit, dass man den 
Mut zu selbstandigen Arbeiten veiiieren musste. Die Aus- 
beute aus solchen wiirde namlich, jedenfalls anianglich, 
in einer sehr viel weniger vollkommenen Form auf ge- 
treten sein. 

Mit der geometrischen Form, die die Algebra uncl 
die allgemeine Grossenlehre angenommen batten, war auch 
ein Ubelstand verbunden. Sicherlich gab diese geome- 
trische Form an Ubersichtliehkeit und Verwendbarkeit 
fiir wirkliche Ausfuhrung von algebraischen Operationen 
der jetzigen algebraischen Zeichensprache nicht so viel 
nach, wie ein moderner Leser anzunehmen geneigt sein 
wird. Derjenige, welcher mit dieser Art der Darstellung 
vertraut ist, also die Bedeutung der Figuren kennt, kann 
das Umlegen von ihnen und das Operieren mit ihnen 
mit derselben Leichtigkeit vornehmen, mit der man jetzt 
Buchstabenausdriicke versetzt und zusammenzieht, und 
ferner kann er beim mundlichen Unterricht dadurch, dass 
er auf die Figuren zeigt, die vorzunehmenden Operationen 
semen Schulern verstandlich machen. Das trug dazu bei, 
dass ein vollkommenes Verstandnis so lange aufrecht er- 
halten werden konnte, al& sich der mundliche Unterricht 
in Alexandria in Ruhe fortsetzen liess. Sobald aber diese 
Ruhe gestort wurde und die durch mundlichen Unterricht 
aufrecht erhaltene Tradition verloren ging, man also allein 
auf das Studium der sorgfaltig ausgearbeiteten Werke 
angewiesen war, musste ein empfindlicher Riickgang ein- 
treten. Die geometrische Darstellung der Algebra ist 
namlich nicht leicht zu lesen. Das wird verstandlich, 
wenn man festhalt, dass Text und Figur bis zu 
einem gewissen Grade jeder fiir sich auftreten mussen, 


28. Verfall der griechischen Geometrie. 241 

man also wahrend des Studiums von dem einen zum 
anderen bin und her fahren muss. 

Zu diesen formellen Schwachen kam nun noch eine 
andere, die wir schon oft genannt haben und die im 
wesentlichen den Inhalt selbst betraf. Die griechischen 
Mathematiker batten ihre wissenschaftliche Wiirde so 
hocb gehalten, dass sie aus ihren Hauptwerken alles aus- 
schlossen, was ihnen nicht vollkommen exakt erschien. 
Dadurch wurden, wie wir namentlich gesehen haben, als 
wir iiber das Auszieheii der Quadra twurzel sprachen, wirk- 
liche numerische Berechnungen, die in der Regel nur 
eine Annaherung geben konnten, ausgeschlossen und der 
weniger hoch geachteten Logistik zugewiesen. Damit liess 
man zugleich die praktischen Anwendungen fahren, die 
den Mathematikern batten neue Impulse geben und das 
Interesse fiir die Wissenschaft in den Zeiten batten wach- 
halten konnen, wo der Blick fiir den Wert der Wissenschaft 
selbst nicht mehr vorhanden war. 

Die schadlichen Folgen dieser Vernachlassigung der 
Anwendungen der Mathematik treten vielleicht am deut- 
lichsten hervor, wenn man ihnen die niitzlichen Folgen 
gegeniiberstellt, die sich dadurch ergaben, dass man sich 
nach einzelnen Richtungen bin solcher Vernachlassigung 
nicht schuldig machte. Wir haben soeben gesehen, dass 
die Anwendungen auf die Astronomic die Entwickelung 
der berechnenden Geometrie fortdauern liessen, nachdem 
im iibrigen ein Stillstand eingetreten .war. Zugleich sahen 
wir, dass man in Verbindung hiermit fortfuhr bedeutende 
Fortschritte in der Ausfiihrung praktischer Berechnungen 
zu machen. Dadurch entstand eine Vertrautheit mit den 
Zahlen, die sicherlich dazu beigetragen hat, die Arith- 
metik iiber den von den alteren griechischen Mathema 
tikern erreichten Standpunkt so weit hinaus zu entwickeln, 
wie sie uns bei Diophant entgegentritt. 

16 


242 Die griechische Mathematik: 


29, Die spatere griechische Arithmetik; Diophant, 

Die allgemeine wissenschaftliche Grundlage fiir die 
griechische Arithmetik haben wir aus dem 7ten 9ten 
Buche E uk lids kennen gelernt. Wenn nun auch diese 
Grundlage nicht den Umfang und die wissenschaftliche 
Sicherheit besitzt wie der in den iibrigen Biichern gelegte 
Grand fiir die Geometric und die in geometrischer Form 
gegebene allgemeine Grossenlehre, so ist dennoch dieselbe 
allgemeine Form beibehalten. Obgleich die Rede von 
Zahlen ist, werden die Satze nicht durch Zahlenbeispiele 
verdeutlicht. Ohne die Behandlung vieler solcher Zahlen 
beispiele kann die allgemeine Theorie jedoch nicht en I- 
standen sein. So haben die Pythagoreer sicheiiich bereits 
viele Beispiele fiir die sogenannten vollkommenen Zahlen 
gekannt. Uber verschiedene andere Zahlenformen, nament- 
lich die Polygonalzahlen, mit denen man sich friihzeitig 
beschaftigte, haben wir bereits gesprochen, als wir die 
geometrische Arithmetik schilderten. Derartige Unter- 
suchungen sind sicherlich in friiheren Zeiten mit der 
praktischen Ausrechnung solcher Zahlen verbunden ge- 
wesen. Endlich haben wir gesehen, dass eine Klasse von 
zahlentheoretischen Untersuchungen friihzeitig die Auf- 
merksamkeit auf sich zog, namlich solche, die die An- 
wendung der allgemeinen Losungen der Gleichungen zweiten 
Grades auf numerische Gleichungen betrafen. Man unter- 
suchte die Bedingungen dafiir, dass Zusammensetzungen 
von Zahlen zu rationalen Auflosungen der quadratischen 
Gleichungen fiihrten, also die Bedingungen dafiir, dass 
gewisse Zahlengebilde Quadrate werden. Das muss in 
der Regel bei der Behandlung solcher Gleichungen ge- 
schehen, die wir jetzt unbestimmte Gleichungen zweiten 
Grades nennen. Wir haben auch gesehen, dass diese 


29. Die spatere griechische Arithmetik; Diophant. 243 

sich bei der genaherten Ausziehung der Quadratwurzel 
aus einzelnen bestimmten Zahlen, wie 2, benutzen lassen. 
Indessen haben wir in der alteren griechischen Matbematik 
doch nur einzelne Beispiele fiir solche unbestimmte Glei- 
chungen gefunden; wir heben sie aber hier hervor als 
den Anfang einer Richtung, in der es die Griechen, wie 
wir bald sehen werden, spater sehr viel weiter brachten. 
Das Interesse, das zuerst durch den Wunsch nach ratio- 
nalen Losungen geweckt worden war, hat sich dann spater 
den unbestimmten Gleichungen selbst zugewendet. 

Ein Beispiel dafiir, dass man auch wahrend der 
alexandrinischen Zeit praktische Untersuchungen iiber 
gewisse Klassen von ganzen Zahlen fortgesetzt hat, liegt 
in dem Berichte dariiber, wie Eratosthenes die ersten 
Primzahlen aufgezahlt hat mit Hiilfe der Methode, die 
man das Sieb des Eratosthenes (cribrum Eratosthenis) 
nennt. Man schreibt zuerst die ganze Zahlenreihe so 
weit auf, als man in seiner Untersuchung gehen will, 
streicht darauf jede zweite Zahl, indern man mit 4 be- 
ginnt, jede dritte, indem man mit 6 beginnt, jede fiinfte, 
indem man mit 10 beginnt u. s. w. Die Zahlen, die 
dabei nicht ausgesiebt werden, sind Primzahlen. 

Man schreibt dem Archimedes eine verwickelte 
arithmetische Aufgabe iiber die Ochsen des Helios zu, 
aber vielleicht mit Unrecht. Dagegen haben wir ihn im 
Vorhergehenden gelegentlich eine andere zahlentheoretische 
Bestimmung ausfiihren sehen, fiir die er gerade Verwen- 
dung hatte, namlich die Bestimmung der Summe der 
ersten Quadratzahlen. Die so gebildeten Summen liefern 
ein Beispiel fiir die unter der geometrischen Arithmetik 
erwahnten Pyramidalzahlen, namlich fiir solche, die einer 
Pyramide mit quadratischer Grundflache entsprechen. 
Diese fiihren zugleich ohne Schwierigkeit zu der Berech- 
nung der iibrigen Pyramidalzahlen. 

16* 


244 Die griechische Mathematik: 

Wir sehen also, dass Nikomachus, dem wir nament- 
lich unser Wissen von der Bekanntschaft der Alten mit 
figurierten Zahlen verdanken, nicht nur mit Bezug auf 
die Polygonalzahlen, sondern auch auf die Pyramidalzahlen 
auf dem weiter bauen konnte, was von den Zeiten der 
grossen Mathematiker her bereits vorlag. Neben der Lehre 
von diesen Zahlen findet sich bei ihm eine Beobachtung, 
die eine Fortsetzung des bereits den Pythagoreern be- 
kannten Satzes iiber die Bildung der Quadratzahlen au&gt; 
Summen der ersten ungeraden Zahlen darstellt. Diese 
besteht darin, dass sich auch jede Kubikzahl als Summe 
von aufeinander folgenden ungeraden Zahlen darstellen 
lasst. Der in der Formel 

7l 3 = ( n 2_ n 4 1) 4. ( n 2 __ n _J_ 8 ) _|_ &lt;&lt;e _J_ (,,2 _J_ _ !) 

ausgedriickte allgemeine Satz scheint dem Nikomachus 
jedoch nicht vollstandig bekannt gewesen zu sein 

In Verbindung hiermit sei noch angefiihrt, dass wir 
durch einen viel jiingeren romischen Schriftsteller wissen, 
dass man im Altertum die ersten Kubikzahlen hat sum- 
mieren konnen, also gewusst hat, dass 


Dieses Resultat kann aus dem oben genannten abgeleitet 
worden sein. Bei einem arabischen Schriftsteller findet 
sich jedoch ein anderer Beweis, der durch seine geome- 
trische Form griechischen Ursprung verrat, und der gleich- 
zeitig zu dem Satze bei Nikomachus und zur Summa 
tion der Kubikzahlen gefuhrt haben kann. Dieser lasst 
sich in der Sprache der jetzigen Algebra folgendermassen 
wiedergeben: 


29. Die spatere griechische Arithmetik; Diophant. 245 

(1 + 2 + . . . + n) 2 (1. + 2 + . . . + n - 1) = 

*(*+!) , n(n\) 
n +- n = n 6 : 


zugleich 1st aber zu beachten, dass die Differenz zwischen 
den beiden Quadraten nach gewohnlicher griechischer 
Weise als ein Gnomon dargestellt wird, der hier aus 
den beiden Rechtecken 


und n(l + 24- ... + 1) = -^ 

besteht. 

Bis gegen 300 n. Chr. finden sich jedoch nur zer- 
streute Beitrage zu einer weiteren Entwickelung der in 
den besten Zeiten der Geometric bekannten Arithmetik, 
und selbst von diesen Beitragen wissen wir nicht, wie 
friih das Mitgeteilte bekannt gewesen ist. Erst bei Dio 
phant von Alexandria begegnen wir etwas Neuem von 
grosserem allgemeinem Interesse. Sein iiberliefertes arith- 
metisches Werk zeigt uns Seiten der griechischen Mathe- 
matik, von denen wir in den uns erhaltenen Schriften 
der alteren Mathematiker nur die ersten und undeutlichen 
Anfange haben kennen lernen. Allerdings ist die theo- 
retische Grundlage dieses Werkes dieselbe, die wir bei 
Euklid gefunden haben, und freilich fallt das Ziel von 
Diophants interessanten Untersuchungen zusammen mit 
dem friiher erwahnten, aus alteren Zeiten stammenden 
Bestreben irrationale Grossen zu vermeiden; aber diese 
Untersuchungen werden von ihm in einem bis dahin un- 
bekannten Umfange vorgenommen. Diese befahigen ihn 
Beispiele fiir bestimmte Aufgaben aufzustellen, die unter 
stark variierenden Formen zu Gleichungen mit rationalen 
Losungen fiihren, und sie bringen ihn namentlich dahin 


246 Die griechische Mathematik: 

zahlreiche unbestimmteAufgabenzu stellen, bei denen 
es darauf ankoinmt rationale Losungen zu finden. In 
seiner ganzen Darstellung fmdet sich ferner gegenuber 
den alteren iiberlieferten Darstellungen der grosse Unter- 
schied, dass er bestandig nur specielle Zahlenaufgaben 
behandelt und nur die zu diesen gehorenden Zahlenopera- 
tionen mitteilt, ohne allgemeine Satze aufzustellen. Da 
bei ihm nicht nur die gegebenen Zahlen rational sind, 
sondern auch die gesuchten rational sein soil en, so bedarf 
er der geometrischen Darstellung keineswegs in demseiben 
Maasse wie sie bei solchen Untersuchungen notwendig 
ist, deren Resultate auf beliebige Grossen anwendbar sein 
sollen, einerlei ob diese sich durch Zahlen (d. h. ratio 
nale Zahlen) darstellen lassen, oder nicht. Er benutzt 
wohl die von der geometrischen Darstellung entlehnten 
Benennungen, wie Rechteck fur Produkt, aber dass die 
behandelten Grossen doch nur Zahlen sind, das geht z. B. 
daraus hervor, dass die geometrische Homogenitat nicht 
aufrecht erhalten wird; so wird bei ihm ohne weiteres 
eine Seite zu einer Flache addiert. 

Diophant legt sogar so wenig Gewicht auf formelle 
Allgemeingiiltigkeit, dass er durchgehends, wenn in einer 
Aut gabe im allgemeinen gesagt wird, dass eine gewisse 
Zahl einen gegebenen Wert haben soil, dieser sofort einen 
bestimmten Wert beilegt; mit diesem rechnet er dann 
zunachst, so dass die vorgelegte allgemeine Aufgabe nur 
insofern gelost wird, als man aus dem gewahlten Beispiel 
schliessen kann, wie man im allgemeinen zu verfahren 
hat. Dass dies sein wirklicher Zweck ist, und dass er 
nur aus Mangel an einem Zeichen fur eine bekannte 
aber beliebige Zahl dahingebracht ist diesen bestimmten 
Wert ein,zufiihren, das erkennt man daraus, dass er in 
solchen Fallen, wo sich nicht jede Zahl benutzen lasst, 
dies ausdriicklich in einem Diorismus zu der betreffenden 


29. Die spatere griechische Arithmetik; Diophant. 247 

Aufgabe auseinandersetzt 1 . DieEinfiihrung eines bestimmten 
Wertes wendet Diophant auch oft versuchsweise bei der 
betreffenden Unbekannten an. Wenn es sich dann zeigt, 
dass dieser nicht passt, so kann er, wenn er dem Gauge 
der vorgenommenen Rechnungen folgt, erkennen, welche 
Anderung des versuchsweise angenommenen Wertes wirk- 
lich zu der gegebenen Form oder dem gegebenen Werte 
einer anderen Grosse fuhren wiirde. Die Regel des fal- 
schen Ansatzes (regula falsi), die wir bereits bei den 
Agyptern getrofren haben, ist eine sehr einfache An wen- 
dung dieser Methode, aber Diophant wendet sie in weit 
rnehr verwickelten Fallen an. 

Bei den Rechnungen vor- und riickwarts, die solche 
Versuche erfordern, bedarf es grosser Fertigkeit im Uni- 
gehen mit Zahlen und im tFberblicken der mit diesen 
vorgenommenen Operationen. Eine solche Fertigkeit legt 
Diophant auch vor allem an den Tag im Gegensatz zu 
dem, was in den iiberlieferten Arbeiten der alten griechi- 
schen Mathematiker vorliegt. Diese unmittelbare Fertig 
keit reicht indessen nicht iiberall aus. Da die geome- 
trische Darstellung fortgefallen war, so bedurfte es anderer 
Mittel um eine unbekannte Grosse und einfache Funk- 
tionen von ihr festzuhalten. Das erreicht Diophant 
durch eine algebraische Zeichensprache. Ist diese 
auch nur noch eine Abkiirzung der Worte der Schrift- 
sprache und keineswegs zu einem wirklichen Organ fur 
die algebraischen Operationen bestimmt, so dient sie doch 
zu dem, was man zuallererst von einer Zeichensprache 


1 Der allgemeinere Uberblick, den Diophant so, wie sich 
zeigt, an manchen Stellen gehabt hat, wo er sofort bestimmte 
Zahlen einfiihrt, wird in den Anmerkungen zu Wertheims neuer 
deutscher Ausgabe durch Einfuhrung von allgemeinen Bezeichnungen 
fiir diese Zahlen deutlich gemacht. 


248 Die griechische Mathematik: 

verlangen muss: einen rascheren und bequemeren t)ber- 
blick zu gewahren, als man ihn (.lurch eine Darstellung 
in Worten erhalten kann. 

Die Unbekannte wird durch den Buchstaben g- be- 
zeichnet, der gewahlt werden musste, weil er allein kerne 
bestimmte Bedeutung als Zahl hatte. Ihre Potenzen bis 
zur sechsten hinauf werden durch Abkiirzungen der grie- 
chischen Worter fiir Quadrat u. s. w. bezeichnet, und 
iihnliche Bezeichnungen werden fiir Briiche gebraucht mit 
dem Zahler 1 und diesen Grossen als Nennern. So er- 
geben sich Bezeichnungen fiir 

x 6 , a? 5 , a? 4 , a? 3 , a? 2 , a? L , a?, a? 2 , as 3 , a? 4 , a? 5 , x 6 

ausser einer besonderen Bezeichnung fiir Einer (also fiir a?). 
Mehrgliedrige Grossen, die aus den hier genannten und 
mit Zahlenkoefficienten nmltiplicierten Grossen zusammen- 
gesetzt sind, lassen sich dadurch auf eine leicht iibersicht- 
liche Weise aufschreiben, indem man die zu addierenden 
Glieder unmittelbar neben einander setzt und ein umge- 
kehrtes y&gt; wie unser Minuszeichen gebraucht, und einander 
gleich setzen. Es werden bestimmte Regeln fiir die Multi- 
plikation der oben genannten Potenzen gegeben, und da 
durch lassen sich wieder mehrgliedrige Grossen multipli- 
cieren. Gleichfalls versteht Diophant aus Gleichungen 
neue Gleichungen dadurch zu bilden, dass er Glieder, 
Faktoren und Divisoren von der einen der beiden gleichen 
Grossen zu der anderen hiniiberbringt. 

Ein wesentlicher t)belstand bei dieser Zeichensprache 
liegt darin, dass es nur ein Zeichen fiir eine einzige Un 
bekannte giebt und daneben wieder besondere Zeichen 
fiir deren verschiedene Potenzen. Eine Erweiterung auf 
zwei Unbekannte wiirde eben, weil die letzten Zeichen 
besondere sind, 12 neue Zeichen erfordern, und an solche 
ist gar nicht gedacht worden. Indessen giebt, wie es so 


29. Die spatere griechische Arithmetik; Diophant. 249 

oft zu geschehen pflegt, die Mangelhaftigkeit des Werk- 
zeuges Gelegenheit personliche Fertigkeit zu zeigen. Solche 
Fertigkeit legt Diophant an den Tag, nicht nur durch 
Benutzung der oben angefiihrten Versuchswerte fur die 
Unbekannten, die er nicht benennen kann, sondern auch 
auf andere Weise. Wenn in einer Aufgabe mehrere un- 
bekannte Grossen vorkommen, die nach verschiedenen 
Angaben bestimmt werden sollen, so wahlt er unter diesen 
Unbekannten diejenige, worauf er seine Bezeichnung - 
die wir hier x nennen wollen -- anwenden will, so, dass 
er von Anfang an die iibrigen durch diese ausgedriickt 
erhalten kann. Zugleich muss angefiihrt werden, class 
die Bezeichnungen nicht die ganze Aufgabe hindurch fest- 
gehalten werden. So kann eine Unbekannte da sein, die 
von Anfang an x genannt wird, in den folgenden Zwischen- 
rechnungen kann eine zweite und dritte ebenso genannt 
werden, und wenn man nach der Bestirnmung von diesen 
wieder zu der Hauptaufgabe zuriickkehrt, so wird die 
erste Unbekannte wieder ebenso genannt. Aus diesen 
Bemerkungen ergiebt sich, dass Diophant im wesent- 
lichen dasjenige, was wir Eliminationen nennen, im Kopf 
ausfiihren und in Worten darstellen musste; aber gerade 
dadurch erhielt er Ubung darin seine Unbekannten so zu 
wahlen, dass die Elimination so einfach wie moglich 
wurde. 

Man konnte glauben, dass das Fehlen von mehr Be 
zeichnungen fur die Unbekannten besondere Unzutraglich- 
keiten fiir die unbestimmten Aufgaben mit sich fiihren 
wiirde. Das ist jedoch nicht der Fall, denn diese laufen 
gewohnlich darauf hinaus, dass eine zusammengesetzte 
Grosse ein Quadrat sein soil oder dergleichen. Fiir die 
Quadratwurzel u. s. w. hieraus bedarf es dann keiner 
besonderen Bezeichnung. 


250 Die griechische Mathematik: 

Diese unbestimmten Aufgaben, fiir die rationale 
Losungen gesucht werden, verdienen die grosste Aufmerk- 
samkeit in Diophants arithmetischer Arbeit. In der 
Regel betrachtet er es jedoch nur als seine Sache eine 
einzige Losung der Aufgabe zu finden, und nicht eine 
solche allgemeine Losung, in der alle moglichen einzelnen 
Losungen einbegriffen sind. Auf diese Beschrankung darf 
man jedoch kein zu einseitiges Gewicht legen, wenn man 
recht verstehen will, was Diophant mitzuteilen hat. Sie 
beruht namlich in der Regel darauf, dass er auch hier 
den Hiilf sgrossen , durch welche die Aufgabe gelost wird, 
sofort bestimmte Werte beilegt; er hat dann aber hier 
ebenso gut wie in den friiheren Fallen sehen konnen, 
dass man auch andere Werte der Hiilfsgrossen hatte be- 
nutzen konnen. Dies ausdriicklich zu erkennen zu geben 
findet er Gelegenheit, wenn eine auf eine gewisse Weise 
gebildete Grosse zu gleicher Zeit ein Quadrat sein und 
noch eine andere Bedingung erfullen soil. Da geniigt es 
nicht, der Hiilfsgrosse, die sie zu einem Quadrat machen 
soil, einen bestimmten Wert zu geben; diese wird dagegen 
selbst eine unbekannte Grosse a?, und durch diese muss 
Diophant dann im allgemeinen die urspriinglich gesuchten 
Grossen ausdriicken, um hinterher x durch die zweite ge- 
gebene Bedingung zu bestimmen. 

Von den unbestimmten Gleichungen, zu deren Losung 
Diophant Gelegenheit erhalt, gehoren eine grosse Menge 
unter die Form en 

y*=a*x*+bx + c (1) 

und y*=ax 2 +bx + c 2 . (2) 

Die erste wird, indem wir, um die Darstellung abzukiirzen, 
die jetzige Zeichensprache zu Hiilfe nehmen, dadurch ge 
lost, dass man y = a x -j- z setzt, die letzte dadurch, dass 
man y =. z x -\- c setzt ; danach lasst sich x leicht rational 


29. Die spatere griechische Arithmetik; Diophant. 251 

durch z ausdriicken, und z kann seinerseits alle rationale!! 
Werte annehmen (nur diirfen diese keine Grosse negativ 
machen). Man sieht, dass die angewandten Substitutions!! 
dieselben sind, die jetzt benutzt werden um irrationale 
Differentiale rational zu machen. 

Auf die letzte der angefiihrten Gleichungsformen 
lassen sich die zusammengehorigen Gleichungen, oder 
wie Diophant sagt die doppelte Gleichung 


zuriickfiihren. Ja das letzte Glied braucht nicht einmal 
in beiden Gleichungen dasselbe zu sein, wenn es nur eine 
Quadratzahl ist; denn dann kann man es dahin bringen, 
dass es denselben Wert erhalt, indem man die eine Glei- 
chung mit einem Quadrat multipliciert. Der Einfachheit 
wegen haben wir angenommen, dass dies bereits geschehen 
sei. Durch Subtraktion der Gleichungen erhalt man, 
wenn man zugleich x durch z ausdriickt, 


Setzt man hierin z = t -f - b, so erhalt man 


und diese Gleichung ist von der oben stehenden Form (2). 
Durch andere ahnliche Kunstgriffe hat Diophant 
auch gewusst wenigstens einzelne rationale Losungen von 
anderen zusammengehorigen Gleichungen zu finden, die 
in den Formen 


=a* -f bx + c,\ 


, 


_&gt;."&gt; -J Die griechische Mathematik: 

einbegriffen sind, jedoch nur von solchen, bei denen 
gleichzeitig c und /, oder a und d Quadratzahlen sind. 
Da wir wie erwahnt nur durch die Behandlung einer 
Reihe einzelner Aufgaben erfahren, wie Diophant im 
ganzen verfahrt, so wird es zweckmassig sein ein Beispiel 
von einer solchen Aufgabe und ihrer Behandlung zu geben. 
In der 6ten Aufgabe des 6ten Buches wird ein solches 
rechtwinkeliges Dreieck gesucht, dass die Summe aus dem 
Inhalt und einer Seite, ausgedriickt in (rationalen) Zahlen, 
eine gegebene Zahl ist. Um es deutlich zu machen, wo 
Diophant seine Zeichensprache gebraucht und wo nicht, 
wollen wir bei der Wiedergabe x und x 2 statt Diophants 
eigenen Zeichen schreiben, wahrend die iibrigen Buch- 
staben Zahlen ausdriicken, von denen Diophant in ge- 
wohnlichen Worten spricht. Die Aufgabe lauft dann dar- 
auf hinaus rationale Werte von A, B und C zu fmden, 
die den Gleichungen 

A 2 + B* = C 2 

und A B -f- A = a, 

wo a eine gegebene Zahl bedeutet, geniigen. Dieser Zahl 
a giebt Diophant jedoch sofort den Wert 7. Versuchs- 
weise wird darauf A = 3x, B=4x, C = 5 # gesetzt, 
wodurch der ersten gegebenen Gleichung genugt wird. 
Die zweite liefert dann 

6 a? 2 -f 3# = 7. 

Die Bedingung dafur, dass diese Gleichung rationale Wur- 
zeln haben soil, ist die, dass | + 6 . 7 quadratisch ist. 
Das ist zwar nicht der Fall, aber die Rechnung mit den 
bestimmten Zahlen hat Diophant Gelegenheit gegeben 
zu sehen, wie diejenige Grosse, die ein Quadrat sein soil, 
aus Grossen zusammengesetzt ist, die den Seiten des Drei- 


29. Die spatere griechische Arithmetik; Diophant. 253 

ecks proportional sind. Er erreicht also dasselbe, WHS 
wir erreichen wtirden, indem wir 

A= ax, B = px t C=yx 
setzen, namlich class die Bedingung, 

O Q 

a 1 , ap . ~ , 

-- 1 -- - 7 = einem Quadrat, 

die Bedingung fur rationale Losungen ist. 

Da es nur auf das Verhaltnis der Seiten ankommt, 
so kann man hier a = l setzen. Diophant wahlt dar- 
auf vorlaufig /? zur Unbekannten x, und als Ergebnis aus 
den versuchweise gewahlten Werten erhalt er dann, dass 

1 + Ux--= D 2 . 

Nach der ersten gegebenen Gleichung soil zugleich 
1 -f a? 2 = E 2 

sein. Diese zusammengehorigen Gleichungen gehoren unter 
die oben angefiihrte allgemeine Form (4). Nachdem Dio 
phant hieraus die Gleichung 

x( x U) = E 2 D* 

abgeleitet hat, schliesst er, offenbar dadurch, dass er die 
rechte Seite in Faktoren zerlegt und 


setzt, dass D die halbe Differenz der Faktoren oder gleich 
7 ist, und danach wird a? = 2 7 4 . 

Dieser letzte Wert stellt das Verhaltnis zwischen den 
Katheten dar. Indem darauf Diophant x eine ahnliche 
Bedeutung annehmen lasst wie urspriinglich, setzt er in 
die zweite gegebene Gleichung 

A = 7x, B=24x 
ein; daraus ergiebt sich 


254 Die griechische Mathematik: 

7. 12 a? 2 + 7x = l, 
woraus a? = J, A = j, B=6 und C= 2 /. 

Um eine deutlichere Vorstellung von Diophants 
zahlreichen Aufgaben zu geben, wollen wir noch aufs 
Geratewohl ein paar Beispiele auswahlen und kurze An- 
gaben aus seinen Losungen hinzufiigen. 

II, 20. Drei Quadra tzahlen von der Beschaffenheit 
zu finden, dass die Differenz zwischen der grossten und 
mittleren in einem gegebenen Verhaltnis zu der Differenz 
zwischen der mittleren und kleinsten steht. - Nennt 
man die kleinste x 2 , die mittlere (a?+#) 2 &gt; so wird die 
grosste 

(a? -f ) a + m [(* 4- ) 2 a? 2 ]. 

Dass diese ein Quadrat sein soil, wird durch eine Glei- 
chung der oben angefuhrten Form (1) ausgedriickt. Dio- 
p h a n t begniigt sich mit m = 3 und a = 1 . 

III, 2. Drei Zahlen von solcher Beschaffenheit zu 
finden, dass das Quadrat ihrer Summe neue Quadrate 
giebt, wenn man jede der Zahlen dazu addiert. Dio- 
phant lasst die Summe x sein. Die Bedingungen sind 
dann erfiillt, wenn die Zahlen (a 2 1)# 2 , (b 2 l)x 2 
und (c 2 l)x 2 sind, und wenn 

(a 2 l)x 2 + (6 2 I)* 2 + (c 2 I)* 2 =*, 

woraus sich ein rationale! 1 Ausdruck fiir x ergiebt. Dio- 
phant nimmt fiir a, b und c nur die Werte 2, 3 und 4. 

IV, 27. Zwei Zahlen von der Beschaffenheit zu finden, 
dass ihr Produkt, vermehrt um jede der Zahlen, ein Kubus 
wird. Diophant setzt die erste Zahl gleich a 3 x (und 
wahlt fiir a den Wert 2), die zweite gleich x 2 1, wo- 
durch die eine Bedingung unmittelbar erfiillt wird. Nun 
soil aber noch 


29. Die spatere griechische Arithmetik; Diophant. 255 

sein. In Ubereinstimmung mit der Art und Weise, wie 
die unbestimmten quadratischen Gleichungen (1) und (2) 
gelost werden, wird diese kubische dadurch gelost, dass 
y = a x 1 gesetzt wird ; dadurch ergiebt sich eine Glei- 
chung ersten Grades zur Bestimmung von x. 

Wir wollen noch erwahnen, dass einzelne Aufgaben 
Diophant Gelegenheit geben, seine Bekanntschaft mit 
gewissen zahlentheoretischen Satzen zu zeigen, so mit dem 
Satze, dass eine Zahl von der Form (a 2 -f b 2 ) (c 2 + d 2 ) 
sich auf zwei Arten in die Sum me von zwei Quadraten 
zerlegen lasst, namlich 

(ac^bd} 2 + (ad+bc) 2 , 

und mit dem anderen, dass eine Zahl von der Form 
4 n -f- 3 sich auf keine Weise in eine Summe von zwei 
Quadraten zerlegen lasst. 

Die angefuhrten Beispiele werden gezeigt haben, dass 
Diophant nur rationale (und selbstverstandlich positive) 
Losungen sucht, aber nicht eben Losungen in ganzen 
Zahlen. Es beruht deshalb auf einem Irrtum, wenn 
man unbestimmte Gleichungen ersten Grades, die sich 
durch ganze Zahlen sollen losen lassen, diophantische 
Gleichungen genannt hat. Unbestimmte Gleichungen 
ersten Grades finden sich allerdings bei Diophant; aber 
er tragt nur Sorge dafiir anzugeben, wie die eine Unbe- 
kannte durch die andere ausgedriickt wird, da die Ratio- 
nalitat von dieser diejenige der anderen mit sich bringt. 
Diese Aufgaben wurden fur den Herausgeber Diophants 
im I7ten Jahrhundert, Bachet de Meziriac, die Veran- 
lassung, selbstandig die Frage nach ganzen Auflosungen 
zu stellen und diese Aufgabe zu losen. Sie war jedoch 
schon friiher von indischen Schriftstellern gelost, was 
Bachet nicht wusste. 


256 Die griechische Mathematik: 

Nun erhebt sich die Frage, wieviel von Diophants 
Arbeit von ihm selbst herriihrt, und wie alt das iibriuv 
1st. Um dies zu beantworten hat man nicht viele An- 
haltspunkte. Wir haben hervorgehoben, dass man bereits 
zu der Zeit, wo die iibrige griechische Mathematik ent- 
stand, einzelne Aufgaben von derselben Natur behandelt 
hat wie diejenigen, die Diophant beschaftigen. Dass 
uns in den iiberlieferten Schriften nicht mehr entgegen- 
treten, lasst sich sehr wohl durch den Umstand erklaren, 
dass sie nach der Natur dieser Schriften nicht in sie hin- 
ein gehorten. Indessen glaube ich nicht, dass viele von 
Diophants Aufgaben aus dieser Zeit herstammen. Denn 
wir haben nicht den Eindruck erhalten konnen, dass die 
alteren griechischen Mathematiker die Rechenfertigkeit be- 
sassen, die uns bei Diophant entgegentritt. Auf der 
anderen Seite riihrt eine so grosse Sammlung verschieden 
gearteter Aufgaben, wie diejenige des Diophant, sicher- 
lich nicht von einem einzelnen Manne her. Deshalb liegt 
die Annahme am nachsten, dass die Bildung dieser Auf 
gaben auf einem sehr friihen Standpunkt begonnen hat, 
wahrscheinlich gleich nach der Entdeckung der irratio- 
nalen Grossen, und sich dann liber die Zeit hinaus, wo 
sonst die Entwickelung der griechischen Mathematik in 
Stillstand geraten war, fortgesetzt hat, vielleicht bis zu 
Diophant hinauf, der in dieser Beziehung recht wohl 
grosse personliche Verdienste gehabt haben kann. Dass 
eine solche Fortsetzung der Entwickelung bei einem ein 
zelnen Zweige der Mathematik hat stattfinden konnen, 
kann darauf beruhen, dass die hierfur wichtige Rechen 
fertigkeit sich nach und nach entwickelt hat, teils wegen 
der Bediirfnisse der Astronomic und teils durch Beriih- 
rung mit einem anderen Volke, den Indern. Mit diesen 
trat namentlich Alexandria durch seinen Handel in Ver- 
bindung. Wie wir sehen werden besassen namlich die 


29. Die spatere griechische Arithmetik; Diophant. 257 

Inder auch bevor sie das Positionssystem, d. h. die jetzt 
gebrauchliche Art Zahlen zu schreiben, erfunden batten, 
eine grosse Fertigkeit darin Zahlen zu benennen, darzu- 
stellen und rnit ihnen zu rechnen. Diese Fertigkeit konnte 
besonders durch die Handelsverbindungen den Griechen 
iibermittelt werden, die damals noch einen Teil der mathe- 
matischen Bedingungen fur ihre Benutzung besassen. Als 
Gegengabe haben die Inder dann bei derselben Beriihrung 
einen Teil der mathematischen Resultate der Griechen 
empfangen. Diese haben die Inder, wie wir gleichfalls 
sehen werden, zu benutzen verstanden, namentlich da, 
wo sie sich in Zahlenoperationen umsetzen liessen, aber 
ohne dass sie jemals verstanden batten in die strengen 
theoretischen Begriindungen der Griechen einzudringen. 

Was im besonderen Diophants Zeichensprache 
betrifft, die teilweise von derjenigen abweicht, die wir bei 
viel jiingeren indischen Schriftstellern, deren Arbeiten 
uns erhalten sind, antreffen, so brauchen wir darin keine 
Entlehnung von Fremden zu sehen. Die Abkiirzungen, 
die er benutzt, miissen sich von selbst darbieten, sobald 
man ohne Benutzung der alteren geometrischen Darstel- 
lung die nach und nach gebildeten Zusammensetzungen 
von bekannten und unbekannten Zahlen anderen mitteilen, 
oder auch nur selbst festhalten will. Hat man sie ein- 
mal niedergeschrieben, so wird ihr grosser Nutzen als 
Mittel urn Uberblick zu gewinnen sich von selbst gezeigt 
haben. Diophants Zeichensprache braucht also gar nicht 
durch eine successive Entwickelung entstanden zu sein; 
sie kann sehr wohl von ihm selbst oder einem einzelnen 
Vorganger herriihren. 

Endlich wollen wir bereits hier einen Blick auf die 
Bedeutung werfen, die Diophants Arbeiten spater erlangt 
haben. Die numerische Beschaffenheit von Diophants 
bestimmten Gleichungen ersten und zweiten Grades musste 

17 


258 Diophant. 

sie denjenigen viel leichter zuganglich machen, die nicht 
von vornherein in die griechische Mathematik eingeweiht 
waren, und zwar leichter zuganglich als die abstrakten 
geotnetrischen Formen, in denen namentlich die Gleichun- 
gen zweiten Grades bei Euklid vorkoinmen, und in 
denen diese und Gleichungen ersten Grades in den iiber- 
lieferten Schriften anderer geometrischer Schriftsteller an- 
gewandt werden. Deshalb war es im wesentlichen Dio 
phant, von dem aus die griechische Algebra zu den Ara- 
bern verpflanzt wurde, von denen aus sie wieder beim 
Wiedererwachen der Wissenschaften in Europa hierher 
zuriickkehrte. Wieviel Einfluss Diophants Behandlung 
der unbestimmten Gleichungen auf diejenige der Inder, 
die wir bald erwahnen werden, ausgeiibt hat, weiss man 
nicht; arabische Schriftsteller haben in der von ihm an- 
gegebenen Richtung weiter gearbeitet, und in Europa 
nahmen zahlentheoretische Studien einen neuen Auf- 
schwung, als man solche nicht nur durch die Araber 
kennen lernte, sondern auch mit Diophants eigener 
Arbeit bekannt wurde. In dieser Beziehung geniigt es 
daran zu erinnern, class Fermat den Diophant sehr 
griindlich studiert hat. 


Die indische Mathematik. 


1. Kurzer Uberblick, 

Wir wenden uns nun der indischen Mathematik zu, die 
in ganz anderen Richtungen als die griechische einen 
ausserordentlichen Einfluss auf die Entwickelung der Mathe 
matik ausgeiibt hat. Dieser Einfluss hat sich allerdings 
wohl am meisten durch unmittelbare Mitteilung der in 
dischen Rechenkunst geltend gemacht, und nur in geringem 
Grade durch die Schriftsteller, die wir nun erwahnen 
wollen. Immerhin sind es jedoch diese, denen wir die 
unmittelbarste Kenntnis dessen verdanken, was die indi 
schen Mathematiker iiberhaupt wussten und vermochten. 
Die Schriftsteller haben im Sanskrit geschrieben, einer 
Sprache, die damals schon eine tote Sprache war, die 
aber von den Brahmanen bei religiosen und wissenschaft- 
lichen Arbeiten angewandt wurde, ebenso wie spater 
von den Europaern das Lateinische. 

Die altesten von diesen Schriftstellern geben geome- 
trische Regeln fur die Anlage von Tempeln, die von ahn- 
licher Art sind wie die von den Harpedonapten im 
alten Agypten benutzten (S 12). In diesen Regeln treffen 
wir mehrere Spuren der Beeinflussung durch die grie 
chische Geometric, namentlich einzelne solche Umfor- 
mungen, die wir von der geometrischen Algebra her 

17* 


260 Die indische Mathematik: 

kennen. Im ubrigen miissen wir bei den indischen Astro- 
nomen die Kenntnis von denjenigen Seiten der indischen 
Mathematik suchen, die durchgreifende Bedeutung erlangt 
haben. Diese Kenntnis wird entwickelt um der Astro- 
nomie zur Hiilfe zu kommen, oder sie tritt gar nur 
gelegentlich innerhalb der Darstellung der Astronomie 
hervor. 

Das letzte gilt namentlich von einer Schrift Surya 
Siddhanta aus dem 4ten oder 5ten Jahrhundert n. Chr , 
deren Verfasser nicht bekannt ist. Aryabhatta, ge- 
boren 476 n. Chr., hat in ein astronomisches Werk 
einen mathematischen Abschnitt mit aufgenommen. Von 
.grosserer Bedeutung in mathematischer Beziehung sind 
das 12te und 18te Kapitel in einer grossen astronomischen 
Schrift von Brahmagupta, geb. 598. Eine vollstandigere 
Kenntnis der Einzelheiten der indischen Mathematik er- 
halten wir durch die weit jiingeren beiden mathematischen 
Arbeiten des Bhaskara A car} 7 a (des Gelehrten), geb. 
1114, welche die Titel Lilavati (die Schone) und Vija- 
ganita (Wurzelberechnung) tragen. Die erstere behandelt 
etwa das, was wir Rechenkunst und Arithmetik nennen, 
der Inhalt der zweiten entspricht so ziemlich unsere 
Algebra. Der Name des ersten dieser Werke ist wohl so 
zu verstehen, dass die Rechenkunst selbst, die in den 
Aufgaben in sehr poetischen Ausdriicken angeredet wird, 
die Schone genannt wird. Diese Anrede stimmt gut zu 
dem poetischen Schwung, den die Aufgaben oft haben. 
Ubrigens giebt es eine Legende, nach der es die eigene 
Tochter ist, die Bhaskara durch die anziehenden 
Rechenaufgaben uber eine bittere Enttauschung trosten will. 

Wenn auch die Inder eine uralte Astronomie gehabt 
haben mogen, die sich vermutlich an die chaldaische 
angeschlossen hat, so zeigt doch bereits Surya Siddhanta 


1. Kurzer Uberblick. 261 

so starke Beeinflussungen entweder durch Ptolemaus 
oder durch altere griechische Astronomen, dass sich die 
moglicherweise ursprunglich indischen Bestandteile nicht 
mehr ausscheiden lassen. Griechischer Einfluss auf die 
indische Kultur - - und umgekehrt reicht gewiss zu- 
ruck bis auf Alexanders Zug nach Indien, und hat sich 
spater fortgesetzt teils durch einzelne Kolonien, teils durch 
die Handelsverbindungcn, fur die Alexandria ein Mittel- 
punkt war. Die den Griechen bekannten mathernatischen 
Satze und Operationen, die wir auch bei den Indern 
treffen, verdanken diese gewiss jenen, aber die Inder ent- 
wickeln darin Seiten, die eine sehr viel weiter gehende 
numerische Behandlung erfordern, als die Griechen bei 
ihrer streng theoretischen Behandlung jemals erreicht haben. 
Fiir eine solche Behandlung scheinen die Inder keinen 
Sinn gehabt zu haben, aber dafiir waren sie auch voll- 
standig frei von den Bedenken, welche die griechischen 
Mathematiker dahin brachten, die wirkliche Berechnung 
in Zahlen deshalb fur geringer zu halten, weil sie oft 
nur zu einer Annaherung fiihrt. Numerische Berechnung 
und die dadurch erhaltene praktische Priifung war im 
Gegenteil fur die Inder das wirkliche Mittel sich Satze 
und Methoden anzueignen, von deren eigentlicher Be- 
griindung sie die Bedeutung kaum vollstandig verstanden. 
Jedenfalls geben sie solche Begriindungen nicht in Worten 
wieder, sondern sie begniigen sich damit zu zeichnen und 
durch das Wort Siehe! auf die Figur hinzuweisen, die 
der wirklichen Beweisfuhrung der Griechen zu Grunde lag. 
Von weit grosserer Bedeutung als die Entwickelung, 
die verschiedene Zweige der Mathematik durch die von 
den Indern angewandte numerische Berechnung erfuhren, 
ist jedoch die Schreibung der Zahlen und die Rechen- 
kunst, die wir ihnen verdanken. Es ist dieselbe Schrei 
bung der Zahlen mit Stellenwert fur die einzelnen ZifTern 


262 Die indische Mathematik: 

(Positionssystem), die wir heutigen Tages benutzen, und 
im wesentlichen dieselbe daran angeschlossene niecha- 
nische Ausfiihrung der Berechnungen. Leider ist nur 
wenig dariiber bekannt, wie dieses System sich gebildet 
hat, da die zur Vollendung des Systemes dienende zehnte 
Ziffer sich bereits in Surya Siddhanta findet. Viel 
alter scheint das Positionssystem jedoch nicht zu sein, 
wenn auch die neun ersten, eigenen Wert besitzenden 
Ziffern auf weit alteren Inschriften vorkommen. Etwas 
weitere Aufklarung iiber die friihere Behandlung der 
Zahlen bei den Indern lasst sich jedoch insofern in der 
iiberlieferten Litteratur finden, als altere Methoden Zahlen 
zu schreiben oft beibehalten sind, entweder aus Pietat, 
oder wegen der besonderen Vorteile, die durch diese 
Methoden des Schreibens sich darboten; auf diese Weise 
aber kann man nur ein sehr unvollstandiges Bild von 
der Vorgeschichte des Positionssystemes bei den Indern 
erhalten. Diesem Mangel wollen wir dadurch etwas ab- 
zuhelfen versuchen, dass wir der Darstellung des Positions 
systemes bei den Indern einen ganz kurzen tJberblick 
iiber dessen allgemeine Vorgeschichte als Einleitung 
voranschicken. Wenn wir in aller Allgemeinheit die 
Hiilfsmittel erwahnen, deren man sich bei der Berechnung 
von Zahlen vor der Erfindung des Positionssystemes, oder 
doch be vor dieses an den betreffenden Stellen bekannt 
wurde, bediente, und wenn wir unter diesen die ziemlich 
diirftigen Mittel beriihren, mit denen sich selbst die 
Griechen begniigen mussten, so werden wir jeden falls 
eine Vorstellung da von geben konnen, wie grosse Schwie- 
rigkeiten es verursacht hat zu diesein System zu gelangen. 
Von wie grosser Bedeutung dieses System ist, keineswegs 
allein als Teil der Mathematik, sondern fur die Menschheit 
in den alltaglichsten Dingen, bedarf keines naheren 
Nachweises. 


2. Zahlen vor und bei den Indern. 263 


2, Zahlbenennung, Zahlbezeichnung und Zahlen- 
rechnen vor und bei den Indern, 

Wenn eine Mutter einen Apfel fur jedes von ihren 
7 Kindern neHmen will, so braucht sie die Zahl 7 nicht 
zu kennen. Ebenso wenig braucht sie zu wissen, dass 
2.7 =14, um jedem Kinde zwei zu geben. Sie nimmt 
ganz einfach je einen oder zwei fur Hans, Louise u. s. w. 
Sie kommt dem Zahlenbegriffe naher, wenn sie beachtet 
hat, dass sie im ersten Falle einen Apfel fur jeden Finger 
der einen Hand und fur den ersten und zweiten Finger 
der andern Hand nehmen muss. Die Finger, die nichts 
mit den Dingen zu thun haben, von denen hier ebenso 
viele sein sollen, werden fiir sie dann nur Bezeichnungen 
fur die Anzahl von diesen. 

Dass die Volker sich auf diesem Wege zum Zahlen- 
begriffe erhoben haben, geht daraus hervor, dass sie sich 
fast alle um grossere Zahlen zu benennen des Zehner-, 
Fiinfer- (zunachst wohl nur als Durchgangsglied zum Zeh- 
nersystem) oder Zwanzigersystemes bedienen. Diese sind, 
wenn es auch lange Zeit gedauert haben mag, von seibst 
zu wirklichen Systemen geworden. Nachdem man alle 
Finger durchgezahlt hatte, oder weiter gegangen war und, 
wie ein Volk am Orinoco 20 ausdriickt, einen ganzen 
Menschen (d. h. Finger und Zehen) gezahlt hatte, hat 
man von vorne beginnen und dann darauf achten miissen, 
wie viele Zehner oder Zwanziger, und wie viele Einer 
man iiber diese hinaus gezahlt hatte. Dadurch sind die 
Zahlbildungen entstanden, die wir durch a + b x bezeichnen 
konnen, wo x die hohere Einheit, Zehner oder Zwanziger, 
bezeichnet. Wenn die Entwickelung und Benutzung der 
Zahlen so weit gekommen war, dass die Anzahl der 


264 Die indische Mathematik: 

Zehner oder Zwanziger selbst 10 oder 20 iiberschritt, so 
hat man hohere potentielle Einheiten, 10 2 , 10 3 . . ., 
oder wie die alien Azteken in Mexiko 20 2 , 20 3 . . ., 
bilden und Zahlen von den Formen 

a + bx+ ex 2 +... 

r 

darstellen miissen. 

Wie weit man gegangen ist, hat sich dann nach 
dem Bedarf richten miissen. Die unbegrenzte Moglich- 
keit fur die Bildung hoherer Einheiten ist dagegen in 
der Regel erst auf einein rnehr wissenschaftlichen Stand- 
punkte gel tend gemacht worden, wie von Archimedes in 
der Sandrechnung. 

So sind die Zehner- und Zwanzigersysteme gebildet, 
das letztere zunachst wohl von Volkern, die immer, oder 
wie die Gronlander in ihrer Wohnung, nackt oder mit 
nackten Fiissen gehen. Die deutlichen Spuren des Zwan- 
zigersystemes, die sich in mehreren europaischen Sprachen 
und nicht zum wenigsten im Danischen finden, sind da 
gegen spateren Ursprunges und wahrscheinlich dadurch 
entstanden, dass die grossere Einheit, das Stieg (20 Stuck), 
in gewissen Fallen fiir Handel und Wandel bequem ge- 
wesen ist. Neben den hier genannten hoheren Einheiten 
hat man bei der Einteilung von Miinzen, Maassen und 
Gewichten oft andere benutzt, die sich aus mehr theore- 
tisch Griinden als bequemer erwiesen haben, wie 12=- 
2 2 . 3. Ein Beispiel fiir eine noch weiter gehende Riick- 
sichtnahme auf derartige Griinde ist das aus Babylonien 
stammende Sexagesimals3 7 stem, das wir bereits erwahnt 
haben. 

Ausser Addition, Multiplikation und den ersten 
Potenzerhebungen, die, wenn auch unbewusst, diesen 
Zahlenbildungen zu Grunde liegen, hat man bei den 
Zahlenbenennungen auch Subtraktion benutzt, so wenn 


2. Zahlen vor und bei den Indern. 265 

19 im Lateinischen un-de-viginti heisst, im Sanskrit 
ekonavimgati (d. h. 20 1) oder nur unavimgati (d. h. 
mangelhaft 20). 

Heute gebrauchen wir, sowohl um mit den so gebil- 
deten Zahlen zu rechnen als um sie aufzuschreiben, ein 
und dasselbe Hiilfsmittel, aber so 1st es nicht immer 
gewesen. Zum augenblicklichen Festhalten der Zahlen, 
die beim Rechnen erforderlich waren, hat man zuerst 
dasselbe Hiilfsmittel wie beim Zahlen benutzen konnen, 
namlich die Finger. Die verschiedenen Einheiten wurden 
bei einem afrikanischen Volke dadurch festgehalten, dass 
ein Mensch einen Finger in die Hdhe halten musste fur 
jede einfache Einheit, ein zweiter fur jeden Zehner, ein 
dritter fiir jeden Hunderter; ein einzelner Mensch aber 
kann fiir denselben Zweck auf verschiedene Weise die 
Glieder der Finger verwenden (Fingerrechnung bei Griechen 
und Romern). Andere mechanische Hiilfsmittel, die man 
an sehr verschiedenen Stellen der Erde angewandt hat 
und noch anwendet, die von den alten Griechen und 
Romern und im Mittelalter in Europa benutzt wurden, 
und die auch civilisierte Volkerschaften heute noch fiir 
besondere Zwecke (Berechnungen beim Kartenspiel) oder 
als Lehrmittel in Kinderschulen benutzen, sind Rechen- 
bretter, einfache Rechenmaschinen und Rechenpfennige. 
Auf den Rechenbrettern findet sich eine Einteilung in 
Kolumnen fiir Einheiten derselben Art, deren Anzahl 
dann durch aufgelegte Steinchen oder andere Marken be- 
zeichnet wird. Auf den Maschinen, die in unserem 
Jahrhundert von asiatischen Volkern, die sie lange ge- 
braucht haben, nach Europa gekommen sind, sind die 
Kolumnen mit Saiten oder Staben vertauscht, auf denen 
sich Kugeln oder dergleichen verschieben lassen. Jede 
Kolumne oder jeder Stab kann aus zwei Unterabteilungen 
bestehen, von denen die eine 4 oder 5 Marken zur Be- 


266 


Die indische Mathemetik: 


zeichnung von Einheiten einer gewissen Art enthallt, die 
andere 1 oder 2 Marken zur Bezeichnung fiinfmal 
so grosser Einheiten. Von Rechenpfennigen giebt es ver- 
schiedene Formen um Einheiten verschiedener Art zu 
bezeichnen. Dass diese Hiilfsmittel sich benutzen lassen 
um einfache Rechnungen, Addition, Subtraktion und 
Multiplikation mit kleineren Zahlen auszufiihren, erkennt 
man leicht, und deshalb wollen wir uns mit einer Unter- 
suchung dariiber, wie man das an den verschiedenen 
Orten gemacht hat, nicht aufhalten. 

Man kommt unserem Zahlenrechnnen naher, wenn 
man die eingeteilten Kolumnen allerdings benutzt, aber 
statt Marken auf die Kolumnen zu legen Zahlzeichen fiir 
1 9 in sie hineinschreibt. Hierzu ist nicht nur die 
Kenntniss der Schreibkunst erforderlich, sondern auch, 
da man seine Marken nun nicht rnehr mechanisch zu- 
sammenzahlt, zugleich das Einiiben von Tabellen (Eins 
und Eins, Einmaleins) oder die Benutzung geschriebener 
Tabellen. Man hat das Positionssystem, wenn man statt 
die im voraus gezeichneten Kolumnen zu benutzen, die 
geschriebenen Ziffern selbst diese Kolumnen bilden lasst. 
Dazu bedarf man eines Zeichens, das einen Platz aus- 
fiillt ohne selbst irgend welchen Wert zu besitzen, namlich 
0. Dass die Erfindung der Null nicht ganz von selbst 
kam, sieht man daraus, dass das Positionssystem so lange 
auf sich warten liess. Im iibrigen hat sich ergeben, dass 
selbst, nachdem es gefunden war, eine gewisse Entwickelung 
dazu gehorte um es benutzen zu konnen. Nicht nur muss 
man, um ein System von Kolumnen gebrauchen zu konnen, 
worin die Zahlen hineingeschrieben werden, schreiben 
konnen und einige Tabellen (Eins und Eins, Einmaleins) 
gelernt haben, sondern man muss auch einigermassen 
zierlich und gleichmassig schreiben, damit die Ziffern auf 
ihren rechten Platz kommen, und man muss mehr im 


2. Zahlen vor und bei den Indern. 267 

Gedachtnis behalten, als wenn man iiberschiessende Ein- 
heiten hoherer Ordnung und so viele ZifEern, wie man 
will, in die im voraus gezeichneten Kolumnen hinein- 
schreiben kann. 

Mit Ausnahme der beiden letzten haben die hier 
genannten Mittel keine Anspruche an die Kenntnis der 
Schreibkunst gemacht. Dasselbe lasst sich sogar von 
den ersten Entwickelungsstufen der Zahlenschreibung selbst 
sagen, die nur in festen Marken statt der beweglichen 
Steine, Kugeln oder Rechenpfennige bestanden haben. 
Man hat, ganz so wie es jetzt geschieht, wenn die Einer 
einzeln kommen, z. B. beim Stimmenzahlen, fur jeden 
Einer eine Marke abgesetzt. Man hat solche Marken in 
neue fur 5 oder 10 zusammenfassen konnen, fur die 
jedoch spater selbstandigere Marken entstanden sind, 
ebenso wie fiir die hoheren Einheiten. Auf diese Art 
kommt man dann zu einer zusammenhangenden Zahl- 
bezeichnung wie diejenige der Romer war - - um uns an 
ein wohlbekanntes Beispiel zu halten . Es ist leicht 
zu begreifen, wie eine derartige Zahlenschreibung ent 
standen ist, und es wiirde leicht sein die Bedeutung 
einer solchen Zahlenschrift zu linden, selbst ohne irgend 
welche Anleitung empfangen zu haben. 

Die Griechen, die in alteren Zeiten, wie sich aus 
alten Inschriften ergiebt, die Zahlen auf ahnliche Weise 
geschrieben hatten, benutzen in der uns iiberlieferten 
Litteratur vollkommen entgegengesetzte Principien fur 
die Zahlenschreibung. Jede ganze Anzahl Einer, Zehner 
und Hunderter hat namlich ihren eigenen Buchstaben. 
Man schreibt 

fiir 1 2 3 ... 9 10 20 ... 100 200 .., 
a ft- y ... i x . . Q o ...; 


268 Die indische Mathematik: 

dadurch wird beipsielsweise 

803 = coy, 83:= 7*7, 833 


Diese Bezeichnungsart scheint im ersten Augenblick 
ihres unsystematischen Charakters wegen ein Riickschritt 
zu sein. Nichts lasst erkennen, was gleichartig 1st. So 
verraten die Zeichen ft, K, o durch nichts, dass man es 
mit gleichviel Einheiten verschiedener Art zu thun hat. 
Indessen sieht man, dass die Griechen eine Zahl viel 
kiirzer darstellen als die Romer, und ihre Zahlbe- 
zeichnung darf nicht, selbst wenn sie das einzige ware, 
was wir von den Griechen kennten, als Zeichen einer 
niedrigeren Entwickelungsstufe betrachtet werden. In 
unseren Tagen haben viele Sprachforscher die altere An- 
sicht aufgegeben, dass es ein Zeichen fur die hohe Ent- 
wickelung einer Sprache sein solle, wenn sie wie die 
lateinische durch vollstandige Regeln alle Worte auf 
solche Formen und in solche Verbindungen mit einander 
bringt, dass derjenige, der noch keinen Begriff vom Zu- 
sammenhange hat, aus den Formen schliessen kann, wo- 
hin jedes Wort gehort, und sich so den Zusammenhang 
konstruieren kann. Etwas ganz ahnliches findet man 
in den Sprachen der am wenigsten entwickelten Volker. 
Jetzt dagegen sieht man die Vollkommenheit einer Sprache 
darin, dass sie mit so wenig Mitteln wie moglich, also 
mit der geringsten Miihe fur den Sprechenden und den 
Horenden ein vollkommenes Verstandnis herstellt. Hierzu 
gehort, dass man (wie im Englischen) solche Hiilfsmittel 
fur die Beurteilung des Zusammenhanges zwischen den 
einzelnen Worten auslasst, die in Wirklichkeit uberfliissig 
sind. Soil das Verstandnis nicht verloren gehen, so 
wird dann allerdings eine genauere Kenntnis von der 
Sprache, z. B. von der Bedeutung der Wortstellung, ver- 
langt, wenn Missverstandnisse unmoglich sein sollen ; ist 


2. Zahlen vor und bei den Indern. 269 

aber diese Kenntnis vorhanden, so gelangt man viel 
rascher zum Verstandnis, als wenn man sich den Zu- 
sammenhang durch Betrachtung der Ubereinstimmung in 
Genus, Numerus und Casus, konstruieren soil. Einen 
ahnlichen Vorteil gewahrte das Schreiben und Lesen der 
Zahlen bei den Griechen gegeniiber der Weitlaufig- 
keit der romischen Zahlen. Die Griechen konnten die 
Zahlen bis 1000 nicht nur ebenso kurz schreiben wie 
wir, sondern fiir den, der mit den Zeichen vertraut ist, 
sind ihre Zahlen auch rascher zu lesen, als wenn man 
sich durch eine romische Zahl hindurch zahlen muss. 

Als Schriftzeichen fiir nicht zu grosse Zahlen diirften 
die griechischen also sehr gut sein. Indessen waren 
diese Bezeichnungen, vermutlich weil man, wo es notig 
war, nebenher mechanische Mittel fiir das Rechnen be- 
nutzte, allzu ausschliesslich nur fiir die schriftliche Mit- 
teilung bestimmt. Um eine Zahlenschreibung zu erhalten, 
die zugleich zweckmassig als Rechenrnittel und brauchbar 
fiir die Darstellung von unbegrenzten Zahlen war, musste 
man auf dem betretenen Wege wieder umkehren. Fiir 
eine solche Zahlenschreibung war eine Vereinigung von 
griechischer Kiirze mit romischer Durchsichtlgkeit erfor- 
derlich. Einige Annaherung hieran zeigt eine Bezeichnung, 
welche die Chinesen benutzen: die verschiedenen hoheren 
Einheiten haben jede ihr besonderes Zeichen, und ihre 
Anzahl wird durch dieselben Ziffern angegeben, die die 
einfache Anzahl von Einern bezeichnen. Wenn wir die 
eigenen Zeichen der Chinesen mit einer Kombination 
der romischen nnd unserer Zahlzeichen vertauschen, so 
lasst sich die Aiiwendung dieses Systemes durch die fol- 
genden Bezeichnungen darstellen : 

833=803X3, 803 = 803, 83 = 8X3. 


270 Die indische Mathematik : 

Einfacher wird das System, wenn man die Art der 
hoheren Einheit durch hinzugefiigte Marken angiebt, wie 

833 = 833, 803 = 83, 83 = 83. 
Kiirze, Klarheit und Anwendbarkeit sind jedoch am 
besten im Positionssystem vereinigt. 

Nachdem wir hier an den am besten bekannten Bei- 
spielen erlautert haben, wie die Bildung von Zahlen im 
allgemeinen vor sich gegangen ist, und zugleich die 
Wege gezeigt haben, auf denen man zum Rechnen und 
zum Schreiben der Zahlen gelangt ist, wollen wir noch 
einen Blick auf das werfen, was wir in dieser Beziehung 
von den Indern vor der Erfindung des Positionssystem es 
besonderes wissen. 

Dass die In der sich fruh mit grossen Zahlen beschaf- 
tigt haben, ergiebt sich daraus, dass sie schon fruh 
Namen fur die decimalen Einheiten bis hinauf zu 1C 17 
gebildet haben. Altes Interesse fiir grosse Zahlen verrat 
sich ferner dadurch, dass in Legenden von Buddha er- 
zahlt wird, er habe derartige Namen bis hinauf zu 10 54 
gebildet, ja er habe Bildungen von noch hoheren Zahlen 
beabsichtigt. Hieraus und aus der Neigung der Inder 
zu numerischen Ubertreibung geht hervor, dass sie bereits 
von Alters her das besassen, was Archimedes den Griechen 
erst in seiner Sandrechnung brachte. In ihren Benen- 
nungen fiir die decimalen Einheiten fehlt es allerdings 
an solchen Ruhepunkten, wie wir sie in Tausend, einer 
Million u. s. w. haben. Das ist ein Mangel an System; 
aber es ist doch, wie bei der Zahlenschreibung der Griechen, 
ein Zeichen von Entwickelung, dass man sich durch die 
vielen verschiedenen Bezeichnungen iiberhaupt verstandlich 
machen konnte. Die bestimmte Absonderung jeder ein- 
zelnen decimalen Einheit weist im iibrigen auf die 


2. Zahlen vor und bei den Indern. 271 

Principien bin, aus denen das Positionssystem hervor- 
gehen sollte. Diese Principien finden sogar Anwendnng 
beim Aussprechen von Zahleri. So wird an einer Stelle 
die Zahl 1577917828 durch eine Mischung von bildlichen 
Ausdriicken fur Zahlen und eigentlichen Zahlen, indem 
mit den Einern begonnen wird, dargestellt, durch Vasu 
(d. i. eine Klasse von 8 Gottheiten), 2, 8, Berge (7) 
Form (1), Ziffern (namlich die 9), 7, Berge, Mondtage 
(15, d. i. ein halber Monat). Die letzte Bezeichnung ent- 
spricht einer zweiziffrigen mit 1 beginnenden Zahl, und 
dasselbe kann auch innerhalb einer auf ahnliche Weise 
zusammengesetzten Zahl stattfinden. Das Hersagen der 
Zahl geschieht auf solche Weise rascher als bei uns, 
wenn wir uns nicht auch etwa damit begniigen wollten, 
die einzelnen Ziffern der Reihe nach zu nennen. Da- 
gegen ergiebt sich die Misslichkeit, dass eine und die- 
selbe Ziffer, hier beispielsweise sowohl 7 wie 8, verschiedene 
Namen erhalt. Das hangt indessen mit einem Hiilfs- 
mittel zusammen, das angewandt wurde um sowohl Zahlen 
als auch mathematische Regeln im Gedachtnis zu behalten, 
namlich sie in Verse zu bringen, ein Mittel, das sicher- 
lich mit den poetischen Neigungen der Hindu in Ver- 
bindung stand, das aber auch praktischen Nutzen ge- 
wahrte. 

Das angefiihrte Beispiel findet sich allerdings bei 
Brahmagupta, als das Positionssystem also schon langst 
bekannt war; aber ihrer ganzen Beschaffenheit nach 
muss diese Art der Benennung, die fur die verschiedenen 
Zahlen alte, nach Ubereinkunft gebildete Namen voraus- 
setzt, alt sein. Da in der angefiihrten Zahl -die Null 
fehlt, so kann sogar dieses Beispiel selbst alt sein. 

Was die eigentliche Schreibung der Zahlen betrifft, 
so haben wir bereits bemerkt, dass die Benutzung der 9 
Ziffern sich auf uralten Inschriften findet. Um hieraus 


272 Die indische Mathematik: 

grossere Zahlen zusammenzusetzen kann man sich ernes 
Verfahrens bedient haben, wie es sich bis vor kurzein 
auf Ceylon erhalten hat. Dieses besteht darin, dass man 
teils wie die Griechen die 9 Ziffern durcli besondere 
Zeichen fur 10, 20, 30 ... 100 und demnachst Mr 
1000 erganzt, teils wie die Chinesen eine gewisse Anzahl 
von Hunderten dadurch bezeichnet, dass man die be- 
treffende Ziffer vor das Zeichen fiir 100 stellt, oder man 
kann auch dem Princip der Chinesen ganz gefolgt sein. 
Ungefahr so wie diese verfahrt namlich noch Ary- 
abhatta. Er benutzt die Konsonanten um die Ziffern 
auszudriicken, und giebt durch einen hinzugefiigten Vokal 
an, von welcher decimalen Einheit diese Anzahl genommen 
werden soil. So ist 

ga = 3, 0i=30, ^M = 30000 u. s. w. 

Dadurch erreicht er eine horbare Darstellung von Zahlen, 
die in Verse hinein passen kann. 

Die Arten des Verfahrens, welche die Inder fiir das 
Rechnen benutzten, bevor das eigentliche Positionssystem 
durch Einfiihrung der Ziffer vollendet worden war, 
konnen sehr wohl denen geglichen haben, die man an- 
wandte, nachdem es zur Benutzung gelangt war; derm 
die Zahlen schreibung, deren man sich bediente, wird es 
jedenfalls deutlich gemacht haben, wieviele von jeder 
decimalen Einheit vorhanden waren. Unmittelbar konnen 
solche Arten des Verfahrens bei den uns uberlieferten 
Schriftstellern benutzt worden sein, wo die Bedeutung 
der 9 Ziffern, die man hatte, durch ihren Platz in einem 
im voraus eingeteilten Rahmen angegeben wird, denn in 
einem solchen erhalt man durchaus keine notwendige Ver- 
wendung fiir das Zeichen 0. Das gilt z. B. von folgen- 
der Form fiir die Multiplikation von 12 . 735, die auch 
auf grossere Zahlen angewandt wurde: 


2. Zahlen vor und bei den Indern. 


273 


7 


3 


5 


1 


1 


4 


6 


8820 

Die Produkte der einzelnen ZifEern sind derartig in 
Einer und Zehner zeiiegt, dass man hinterher nur das 
Zusammenzahlen in der Richtung der einen Diagonale 
der kleinen Quadrate vorzunehmen hat. 

Die an das Positionssystem angeschlossenen Kechen- 
regeln waren bei den Indern der Hauptsache nach die- 
selben, die noch heutigen Tages benutzt werden. Die 
Abweichungen davon batten meist rein aussere Griinde. 
So hatte man Rechentafeln, die im Verbal tnis zu den 
ziemlicb grossen ZifEern, die man der Deutlichkelt wegen 
schreiben musste, nur klein waren; aber diese ZifEern 
liessen sicb leicht ausloschen und durcb andere ersetzen. 
Aus diesem letzten Grunde stand dem nicbts im Wege, 
von links nach rechts zu addieren und zu multiplicieren, 
wenn man nur bestandig die bereits hingeschriebenen 
ZifEern durch Hinzufiigen der uberschiessenden Einheiten 
hoherer Ordnung verbesserte. Bei Multiplikation mit 
einer mehrzifErigen Zahl begann man, wenn man tiichtig 
genug war um ein so umstandliches Aufschreiben wie 
das eben angefiihrte entbehren zu konnen, darnit, mit der 
hochsten Ziffer zu multiplicieren. Wahrend man mit der 
nachsthochsten rnultiplicierte, konnte man gleichzeitig 
das dadurch entstandene Paiiialprodukt zu dem bereits 
gebildeten addieren und dieses in die so gebildete Summe 
umandern u. s. w. Ausser Multiplikator und Multipli- 
kandus, welcher letztere bestandig so verschoben wurde, 
dass seine Einer ebensoweit nach rechts standen, wir 

18 


274 Die indische Mathematik: 

die Einer des Partialproduktes, das gerade gebildet werden 
sollte, enthielt die Tafel also fortwahrend nur eineZahl, 
die durch Addition der bereits hergestellten Partialpro- 
dukte gebildet war. 

Ein solches bestandiges Ausloschen verlangt grosse 
Sicherheit, da man die Mittel um etwaige Fehler zu ent- 
decken bestandig vernichtet. Man muss namentlich dar- 
auf bauen kb nnen, dass das Gedachtnis sowohl die augen- 
blicklich vorkomnenden Zahlen, als auch die Tabellen, 
die benutzt werden, festhalt. Solche Tabellen werden 
heutigen Tages in Indien in grossem Umfange auswendig 
gelernt, und in alten Zeiten ist es sicher nicht weniger 
der Fall gewesen. Man lernt jetzt Multiplikationstabellen 
auswendig, deren einer Faktor eine von den Zahlen von 
1 bis 10 ist, der andere eine von den Zahlen von 1 bis 
30, ja bis 100, nebst den Briichen J, , f, 1J, 2J, 3, 
ferner umfassende Quadrattafeln. Bei einem derartig 
geubten Gedachtnis ist es nicht zu verwundern, wenn die 
Inder auch imstande waren die jetzt sogenannte Fou- 
riersche Multiplikation grosserer Zahlen anzuwenden, 
die darin besteht sofort (kreuzweise) die Produkte von den 
einzelnen Ziffern der Faktoren, welche dieselbe decimale 
Einheit zum Produkte haben, zu bilden und zu addieren. 


3, Anwendungen des Zahlenrechnens, 

Wir wollen nun sehen, auf welche Aufgaben die 
Inder ferner die numerische Rechenfertigkeit, fur welche 
die Bildung des Positionssystein das beste Zeugnis ist, 
anzuwenden vermochten, und wofiir dieses System dem- 
nachst das beste Hiilfsmittel wurde. Aufklarungen dar- 
iiber konnen wir namentlich in den zahlreichen Reclien- 
regeln und der reichen Sammlung von Aufgaben findrn, 


3. Anwendungen des Zahlenrechnens. 275 

die in Bhaskaras Lilavati enthalten sind, aber auch 
anderswo. So giebt bereits Aryabhatta dieselben Regeln 
fur das Ausziehen der Quadrat- und Kubikwurzel, 
die wir jetzt aus den Ausdriicken fiir (a -\- 6) 2 und 
(a -f 6) 3 ableiten. 

Von dem Inhalte unserer gewohnlichen Rechenbiicher 
kannten die Inder einfache und zusammengesetzte Regula 
de tri, Zinsrechnnng, auch mit Zinseszins, Gesellschafts- 
rechnung, die Mischungsregel, Regeln fiir Raummessung 
u. s. w. Verschiedene andere Aufgaben, die wir jetzt 
auf eine Gleichung bringen, werden auch nach bestimmten 
Rechenregeln gelost. Hierzu gehort die Regel des falschen 
Ansatzes (regula falsi}, die wir bei den Agyptern (S. 11) 
gefunden haben; bei dieser bleiben sie jedoch nicht stehen. 
Aus spateren arabischen Quellen wissen wir, dass sie 
auch die sogenannte Regel der zwei falschen Ansatze 
(regula duorum falsorum) benutzten. Diese dient dazu 
eine Aufgabe, die wenn man sie auf eine Glei 
chung gebracht hatte - von einer Gleichung ersten 
Grades von der Form 


abhangen wiirde, durch zwei Versuche zu losen. Geben 
x = a und x = ft beim Einsetzen in die linke Seite die 
von k verschiedenen Werte /(a) und /(/?), so wird x 
aus den Abweichungen k /(a) und k /(/?) nebst a 
und ft nach einer Rechenregel bestimmt, die sich durch 
die Formel 


_ 


wiedergeben lasst. Wie man sieht fallt diese Rechenregel 
genau mit dem zusammen, was wir jetzt einfache 
Interpolation nennen, und wir wissen dann, dass sie 

18* 


2,(&gt; Die indische Mathematik: 

sich nicht nur wie bei den Indern fur exakte Berechnung 
verwenden lasst, wenn f(x) wirklich eine ganze Funktion 
vom ersten Grade wird, sondern auch fur weitergehende 
Annaherung, wenn a und /? bereits Naherungswerte sind. 
Eine derartige Anwendung treffen wir jedoch erst spater 
bei den Arabern und in Europa. 

Eine andere Rechenregel von sehr allgemeiner Be- 
schaffenheit ist die Re gel der Umkehrung. Diese 
besteht ganz einfach darin, dass man, wenn man eine 
Zahl finden soil, die, nachdem sie einer gewissen Reihe 
von Rechnungen unterworfen ist, eine bekannte Zahl 
darstellt, dies dadurch erreicht, dass man die letztge- 
nannte Zahl alien umgekehrten Rechnungen in uin- 
gekehrter Reihenfolge unterwirft. 

Im ubrigen werden verschiedene specielle Regeln auf- 
gestellt, die wir durch Auflosen von Gleichungen ersten 
oder zweiten Grades mit einer oder mehreren Unbekannten 
finden wiirden, und die die Inder, wie wir bald sehen 
werden, ebenso hatten finden konnen. Das gilt z. B. 
von den Rechenregeln iiber DifTerenz- und Quotienten- 
reihen, bei denen nicht allgemeine Relationen aufgestellt 
werden, in denen man die verschiedenen Grossen als 
Unbekannte betrachten kann, sondern bei denen beson- 
dere Regeln mitgeteilt werden urn jede einzelne von den 
Grossen zu berechnen, wenn die ubrigen bekannt sind. 
In Lilavati werden sie ohne Beweis mitgeteilt. Dasselbe 
gilt von verschiedenen anderen Regeln, die wir lieber im 
nachsten Abschnitt als Zeichen fiir die zahlentheoretischen 
Kenntnisse der Inder mitnehmen wollen. 

Dagegen diirfen wir die Rechenkunst der Inder nicht 
verlassen ohne einige Proben von den Formen zu geben, 
in die sie ihre Beispiele fiir die Anwendung ihrer ver 
schiedenen Rechenregeln kleiden. 


3. Anwendungen des Zahlenrechnens 277 

Eine rein numerische Anwendung der erwahuten 
Methode der Umkehrung 1st das folgende Beispiel: 

Schones Madchen mit den funkelnden Augen! (das 
1st Lilavati). Du, die Du die richtige Methode der Um 
kehrung kennst! Nenne mir die Zahl, die mit 3 multi- 
pliciert, um | des Produktes vermehrt, dividiert durch 
7, vermindert um des Quotienten, multipliciert mit 
sich selbst, vermindert um 52, durch Ausziehen der 
Quadra twurzel, Addition von 8 und Division mit 10 eine 
2 giebt. 

Eine Aufgabe die sich durch die einfache Regel des 
i alschen Ansatzes losen lasst, ist folgende: 

Ein funftel eines Bienenschwarms setzt sich auf eine 
Kadambablume, ein Drittel auf eine Silindhablume, das 
Dreifache von der DifTerenz zwischen diesen beiden Zahlen 
ist auf eine Kutajablume geflogen, und eine einzelne 
Biene ist in der Luft umhergeflogen, angezogen vom 
Dufte eines Jasmins und eines Pandanus. Nenne mir, 
schones Madchen, die Anzahl der Bienenl 

Eine quadratische Gleichung wird in folgender Ge- 
stalt dargestellt: 

Mitten im Kampfe ergriff Prit has rasender Sohn 
eine Anzahl Pfeile um Carna zu toten. Die Halfte ge- 
brauchte er zu seiner eigenen Verteidigung und das Vier- 
fache der Quadratwurzel gegen die Pferde. 6 Pfeile 
durchbohrten den Kutscher Salya, 3 andere spalteten 
den Sonnenschirm und zerbrachen die Standarte und den 
Bogen, und Carnas Haupt wurde von einem Pfeil durch- 
bohrt. Wie viele Pfeile hatte Arjuna (Prit has Sohn)? 

Das folgende soil, was nicht leicht zu wissen ist, 
ein Beispiel fur umgekehrte Regula de tri sein: 

Wenn eine Sklavin von 16 Jahren 32 Nishkas kostet, 
was kostet dann eine von 20 Jahren? 

Als Unterlage fur diese Berechnung wird nur ange- 


278 Die indische Mathematik: 

fiihrt, das der Wert lebender Geschopfe sich nach dein 
Alter richtet. 

Etwas niichterner sind folgende Beispiele fur zu- 
sammengesetzte Regula de tri: 

30 Balkan von 12 und 16 Zoll Dicke und Breite 
und 14 Fuss Lange kosten 100 Nishkas; was kosten 
dann 14 Balken von 8 und 12 Zoll Dicke und Breite 
und 10 Fuss Lange? Wenn es 8 Drachmen kostet die ersten 
Balken eine Meile fortzuschaffen, wie viel kostet es dann die 
letzten Balken 6 Meilen fortzuschaffen? 

Selbst hier wiirde es in der Praxis nicht imrner aus- 
gemacht sein, ob Proportionalitat stattfindet zwischen 
Preis und Grosse des Balkens oder der Menge von dem, 
was fortgeschafft werden soil. Man kann also durchgehends 
sagen, dass die Beispiele aus Interesse und zur Einubung 
der Berechnung gemacht seien. 

Diese wenigen Beispiele zeigen, wie verschieden die 
Gebiete sind, denen die Aufgaben entnommen werden; 
bei anderen werden bald eine Anzahl von Blumen, bald 
ein Zinsfuss, bald eine geometrische Grosse gesucht. 
Gerade die reichen Einkleidungen verraten die Freude, 
die man am Aufstellen und Losen von Aufgaben hatte. 
In Ubereinstimmung hiermit schliesst ein Schriftsteller 
des 7ten Jahrhunderts seine Arbeit mit folgenden Worten: 
Wie die Sonne durch ihren Glanz die Sterne iibertrifft, 
so wird der Einsichtsvolle den Ruhm anderer verdunkeln, 
wenn er in der Volksversammlung algebraische Aufgaben 
vorlegt, und noch mehr wenn er sie lost. 


4, Algebra und Zahlentheorie; Geometric, 

Wir wenden uns nun zu der Algebra, die bei 
Bhaskara namentlich in seiner Vijaganita oder 


4. Algebra und Zahlentheorie; Geometric. 279 

Wurzelberechnung behandelt wird, von der man sagen 
kann, dass sie ein mit Beweisen verbundenes Rechnen 
sei. Diese Beweise werden jedoch keineswegs mit grie- 
chischer Strenge gefiihrt und bestehen im wesentlichen 
darin, dass die Aufgaben hier auf eine Gleichung ge- 
bracht sind, deren Losung auch in der That eine Be- 
griindung fiir die Richtigkeit der Rechnungen giebt, die 
zur Auflosung fiihren. Dadurch erfahrt man teilweise, 
wie die in Lilavati gegebenen Rechenregeln gefunden 
sein konnen. 

Die indische Algebra stimmt mit derjenigen Dio- 
phants darin iiberein, dass sie sich von der geometrischen 
Darstellung frei gemacht hat und die Zahlen nur als 
solche behandelt. Fiir Diophant als Griechen ergab 
sich indessen hieraus die Forderung, dass die Grossen, 
die aus der Rechnung hervorgingen, Zahlen, d. h. rationale 
Zahlen sein sollten. Wenn auch die Inder wegen ihrer 
weniger feinfiihligen Logik kein Bedenken trugen ohne 
weiteres die Rechenregeln von rationalen auf irrationale 
Zahlen zu iibertragen, so gab dennoch eben dieser Um stand 
ihren Operationen einen weit grosseren Umfang. Statt 
der in geometrischer Form gehaltenen Urnformungen 
irrationaler Grossen bei Euklid treffen wir daher bei 
den Indern das Rechnen mit irrationalen Zahlen. Sie 
kannten Regeln um Briichen rationale Nenner zu geben 
und - - was Euklid in geometrischer Form ausfuhrt - 
um doppelte Irrationalitat aufzuheben. Sie wussten 
sogar, dass 

V 16 + Vl20 + V72 + V60 + V48 + V40 + 


ein Beispiel, das jedoch wahrscheinlich durch die um- 
gekehrte Rechnung gebildet worden ist. 


280 Die indische Mathematik: 

Auch in anderer Beziehung uberschritten die Inder 
die Grenzen, die ein vorsich tiger Grieche sich setzen 
musste. Da die Griechen durchaus nicht den Begriff 
negative Grossen* aufgestellt batten, so mussten sie da- 
fur sorgen, dass die Grossen, die gleich gesetzt wurden, 
sicher positiv waren, und wenn eine gestellte Aufgabe 
von selbst zu einem negativen Resultat fiihrte, so musste 
auch der Griecbe, der die Bedeutung hiervon erkannte, 
sofort diese Erkenntnis benutzen um die Form der Auf 
gabe so zu verandern, dass nach der entsprechenden 
positiven Grosse gefragt wurde. Die rechnenden Inder 
nahmen die Rechnungen und ihre Resultate mehr so, 
wie sie sich von selbst darboten. Sie kummerten sich 
nicht darum, in wie weit eine Grosse auf der einen 
Seite des Gleichheitszeichen wirklich positiv oder negativ 
war, und wenn eben die gesuchte Grosse negativ wurde, 
so haben sie allerdings oft eine solche Wurzel verworfen, 
oft aber auch verstanden sich dadurch mit ihr abzufinden, 
dass sie sie als Schuld bezeichneten. Sie haben auch, 
wenn auch zunachst nur zur Benutzung bei Behandlung 
der einzelnen Glieder in Rechnungen mit mehrgliedrigen 
Grossen, Regeln aufgestellt far dass Rechnen mit Grossen, 
die mit Vorzeichen versehen sind. In Verbindung hier- 
mit erkannte man, das eine Quadratwurzel mit doppeltem 
Vorzeichen gerechnet werden muss, und deshalb legte 
man einer Gleichung zweiten Grades zwei Wurzeln bei. 
Wurde die eine von diesen negativ, so wurde sie jedoch 
in der Regel verworfen. 

Ein anderer Beweis fur eine gliickliche Deutung ist 

eine vorkommende richtige Erklarung von . Indessen 

trifft man auch auf ganz unrichtige Anwendungen von 
derartig gebildeten Grossen. 


4. Algebra und Zahlentheorie; Geometrie. 281 

Was die analytischen Hiilfsmittel der Inder betrifft, 
so benutzten sie wie Diophant Zeichen, die in Wirk- 
lichkeit Abkiirzungen von Wortern waren, um gesuchte 
Grossen und ihre Potenzen darzustellen ; sie gingen aber 
welter als jener, da sie gleichzeitig rnehrere verschiedene 
Unbekannte bezeichnen konnten. Das thaten sie, indem 
sie jeder von diesen eine verschiedene Far be beilegten, 
deren Namen sie dann auch abkurzten. Diese Erweiterung 
der Zeichensprache gab auch Veranlassung zur Erweite 
rung der Rechnungen mil den Grossen, die durch diese 
Zeichensprache dargestellt wurden. 

Diese verbesserten Hiilfsmittel erwiesen sich den 
Indern niitzlich bei ihrer Behandlung von bestimrnten 
Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten ; aber 
auf diesem Gebiete treffen wir dennoch nichts anderes 
als das, was auch die Griechen denen sie gewiss die 
Losung der Gleichungen zweiten Grades verdankten - 
behandeln konnten. Etwas Neues treffen wir dagegen 
auf dem Gebiete der unbestimmten Gleichungen. 
Dieses Neue besteht namentlich darin, dass die Inder 
sich hier nicht wie Diophant mit rationalen Losungen 
begniigten, sondern Losungen in ganzen Zahlen ver- 
langten. 

Dadurch erhalten sie bereits Gelegenheit sich mit 
unbestimmten Gleichungen ersten Grades zu be- 
schaftigen. Um eine solche Gleichung durch ganze 
Zahlen zu losen, benutzten die Inder ungefahr dieselben 
Rechnungen, die entstehen, wenn man jetzt die Aufgabe 
durch Kettenbruche lost. Da die Regeln ohne Beweis 
gegeben werden, so wissen wir nicht, wie sie gefunden 
sind, und wollen deshalb nur bemerken, dass man leicht 
zu ihnen gelangen kann, ohne solche Begriffe, wie Ketten 
bruche und ihre Naherungswerte aufzustellen. Zunachst 


282 Die indische Mathematik: 

1st es einleuchtend, dass man durch Multiplikation mit 
c die Losungen der Gleichung 

ax by = c 
aus den Losungen der Gleichung 

ax by = 1 

ableiten kann. 1st in dieser letzten Gleichung a &gt; b, 
und erhalt man bei der Division von a durch b den 
Quotienten q und den Rest r, so wird 

, r x 1 
y = qx- ; 

* /yj 1 

eine solche Bestimmung von x, dass - - = z 

eine gauze Zahl wird, hangt dann von einer Gleichung mit 
einfacheren Koefficienten ab. Bei der Reduktion kommen 
genau dieselben Zahlen vor, wie wenn man das grosste 
gemeinschaftliche Maass sucht, und das Verfahren ist fortzu- 
setzen, bis man zu einem Koefficienten 1 gelangt. Das Ein- 
setzen hinterher fallt zusammen mit der Berechnung der 
Naherungswerte eines Kettenbruches. 

Indessen beschaftigte man sich nicht nur mit einer 
einzigen Gleichung mit zwei Unbekannten, sondern auch 
mit Gleichungen mit mehr Unbekannten. Die Aufgaben 
gehen oft darauf aus eine Zahl zu finden, die, durch ver- 
scldedenen gegebenen Zahlen dividiert, gegebene Reste 
giebt. Moglicherweise riihren diese Aufgaben urspriinglich 
von den Chines en her, bei denen man eine alte Regel 
fur ihre Auflosung gefunden hat. Oft betreffen sie die 
Bestimmung der astronomischen Perioden, nach denen 
eine Gruppe von Erscheinungen aufs neue zusammentrifft, 
was Veranlassung zu Verfinsterungen u. s. w. geben 
kann. Die Langen eben dieser Perioden, die den grie- 
chischen Astronomen bekannt waren, geben wohl noch 


4. Algebra und Zahlentheorie; Geometne. 283 

nur Veranlassung zu homogenen Gleichungen. Wenn z. 
B. na ch der Zeit gefragt wird, die sowohl eine ganze 
Anzahl von Tagen, a?, als auch eine ganze Anzahl von 
Jahren, t, enthalt, wenn 30 Jahre = 10960 Tage, so wird 

10960/ = 80* Oder 


Fragt man dagegen, wann das in Rede stehende 
Zusammentreffen wirklich eintritt, so erhalt man voll- 
standige unbestimmte Gleichungen ersten Grades. Fehlen 

beispielsweise -- Tage, bis der Tag zu Ende ist, und 
n q 

Jahre, bis das Jahr zu Ende ist, und soil der Augenblick, 
wo Tages- und Jahreswechsel zusammenf alien, nach 

f x -\ -- } Tagen = (l -j- ) Jahren eintreffen, so mnss 
man haben 

10980 * = 30 


Bhaskara vereinfacht jedoch die Frage durch die 
Annahme, die sich immer mit einer gewissen Annahe- 
rung erreichen lasst, dass in den Briichen die Nenner 
q= 10960 und rc = 30 sind. 

Die Gleichung xy-\-ax-{-by = c wird leicht da- 
durch gelost, dass man sie in 


umformt, worauf es nur darauf ankommt, c -\- ab in 
ein Produkt von ganzen Faktoren zu zerlegen. 

Grossere Schwierigkeiten haben die Inder iiberwunden 
bei der Behandlung von unbestimmten Gleichungen, die 
mit Bezug auf jede der Unbekannte vom zweiten Grade 
sind. Von diesen suchen sie nicht nur wie Diophant, 


284 Die indische Mathematik: 

durch . den sie gleichwohl in diese Fragen eingefiihrt 
sein konnen, rationale, sondern ganze Auflosungen. 
Namentlich beschaftigten sie sich mit Gleichungen von 
der Form 

y a = aa? +&, (1) 

auf die sich auch andere unbestimmte Gleichungen zweiten 
Grades reducieren lassen. Um eine Vorstellung von der 
Art mid Weise ihrer Behandlung zu geben, will ich hier 
ihre Losung der besonders wichtigen Gleichung 

yt^axt + l (2) 

mitteilen. 

Wir beginnen mit einem Verfahren, das von dem- 
jenigen Diophants verschieden ist, und sich zur Bildung 
einer unbegrenzten Anzahl rationaler Losungen benutzen 
lasst. Man bildet zuerst die Gleichungen 


aus denen sich b l und b 2 bestimmen lassen, wenn man 
x iy y\&gt; X 2 un d Iti beliebig wahlt. Reduciert man die 
Gleichungen auf b l und b 2 und multipliciert sie mit 
einander, so erhalt man 

(oa? 1 a? 2 + tj l ?/ 2 ) 2 a(x l y^ +^ 2 y l ) 2 = b 1 b 2 
also eine dritte Gleichung 


worin b 3 = b l b 2 , x 3 =x l y z + x z y lt (4) 

y 3 = ax l x 2 +y 1 y 2 

Lasst man die beiden Gleichungen (3) identisch 
sein, so ergiebt sich 


4. Algebra und Zahlentheorie; Geometric. 285 

oder 


und damit hat man eine rationale Losung der Gleichung 
(2). Sucht man nun dadurch weiter zu kommen, dass 
man fur x l und y^ willkurlich gewahlte Werte einsetzt, 
so kann man oft erreichen, dass die gefundenen Werte 
von x und y ganze Zahlen werden. Im besonderen sind 
die Falle zu beachten, in denen man bereits erreicht hat, 
dass 6 = +l oder +2. 

1st b = 1 , so kann man auf diesem Wege aus einer 
Losung von (2) eine neue ableiten, und darauf so 
viele wie man will. 

1st b = 1 oder +2, so wird (5) auch eine Losung 
von (2) in ganzen Zahlen geben ; denn fiir b == + 2 ist 
y 1 * = ax 1 *2, also wird ax^ -f y^ = 2 ax^ _ 2 
gerade. Zugleich ergiebt sich aus (4), dass die Kenntnis 
einer Losung von (2) gestattet, aus einer Losung von 
(1) unendlich viele Losungen abzuleiten. 

Gelingt es nun nicht fiir einen gegebenen Wert von 
a durch Versuche irgend eine Gleichung von der Form 
(1) zu bilden, wo & = +! oder +2, so benutzt man die 
sogenannte cyklische Methode um den Wert von b 
zu reducieren. 

Es sei 


eine Gleichung, in der b i bereits so klein ist, wie man 
es durch Versuche erreichen kann, die darin bestehen 

konnen, dass man einen Naherungswert von ya sein 

*i 
lasst. x l und b-^ enthalten dann keinen gerneinsamen 

Faktor, denn ein solcher wiirde quadratischer Faktor auf 


286 Die indische Mathematik: 

beiden Seiten des Gleichheitszeichen sein, und durch Ver- 
kiirzung \viirde man eine einfachere Gleichung derselben 
Art erhalten. Man setzt nun 


b l 

woraus sich x 2 und z als ganze Zahlen bestimmen lassen. 
Man wahlt diejenigen, die z* a so klein wie nioglich 

machen. Setzt man dann = b 2 , so ist einmal b 2 

eine ganze Zahl, und zweitens ax 2 2 -\-b 2 eine neue 
Quadratzahl z/ 2 2 . Diese Dinge lassen sich leicht be- 
weisen, aber die indischen Schriftsteller beweisen weder 
dieses, noch dass man wirklich auf diese Weise zu 
b 1 gelangen kann. Das letztere, zu dessen theoretischer 
Begriindung die Inder sicher die erfordeiiiche mathe- 
matische Einsicht nicht besassen, hat erst La grange, 
der selbst dieselbe Losung wiedergefunden hat, bewiesen. 
Indessen hat die grosse Zahlenfertigkeit der Inder sich 
dadurch zu erkennen gegeben, dass ihre numerischen 
Versuche sie zu einer vollkommen richtigen Methode ge- 
fiihrt und dahin gebracht haben, durch Anwendungen 
Vertrauen zu ihrer allgemeinen Brauchbarkeit zu gewinnen. 
Neben solchen zahlentheoretischen Methoden wie die 
im Vorhergehenden geschilderte besassen die Inder ver- 
schiedene zahlentheoretische Satze, unter diesen z. B. den 
folgenden: Die Grossen 


sind beide Quadrate. Wir wollen hier gleichfalls anfiihren, 
das die Inder die Formeln fiir die Anzahl der Permuta- 


4. Algebra und Zahlentheorie; Geometrie. 287 

tionen und Kombinationen, und, wie die Griechen, fur 
die Summen der Quadrate und Kuben der ersten Zahlen 
cler Zahlenreihe kannten und anwendeten. 

Bei der Geometrie der Inder langer zu verweilen 
bietet sich keine Veranlassung. Die meisten von den 
Satzen, die sie kannten, verdanken sie gewiss den Grie 
chen, aber die auf diesen aufgebaute Berechnung trieben 
sie oft welter, als diese gethan haben. Ein Satz bei 
Brahmagupta hat ein gewisses Aufsehen erregt, namlich 
eine Erweiterung von Heros Dreiecksformel auf Vierecke. 
So wie der Satz dasteht, sieht er aus, als ob der Inhalt 
eines beliebigen Vierecks durch \/(s a) (s b)(s c)(s d) 
dargestellt werden solle, worin a, b, c und d die Seiten, 
und s ihre halbe Surnme bedeutet. Bereits Bhaskara nahm 
die Sache so, und halt sich dann mit Recht iiber den 
Fehler auf, der in der Annahme liegt, dass ein Viereck 
durch seine Seiten bestimmt sein sollte. In Wirklichkeit 
beschaftigt Brahmagupta sich jedoch nur mit zwei 
bestimmteu Klassen von einbeschriebenen Vierecken, fiir 
welche der Satz ja richtig ist, aber es ist moglich, dass 
er sich von dieser Begrenzung, die bei der Angabe der 
Resultate nicht ausgesprochen wird, keine Rechenschaft 
abgelegt hat. Die Klassen von Vierecken, die er behandelt 
sind teils gleichschenkelige Trapeze, teils einbeschriebene 
Vierecke mit senkrecht auf einander stehenden Diagonalen. 
Eine Veranlassung, die indessen nicht bei Bramagupta 
hervortritt, konnen die Inder gehabt haben sich mit den 
letztgenannten Vierecken zu beschaftigen, namlich ihre 
Trigonometrie, in der sie nicht wie Ptolemaus Sehnen- 
tafeln sondern Sinustafeln benutzten. Ist namlich der 
Durchmesser des Kreises gleich 1, und betragen zwei zu- 
sammenstossende Bogen C 2x und 2y, so sieht man, dass 
die Seiten des Vierecks sin x, siny, cosx und cosy sind, 
und dass die Diagonalen sich beziehungsweise in die 


288 Indische Geometric. 

Abschnitte sin x cos y und sin y cos x, und in die Ab- 
schnitte sin x sin y und cos x cosy teilen. Die Figur ist 
also wahrscheinlich diejenige gewesen, die man zur Be- 
stimmung von sin (x -f- y) benutzt hat. 

Die Sinustafeln, die sich in Surya Siddhanta 
finden, gehen jedoch nur hinunter zu Intervallen von 
3|, wahrend die Sehnentafeln des Ptolemaus Sinus 
tafeln mit einem Intervall von J entsprechen. Sind 
diese Tafeln - - wie so vieles andere vom Inhalte dieses 
Buches - - griechischen Ursprunges, so miissen sie aus 
Werken herriihren, die alter sind als diejenigen des 
Ptolemaus; dann stammen sie vielleicht von den Astro- 
nomen in Alexandria, die im Gegensatz zu Hipp arch 
und seiner Schule Sinustafeln gebraucht haben konnen. 

Ebendaher kann vielleicht der Naherungswert - - fur 

10000 

7i, der sich bei Aryabhatta findet, gekommen sein, 
da wir wissen, dass Apollonius n genauer bestimmte 
als Archimedes. Dagegen deutet die willkurliche An- 
naherung ji = \/lQ, die sich bei Brahmagupta findet, 
nicht auf griechischen Ursprung, und ebensowenig finden 
wir griechische Vorbilder fiir eine Naherungsformel zur 
Berechnung der Sehne k eines gegebenen Bogens, die 
bei Bhaskara vorkommt, namlich 

&&amp;gt;-*) 


worin d den Durchmesser, p die Peripherie und b die 
Lange des Bogens bedeutet. 


Das Mittelalter. 


1. Allgemeine Einleitung, 

Im Alterturn hatten die Griechen, wie wir gesehen 
haben, eine Geometrie aufgebaut, welche die Raumver- 
haltnisse mit einer solchen Vollstandigkeit und mit sol- 
cher Sicherheit in alien Schliissen behandelte, dass sie 
vollauf ihren Platz als Wissenschaft selbst gegeniiber den 
strengsten Anforderungen der neuesten Zeit behaupten 
kann. Da die geometrischen Formen zugleich ein Mittel 
waren zur Darstellung allgemeiner kontinuierlicher Grossen, 
so enthalt diese Geometrie auch einen grossen Teil von 
dern, was wir jetzt reine Mathematik nennen. Unter dieser 
Form war die Algebra fortgefiihrt bis zur Losung von 
Gleichungen zweiten Grades und ihren weitergehenden 
Anwendungen, und bis zu einer Behandlung von Glei 
chungen dritten Grades, die allerdings nicht die Zuriick- 
fuhrung auf Wurzelgrossen enthielt, die wir jetzt die Lo 
sung dieser Gleichungen nennen, die aber durch Anwen- 
dung der Lehre von den Kegelschnitten Mittel lieferte 
zur Diskussion und zu einer theoretischen Untersuchung 
der Aufgaben, die von diesen Gleichungen abhangen. Die- 
selbe Methode liess sich auch auf Probleme anwenden, 
die von Gleichungen vierten Grades abhangen wiirden, 
ohne dass jedoch von irgend welch er direkten Darstellung 

19 


290 Das Mittelalter: 

solcher Gleichangen die Rede ware. Neben diesen Auf- 
gaben, die unter die endliche Analysis gehoren, batten 
die Griechen auch die Behandlung solcher Aufgaben be- 
gonnen, die jetzt der Integralrechnung angehoren, und 
wenn auch diese Behandlung nicht dahin gelangte viele 
einzelne Fragen zu umfassen, so wurde sie doch in For- 
men vorgenommen, deren grosser wissenschaftlicher Wert 
in der neueren Zeit um so mehr Anerkennung gewinnt, 
je hoher die wissenschaftlichen Anforderungen steigen. 
Endlich haben wir gesehen, dass die zu Anfang versaumte 
numerische Anwendung der Mathematik sich allmahlich 
unter den steigenden Anspriichen der Astronomie ent- 
wickelte, und bei Diophant haben wir Proben von einer 
eingehenden Untersuchung iiber die numerischen Bedin- 
gungen fiir Rationalitat kennen gelernt. 

Auf der anderen Seite haben wir gesehen, dass die 
alte Fertigkeit der In der in der Behandlung von Zahlen 
sich zu einer wirklichen Rechenkunst entwickelt hatte, 
die dasselbe Hiilfsmittel, das wir jetzt gebrauchen, das 
Position ssy stem, benutzte. Durch Beriihrung mit der grie- 
chischen Mathematik hatte diese Rechenfertigkeit auch 
bei den Indern eigentliche mathematische Fortschritte 
herbeigefiihrt. Der bedeutendste von diesen Avar eine 
zweckmassige Behandlung von Fragen, die gauze Zahlen 
betrafen. Einige von diesen Fortschritten gehoren jedoch 
vielleicht erst einer Zeit an, wo neue mathematische Ar- 
beiten bei den Arabern begonnen waren. 

Um die Verdienste der Volker, zu denen die Ent- 
wickelung der Mathematik von den Griechen und Indern 
iiberging, nach Gebiihr wiirdigen zu konnen, hat man 
jedoch zu beach ten, wie weit die voiiiegende Form der 
Mathematik davon entfernt war, clen neuen Volkern be- 
quem zuganglich zu sein. Bei den spateren Griechen 
selbst hatten die auf bewahrten Werke allerdings ein Ver- 


1. Allgemeine Einleitung. 291 

standnis der Einzelheiten aufrecht erhalten oder doch 
dann und wann wiedererwecken konnen, aber sie batten 
nicht zu einem Uberblick gefiihrt, obne den weitergehende 
Arbeiten unmoglich werden. Uber die Methoden der Ar 
beit, die ihrerzeit zu so grossen Resultaten gefiihrt batten, 
geben diese Werke kerne Auskunft, und jede fruchtbare 
Tradition daniber war langst verloren gegangen. Man 
musste deshalb selbst diese oder andere Methoden der 
Arbeit wiederfinden, bevor von einer vollstandigen Aneig- 
nung des Inhaltes die Rede sein konnte; ja von manchem 
Resultate hat man und das auch nicht einmal immer 
erst erkennen konnen, dass die Griechen es besessen haben, 
nachdem man es selbst in einer anderen Form wieder- 
gefunden hatte. Wahrend dieser ganzen Wiederauffiihrung 
der Mathematik hat jedoch das, was von den Griechen 
vorlag oder was man allmahlich bei ihnen verstehen 
lernte, selbstverstandlich in ausgezeichneter Weise zur 
Fiihrung und Anleitung gedient. 

Die indische Rechenkunst mochte, wo die Gelegen- 
heit dazu sich darbot, durch ihre praktische Anwendbar- 
keit etwas grossere Aussicht haben durchzudringen. In- 
dessen hat man zu beachten, dass es auch bei dieser 
nicht geniigt ihre Principien kennen zu lernen, um sie 
rich tig wurdigen zu konnen. Wir konnen sie nicht an- 
wenden ohne in unserer Kindheit eine gewisse Arbeit 
daran gegeben zu haben, um die einfachsten Tabellen 
auswendig zu lernen und in ihrer Benutzung geiibt zu 
werden. Ihre Vorteile fielen deshalb nicht sogleich in 
die Augen, vielleicht am wenigsten bei denen, die bereits 
Arbeit darauf verwendet hatten andere Methoden des 
Rechnens einzuiiben. 

Die unmittelbarsten Erben der am Schlusse des Alter- 
turns vorliegenden griechischen Mathematik, der einzelnen 
iiberlieferten Hauptwerke und des bestandig abnehmenden 

19* 


292 Das Mittelalter: 

Verstandnisses von diesen, waren das ostromische Reich 
und die griechisch-katholische Kultur, die in Konstanti- 
nopel dieselbe Hauptstadt hatte wie dieses Reich. Ob- 
gleich hierzu spater solche Einwirkungen kamen, die sich 
von Indien herschreiben, so treffen wir in Konstantinopel 
dennoch im wesentlichen nur eine Fortsetzung des begon- 
nenen Hinsiechens. Das empfangene Pfund, namlich die 
noch existierenden Werke der grossen griechischen Geo 
meter, wurden vergraben, ohne irgend welchen Zins zu 
geben, aber sie liessen sich dann wieder am Schlusse des 
Miltelalters ausgraben und konnten dann aufs neue der 
europiiischen Kultur zu Gute kommen. Das geschah je- 
doch erst, nachdem ein Teil der Werke und neues von 
Verstandnis begleitetes Interesse fur sie auf anderem Wege 
nach Westeuropa gekommen war, namlich durch die 
Araber. 

Ein solches Pfund wurde nicht den Volkerschaften 
anvertraut, die durch die Volkerwanderung das tjber- 
gewicht in der westeuropaischen Entwickelung erhielten. 
Diese nahmen das Christentum an und erhielten Anteil 
an der romischen Kultur, aber zu dieser gehorte die 
Mathematik nicht. Nachdem die Romantiker ihrerzeit 
das westeuropaische Mittelalter mit einem in vieler Bezie- 
hung gewiss unverdienten Strahlenglanz umgeben haben, 
ist man in unserer Zeit am meisten geneigt in die ent- 
gegengesetzte Ausserlichkeit zu verfallen und nur von 
dem finsteren Mittelalter zu sprechen. Auch dieses Urteil 
diirfte viel unbilliges enthalten, wenn man auf den Kul- 
turstandpunkt Riicksicht nimmt, auf dem die meisten der 
betrefTenden Volkerschaften am Beginn und am Schlusse 
des Mittelalters standen. Was sie wirklich im Christen 
tum und in romischen Gesetzen und Institutionen emp- 
fangen hatten, das wurde namentlich in den Klostern 
von fleissigen Mannern mit geistigen Interessen verarbeitet 


1. Allgemeine Einleitung. 293 

und gereichte den Volkern durch seinen eigenen Wert 
und seinen kulturfordernden Einfluss zum Segen. Mathe- 
matik dagegen konnte man im wesentlichen nur kennen 
lernen durch die diirftigen Ausziige aus den praktischen 
Regeln Heros und der Agypter, die man den romischen 
Landmessern verdankte, oder, wenn es hoch kam, durch 
die Bruchstiicke von Euklid oder Nikomachus, welche 
die mehr theoretischen, aber ebensowenig wisseuschaft- 
lichen Nachfolger der Landmesser in Formen iiberlieferten, 
die Veranlassung gaben zu solchen Missverstandnissen wie 
dasjenige, dass figurierte Zahlen Ausdriicke fiir Flachen- 
inhalt sein sollten. Das Niitzlichste und Zuganglichste 
des von den Romern, und durch diese von den Griechen 
erhaltenen mathematischen Erbteils, war die Rechentafel, 
abacus, die ungewiss warm dahin verbessert worden 
war, dass die Marken oder Steine, die auf die verschiede- 
nen Kolumnen der Tafel gelegt wurden, nun nicht mehr 
gleich waren und durch ihre Anzahl die Anzahl der deci- 
malen Einheiten bezeichneten, zu denen die Kolumnen 
gehorten, sondern 9 verschiedene Zeichen enthielten, die 
den Zahlen von 1 bis 9 entsprachen. Alles in allem 
stand dieses ganze Erbteil jedoch sicher hinter dein zu- 
riick, welches die Agypter ihrerzeit den Griechen hinter- 
lassen hatten. 

Dass dennoch sowohl in den Klostern wie in den 
siideuropaischen, namentlich den italienischen Handels- 
stadten Empfanglichkeit fiir Mathematik vorhanden war, 
zeigte sich, als sie in besserer Gestalt nach Europa kam. 
Das geschah durch die Arab er, die sich teils ein richtiges 
Verstandnis der griechischen Mathematik erworben und 
ihr eine neue Entwickelung gegeben hatten, in der sie 
leichter zuganglich war als in den iiberlieferten alten 
griechischen Schriften, teils in reichem Maasse indische 
Rechenkunst mit ihr verbunden hatten. Es kostete aller- 


294 Das Mittelalter: 

dings einige Zeit bevor die Europaer, nachdem sie durch 
die Kreuzziige und in Spanien und auf Sicilien mit den 
Arabern zusammengetroffen waren, sich die Mathematik 
der Araber, und durch diese einen Teil der griechischen 
und indischen Mathematik und Rechenkunst angeeignet 
hatte. Wahrend dieser Aneignung wurde jedoch der 
Durchbruch fur eine neue und rasche Entwickelung der 
Mathematik vorbereitet, der im 16ten Jahrhundert mit 
den grossen Fortschritten zusammenfiel, die nach anderen 
Richtungen bin den Beginn der neueren Zeit bezeichnen. 

Aus dem bier Gesagten geht hervor, dass der friiheste 
und bedeutendste Teil ^der mathematischen Entwickelung 
im Mittelalter bei den Arabern vor sich ging. Was die 
ausseren Bedingungen fiir diese Entwickelung betvifft, so 
mochte ich zuerst auf die ungeheure Geschwindigkeit auf- 
merksam machen, mit der die Eroberungen der Araber 
und demnachst der Muhaniedanismus sich liber weit- 
gestreckte Lander verbreiteten. Die urspriinglichen Be- 
wohner von diesen wurden durch die Annahme dieser 
Religion bald den Arabern gleich gerechnet, und die vielen 
Lander wurden dadurch in Verbindung mit einander ge- 
bracht. Zu diesen Landern gehorte Agypten, die alte 
Wiege der Geometric, mit Alexandrien, wo die Geometric 
spater zu ihrer hochsten Bliite gelangte und am langsten 
fortfuhr wirkliche Lebenszeichen von sich zu geben. Zu 
diesen gehorten auch andere Lander, die von Griechen 
bewohnt oder von griechischer Kultur beeinflusst waren. 
Die Araber uberschwemmten auch die Gegenden, die vor 
Zeiten der Sitz der babylonischen und chaldaischen Astr&lt;&gt;- 
nomen gewesen waren. Ferner drangen sie bis nach 
Indien vor und kamen dadurch in genauere Beriihrung 
mit der indischen Rechenkunst, als die Griechen es ge 
wesen waren. 

Dass sich auf diese Weise giinstige Gelegenheiten 


1. Allgemeine Einleitung. 295 

darboten um sich die ganze damals existierende Mathe 
matik anzueignen, geniigte jedoch noch nicht. Wir haben 
ja gesehen, dass die griechische Wissenschaft lange ein 
toter Schatz fur die Griechen selbst gewesen war, und 
dass die Romer, die dieselbe Gelegenheit gehabt batten 
wie jetzt die Araber um der griechischen Mathematik teil- 
haftig zu werden, und zwar zu einer Zeit, wo diese nur 
noch wenig von ihrer urspriinglichen Frische veiioren 
hatte, nicht verstanden batten diese Gelegenheit zu be- 
nutzen. Vielleicht war die eigentiimliche romische Kultur 
trotz ihrer Begrenzung zu bedeutend, als dass die Romer 
mit Bezug auf die schwierigeren Teilen der griechischen 
Wissenschaft, namentlich auf die Mathematik, so taug- 
liche Schiiler werden konnten, wie es einerseits die Volker 
der Volkerwanderung mit Bezug auf die Kultur wurden, 
die sie durch die Romer empfangen konnten, und wie 
sich andererseits nun ein in der Kultur so neues Volk 
wie die Araber gegeniiber den Resten der griechischen 
Kultur zeigte. 

Nicht alle arabischen Herrscher zeigten sich gegen 
die Wissenschaft so feindlich wie C 0rnar, der zweite 
Naohfolger des Propheten, es war, selbst wenn auch die 
wesentlichste Zerstorung der Bibliothek in Alexandria vor 
seiner und der Araber Zeit stattgefunden hat. Im Gegen- 
teil entstanden zu verschiedenen Zeiten und an verschie- 
denen Orten Reihen von Fiirsten, die eiiie Ehre darin 
setzten die Wissenschaft zu fordern, und eben dadurch 
glaubten ihr eigenes Ansehen zu vermehren. Von diesen 
soil bier nur die Reihe von Kalifen, die Abb a si den, 
namlich Almansur, Harun Arraschid und Almamun 
(754833) genannt werden, die nach Omars Geschlecht 
folgten und 762 Bagdad griindeten und zu ihrem Sitz 
erhoben. Unter diesen wurden namentlich die Elemente 
des Euklid und der Almagest des Ptolemaus ins 


296 Das Mittelalter- 

Arabische iibersetzt. Spater kamen hierzu Uoersetzungen 
von Diophant, Hero, Archimedes und Apollonius. 
Ausser diesen Hauptwerken haben die Araber ein nun- 
mehr verloren gegangenes Werk von Hipparch iiber 
quadratische Gleichungen gekannt. Gleichfalls lagen friih- 
zeitig Ubersetzungen von indischen Schriftstellern vor, 
und die indische Rechenkunst fand teils durch die indische 
Astronomie, teils wohl durch die Handelsverbindungen 
Eingang bei den Arabern. Die eigentlichen mathemati- 
schen Fortschritte, die man den Indern verdankt, scheinen 
dagegen keinen Einfluss auf die Araber geiibt zu haben, 
die mit Recht zu den Griechen als ihren besten Lehr- 
meistern in wissenschaftlicher Behandlung hinauf sahen 
und die weniger vollstandig begriindeten Theorien, die 
sich von den Indern entnehmen liessen, tibersehen batten. 
Dass die "Obersetzerarbeit sich allmahlich bis zu den 
schwierigsten griechischen Werken entstreckte, ist ein 
Zeugnis dafiir, dass nach und nach die Entwickelung er- 
reicht war, die erforderlich ist urn diese zu wiirdigen und 
zu verstehen. Aus dem, was wir hieriiber schon fruher 
gesagt haben, geht hervor, dass dies nicht ohne eine be- 
deutende selbstandige Arbeit bei den Arabern erreicht 
werden konnte. Fur den Umfang dieser Arbeit, und fur 
den Ernst, mit dem die einzelnen Mathematiker sich zur 
Teilnahme daran vorbereiteten, haben wir ein Zeugnis, 
wenn berichtet wird, dass Diophants Ubersetzer Abul 
Wafa, dessen eigene Verdienste wir spater erwahnen 
werden, in seiner Jugend Unterricht in spekulativer und 
praktischer Arithmetik (d. h. Algebra und Arithmetik) bei 
zwei Lehrern, und in Geometric bei zwei anderen Lehrern 
empfing. 


2. Die Arithmetik und Algebra der Araber. 297 


2, Die Arithmetik und Algebra der Araber, 

Es war mein Wunsch - - unter anderem durch Ver- 
gleichung mit den Romern - - den Wert und Umfang 
der mathematischen Arbeiten der Araber hervorzuheben, 
damit man nicht herabsetzende Schliisse aus den verhalt- 
nismassig wenigen positiven Resultaten ziehe, die sie iiber 
das bin aus, was die Griechen bereits wussten, erreicht 
haben. Dieser letzte Umstand 1st indessen ein Grund 
dafiir, dass wir uns bier nicbt so viel rnit den Arabern 
beschaftigen konnen, wie der Umfang ihrer Arbeiten sonst 
beansprucben zu konnen scheint. Freilich werden wir 
dazu kommen die bedeutendsten mathematischen Schrift- 
steller anzufiihren, aber mehr als Beispiele fur die Rich- 
tungen, nach denen bin die Araber im ganzen arbeiteten, 
als als Glieder in einer zusarnmenhangenden Darstellung 
der arabischen Mathematik und ihrer Entwickelung. 

Die Zeit liegt indessen noch nicht so weit hinter 
tins, wo man, aus Mangel an richtiger Auffassung von 
den iiberlieferten griechischen Schriftstellern und wegen 
ungeniigender Bekanntschaft mit der indischen Mathema 
tik, den Arabern die Ehre fur die von den Griechen be- 
griindete Algebra sowohl wie fur die Rechenkunst der 
Inder zuerteilte. Diese Vorstellung hat sogar einen blei- 
benden Ausdruck in dem Namen Algebra erhalten und 
in einer anderen mathematischen Benennung, A Igor i th 
in us, die lange Zeit von der an das Positionssystem an- 
geschlossenen Zahlenrechnung gebraucht wurde, aber jetzt 
dahin erweitert ist, dass sie von jedem System von Be- 
zeichnungen und Annahmen gebraucht wird, das ein me- 
chanisches Ausrechnen nach bestimmten Regeln gestattet. 
Beide diese Benennungen ruhren von einem einzelnen 
Mann und von einem seiner Werke her, und mit ihrer 


298 Das Mittelalter: 

Benutzung 1st die Vorstellung verbunden gewesen, dass 
wir ihm erst die Algebra mid die jetzt gebrauchliche 
Zahlenrechnung zu verdanken haben. 

Dieser Mann war Muhammed ibn Musa Alchwa- 
rizmi, und er gehorte zu dem Kreise von Gelehrten, die 
cler Kalif Almamun mit t)bersetzungen, mit einer geogra- 
phischen Gradmessung und mit anderen wissenscbaftlichen 
Arbeiten beschaftigte. Das Wort Algorithmus ist ge- 
bildet durch Ubertragung seines Zunamens auf ein Werk 
von ihm iiber die Rechenkunst, in dem Regeln fur das 
Rechnen mit Zahlen, die nach dem Positionssy stern ge- 
schrieben sind, gegeben werden, ist dann weiter auf Werke 
iibertragen worden, die spater die indische Art zu reclmen 
in Europa verbreitet haben, und von da aus endlich auf 
diese Art zu rechnen selbst. Das angefiihrte Werk kennt 
man durch eine lateinische Ubersetzung, die mit den 
Worten Dixit Algorithmic beginnt, und worin Erkla- 
rungen von der Zahlenschreibung und den vier Species 
in ganzen Zahlen und einfachen Briichen gegeben werden. 
Verdoppelung und Halbierung werden als besondere Rech- 
nungen aufgestellt. Fur die drei ersten Rechnungsarten 
wird die Neunerprobe genannt. Alles wird in Worten 
erklart und die benutzten Beispiele werden - - wenigstens 
in dem iiberlieferten lateinischen Text - nicht durch 
mit Ziffern geschriebene Zahlen erlautert, sondern die 
Zahlen werden in Worten dargestellt oder mit romischen 
Zahlzeichen. Es fehlt die Erklarung von dem, was man 
bei der Subtraktion zu thun habe, wenn eine Ziffer des 
Subtrahendus grosser ist als die entsprechende des Minuen- 
dus. Nach allem diesem wird es begreiflich, dass die 
indische Rechenkunst durch die tJbersetzung dieses Werkes 
nicht sofort in Europa recht zuganglich werden konnte. 
Seine Entstehung bei den Arabern ist jedoch ein Zeugnis 
dafiir, dass die indische Rechenkunst nunmehr bekannt 


2. Die Arithmetik und Algebra der Araber. 299 

war. Sie konnte sich dann mit Hiilfe dieses Buches ver- 
breiten, wenn es gehorig erklart wurde; der Verfasser be- 
zeichnet diese Art zu rechnen ausdriicklich als indisch. 

Ebensowenig 1st der Verfasser Schuld daran, dass 
man ihm spater die Begrundung der Algebra bat zuschrei- 
ben wollen. Er berichtet, dass Almamun ihn aufgefordert 
habe em kurzes Werk iiber Aldschebr und Almukdbala 
zu schreiben, das sich auf das Leichteste und Gebrauch- 
lichste in der Arithmetik und ihren praktischen Anwen- 
dungen beschranke. Die beiden Worte, von denen er es 
sogar uberfliissig findet eine Erklarung zu geben, miissen 
also etwas bedeuten, das im voraus in weiterem Umfange 
bekannt war. Nach der sprachlichen Bedeutung der Worte 
und dem Zusammenhange, in dem sie gebraucht werden, 
bedeutet das erste die Operation, Glieder, die von der 
einen von zwei gleichen Grossen abgezogen werden sollen, 
zu der anderen hinzuzulegen, so dass die beiden gleichen 
Grossen jede nur positive Glieder enthalten. Das andere 
bedeutet die Operation, Glieder derselben Art, namlich 
einfache Zahlen, Unbekannte und ihre Quadrate, zusammen- 
zuziehen. Der Name fur die erste von diesen Operationen, 
mit der die Behandlung der Gleichungen beginnen sollte, 
ist also auf die gesammte Lehre von den Gleichungen 
ubertragen worden. Diese Lehre und spaterhin nament- 
lich ihre Behandlung durch eine Zeichensprache, ja im 
allgemeinen die Lehre, von Operationen mit Grossen mit- 
tels .einer Zeichensprache hat also einen Namen be- 
kommen, der eigentlich einer einzelnen algebraischen Ope 
ration angehorte, die nicht einmal mehr auf diese Weise 
benutzt wird. Nun legen wir namlich keinen Wert mehr 
darauf lauter positive Glieder auf jeder Seite des Gleich- 
heitszeichens zu erhalten, so wie die Griechen, Araber 
und ihre nachsten europaischen Nachfolger es thaten. 
Wie alles, was von den griechischen Mathematikern her- 


300 Das Mittelalter: 

riihrt, hatte diese Operation indessen einen verniinftigen 
Grand. Man wollte sich namlich durch diese Anordnung 
versichern, dass die Grossen, die man gleichsetzte, positiv 
waren, welchen (positiven) Wert die Unbekannte auch er- 
halten wiirde, denn man erkannte nur positive Grossen an. 
Was wir in dem erwahnten Werke finden, ist na- 
mentlich die Behandlung von Gleichungen zweiten Grades 
und die Anwendung von diesen und von Gleichungen 
ersten Grades. Alles wird in Worten dargestellt, 
indem die Unbekannte wahrend der Behandlung Wurzel 
oder Ding genannt wird, ihr Quadrat einfaeh Quadrat . 
Die Losung von Gleichungen zweiten Grades wird durch 
geometrische Algebra gezeigt, doch zum Teil durch andere 
Figuren wie bei Euklid. So wird die Gleichung 


durch folgende Figur gelost. An die vier Seiten des un- 
bekannten Quadrates x 2 werden Rechtecke mit den Hohen 

- angelegt. Wenn die einspringenden Ecken der dadurch 

gebildeten Figur durch Quadrate mit der Seite -- aus- 

gefiillt werden, so soil das dadurch entstandene Quadrat 

a a 2 

mit der Seite x -\- -- den bekannten Wert b -\- haben. 
Z 4 

Diese Form der Losung, die auch bei anderen arabi- 
schen Schriftstellern vorkommt, und die wenigstens eine 
von Euklid unabhangige Anwendung der geometrischen 
Algebra darstellt, kann vielleicht aus uns unbekannten 
griechischen Arbeiten herriihren, z. B. aus Hipparchs 
bereits erwahnter Schrift iiber Gleichungen. Dass das 
Werk jedoch keineswegs in alien Stiicken eine Bearbei- 
tung eines griechischen Musters darstellt, sieht man aus 
den Anwendungen der Gleichungen auf praktische Ver- 


2. Die Arithmetik und Algebra der Araber. 3Q1 

haltnisse des Lebens, z. B. auf das den Arabern eigen- 
tiimliche Erbrecht. Gleichfalls muss angefiihrt werden, 
dass Muhammed ibn Musa ebenso wie die Inder der 
Gleichung x 2 -\-a 2 =bx zwei Wurzeln beilegt. Ausser 
dem griechischen Werte n = 2 T 2 und dem moglicherweise 
griechischen Werte jr = 3,1416 kennt er den indischen 
Wert VIG, ein Zeugnis dafiir, dass er nicht das Zahlen- 
rechnen allein von den Indern gelernt hat. 

Was die Auflosung der Gleichungen zweiten Grades 
betrifft, so sieht man, dass Muhammed ibn Musa nur 
dasselbe bringt, was sich bei griechischen Schriftstellern 
findet. Dass spatere Geschlechter dieses bei ihm, nicht 
aber immer bei den griechischen Schriftstellern, als sie 
von neuem bekannt wurden, haben finden konnen, beruht 
darauf, dass er Zahlenbeispiele zu den allgemeinen, in 
geometrischer Form dargestellten Losungen hinzufiigt, wah- 
rend Euklid sich damit begniigt diese zu geben, Hero 
nur einige numerische Anwendungen giebt, und Diophant 
die Losung, die er aufstellt, nicht beweist. 

Machen wir nun einen Sprung bis zu der Zeit um 
das Jahr 1000, so treffen wir auf zwei sehr verschiedene 
Behandlungen der Arithmetik und des Rechnens. Aus 
der einen, die von Alnasawi herruhrt, sehen wir, dass 
damals grosse Fortschritte in der Benutzung der indischen 
Rechenmethode gemacht waren und damit im ganzen in 
geregelter Darstellung und Behandlung von Zahlengrossen . 
So giebt es Bezeichnungen fur Briiche, die mit unseren 
ZifTern - - denn die Zahlzeichen sind nicht iiberall die- 
selben, wo das Positionssystem benutzt wird - - aussehen 
wurden wie in den folgenden Beispielen: 

15 

A ^ 15 i 7 ^- 7 - 

11 19 


302 Das Mittelalter: 

Da sich aus dem hier erwahnten Buche ergiebt, wie 
gut die indische Rechenrnethode eingedrungen und ver- 
standen war, so 1st es liberraschend, zu derselben Zeit 
und an demselben Orte ein Rechenbuch von dem bedeu- 
tenden Mathematiker Alkarchi entstehen zu sehen, in 
dem sich gar nichts von der indischen Ausfuhrung der 
Zahlenrechnungen findet. Dagegen werden die Zahlen in 
Worten mitgeteilt, und selbst weitlaufige Rechnungen 
werden ohne Benutzung der ZifTern ausgefuhrt. Das 
scheint auf einen principiellen Widerstand gegen die in 
dische Rechenrnethode hinzucleuten, und man hat die 
recht wohl annehmbare Vermutung aufgestellt, dass dieser 
von den scharfen Gegensatzen zwischen religiosen Sekten 
herriihren konne. Neben solchen Erklarungen darf man 
jedoch nicht unterlassen zu priifen, ob der Unterschiecl 
zwischen Alnasawi und Alkarchi nicht auch in dem 
verschiedenen Ziel, das sie sich stecken, liegen kann. 
Der erste hat eben die Regeln fur die einfachste praktische 
Ausfuhrung von Zahlenrechnungen geben wollen; der 
zweite dagegen hat ein wissenschaftliches Werk iiber 
Zahlen und die Benutzung von Zahlen schreiben wollen, 
und da hat er mit gutem Grunde seinen Ausgangspunkt 
bei den Griechen und nicht bei den Indern gesucht. 
Wenn er dennoch die Regula de tri der Inder mitnimmt, 
so giebt er ihr eine sichere Grundlage in Euklids Pro 
portions! ehre. Wenn er es unterlasst solche mechanische 
Hulfsmittel mitzuteilen, die wirklich dazu dienen konnen 
die vorliegenden Zahlenrechnungen zu bewaltigen, so geht 
er nicht einmal so weit wie Euklid, der nicht nur ganz 
von den mechanischen Hiilfsmitteln schweigt, die man 
anch zu seiner Zeit gehabt haben muss, sondern auch 
nicht ein einziges Zahlenbeispiel giebt. Dass Alkarchi 
(1&lt; nnoch Veranlassung findet eine Anzahl griechischer 
Methoden des Rechnens zu erklaren, die weit hinter den 


2. Die Arithmetik und Algebra der Araber. 3Q3 

indischen zuriickstehen, kann von seiner Bewunderung 
fiir die Griechen herriihren. Diese kann ihm ein theore- 
tisches Interesse fiir den Zusammenhang dieser Rechen- 
methoden verliehen haben, das man fiir die indischen 
Rechenmethoden noch nicht besass. 

Wie nun auch der Unterschied zwischen den beiden 
Schriftstellern zu erklaren sein mag, immerhin zeigt er, 
dass die Verschmelzung der griechischen und indischen 
Beitrage zu Mathematik und Rechnen Zeit erforderte. 
Beide Biicher zeigen jedoch zugleich, dass man jetzt beide 
in recht bedeutendem Umfange zu seiner Verfiigung hatte. 

Dass auch Alkarchi jedenfalls verstand mit Zahlen 
umzugehen, und zwar unter Benutzung anderer mechani- 
scher Hiilfsmittel als in seinem Rechenbuche zu finden 
sind, das geht teils aus den weitlaufigen Rechnungen her- 
vor, die sich immer noch in diesem Buche finden, teils aus 
seinem bedeutenderen algebraischen Werke Alfachri, wie 
es wahrscheinlich nach einer Person genannt ist. In 
diesem zeigt er sich als ein hervorragender Schiller von 
Diophant, der nicht nur in grossem Umfange dessen 
Untersuchungen und Beispiele wiedergiebt, sondern zu 
gleich selbst bedeutende Fortschritte macht. In dieser 
Beziehung lasst sich anfiihren, dass er Diophants Zeichen- 
sprache erweitert, ja sogar an einzelnen Stellen Zeichen 
fiir zwei Unbekannte benutzt ; dass er vollstandigere Re- 
geln fiir das Rechnen mit Grossen giebt, in denen eine 
Unbekannte vorkommt, und dass er viele andere Beispiele 
behandelt als diejenigen, die sich bei Diophant finden, 
ja dass er sich sogar auf neue Arten von unbestimmten 
Aufgaben einlasst. Als Beispiel hierfiir mogen die Glei- 
chungen 


angef iihrt werden ; setzt man y = mx, z = nx, so f olgt 


304 Das Mittelalter: 

x = m 2 a = n 2 b, 

wo m 2 und n 2 willkiirlich gewahlte Quadratzahlen mit 
der Differenz a b sind. 

Grosseres Gewicht jedoch wollen wir auf die melir 
begriffsmassigen Fortschritte legen, die wir antreffen. 
Damit diese verstanden werden konnen miissen wir be- 
merken, dass Alkarchi sich nicht nur Diophants prak- 
tische Behandlungsmethoden angeeignet hatte, sondern 
dass er auch, wie er ja bereits in seiner Arithmetik ge- 
zeigt hatte, ein vollkommenes Verstandnis von dem hatte, 
was nach griechischer Denkweise fur einen Beweis erfor- 
derlich war. Geometrische Beweise, die ja die einzige 
Form fiir allgemeingiiltige Beweise waren, giebt er jedoch 
nur fiir Losungen von Gleichungen zweiten Grades, und 
selbst da bewegt er sich mit grosserer Freiheit als die 
Griechen, da er in einem von diesen Beweisen a? 2 und 
a x durch Strecken darstellt, etwas, was ein griechischer 
Schrifteteller in einem Beweise nur indirekte dadurch 
wiirde machen konnen, dass er a? 2 und a x in Rechtecke 
mit derselben Seite verwandelte. Er begniigt sich indessen 
damit die meisten Regeln durch ein einziges Beispiel zu 
erlautern, das zeigen soil, wie sie aus den Rechnungen 
selbst hervorgehen. Ja er bemerkt sogar ausdriicklich, 
dass man sich auf das Verstandnis der Regeln fiir alge- 
braisches Rechnen vorbereiten miisse durch die allgemeinen 
arithmetischen Regeln, die er in seinem friiherem Werke 
gegeben habe. Er verspricht derartige arithmetisch-alge- 
braische Regeln in grosserem Umfange in einem Werke 
zu geben, das wir nicht besitzen. 

An und fiir sich liegt vielleicht iiichts Neues in diesen 
Betrachtungen, denn das wirkliche Rechnen mit rationalen 
Zahlen musste auch fiir die Griechen in vielen Beziehungen 
das Vorbild fiir die geometrische Behandlung gewesen 
sein, durch die sie es dahin brachten, dass dieselben 


2. Die Arithmetik und Algebra der Araber. 3Q5 

Operationen irrationale Grossen umfassten. Von grosser 
Bedeutung aber 1st es, dass diese Betrachtungen ausdriick- 
lich hervorgehoben werden. Dies zeigt sich bei Alkarchi 
in der Freiheit, mit der er irrationale Wurzelgrossen be- 
handelt. Diese werden allerdings nicht durch Zeichen 
dargestellt, sondern in Worten, die den Benennungen von 
Potenzen mit demselben Exponenten entsprechen; aber 
wie bei den Indern wird ausdriicklich gezeigt, wie man 
mit ihnen rechnen kann, namlich tells wie sie multipli- 
ciert und dividiert werden konnen, welchen Wert die Po- 
tenz auch haben mag, teils wie Quadrat- und Kubikwur- 
zeln addiert und subtrahiert werden konnen, wenn die 
Potenzen ahnliche ebene oder raumliche Zahlen sind. 
Die letzten Satze werden nicht dadurch bewiesen, dass 
rationale Faktoren mittels der ersten Satze ausserhalb des 
Wurzelzeichens gebracht werden, sondern durch Anwen- 
dung der Formeln fur (a4^b) 2 und ( + &) 3 . 

Wir sehen also, dass Alkarchi mit irrationalen 
Wurzelgrossen rechnet, oder mit anderen Worten, 
dass er sie auch als Zahlen auffasst. Indirekt thut er 
das auch dadurch, dass mehrere von seinen bestimmten 
Gleichungen zu irrationalen Wurzeln fiihren, dass also 
in den Gleichungen, die zu diesen gefiihrt haben, die 
Zeichen, die unserem x m entsprechen, Potenzen von irra 
tionalen Zahlen darstellen, wahrend Diophant stets vor- 
aussetzt, dass x eine rationale Zahl sein soil. Nun haben 
wir allerdings gesehen, dass die Inder ohne Skrupel mit 
irrationalen Zahlen rechneten, aber diesen ist Alkarchi 
wissentlich kaum gefolgt. Von Bedeutung bleibt es, dass 
wir hier dasselbe von einem Manne thun sehen, der von 
den griechischen Schriftstellern her vollkommen mit dem 
Begriffe des Irrationalen vertraut ist, und der durch die 
Weise, wie er zwischen den geometrischen Beweisen und 
den arithmetischen Erklarungen unterscheidet, zu erkennen 

20 


306 Das Mittelalter: 

giebt, dass er sich bewusst 1st, dass die letzteren keine 
allgemeingiiltigen Begriindungen liefern. Als Schiller der 
Griechen konnten die Araber deshalb nicht bei den arith- 
metischen Erklarungen stehen bleiben. Das sehen wir 
aus der Algebra, die uns von dem angesehenen arabischen 
Mathematiker Omar Alchaijami, der im 11 ten Jahr- 
hundert lebte, hinterlassen ist. Dieser setzt seine Erkla 
rungen von der Bedeutung der irrationalen Wurzelgrossen 
in direkte Verbindung mit den strengen griechischen Be- 
griffen. Er unterscheidet zwischen arithmetischen und 
geometrischen Auflosungen von Gleichungen. Die ersten 
will er nicht nur wie Diophant, und was in diesem 
Zusammenhange ausreichend sein wiirde rational haben, 
sondern auch ganz. Da sich niit diesen Grossen rechnen 
lasst, so ist ein arithmetischer Beweis fiir die Richtigkeit 
solcher Auflosungen ausreichend. Die Auflosungen der 
zvveiten Art konnen irrational sein, und deshalb mussen 
sie geometrisch dargestellt werden und verlangen einen 
geometrischen Beweis. Quadratwurzeln und Kubikwurzeln 
werden dann durch die von den Griechen her bekannten 
Konstruktionen von einer und zwei mittleren Proportio- 
nalen dargestellt. Fiir Wurzelgrossen hoherer Ordnung 
lasst sich, weil der Raum nur drei Dimensionen hat, 
keine geometrische Darstellung durchfiihren, und eine 
andere allgemeine Darstellung kennt Alchaijami nicht. 
Bei der Bildung von Potenzen hoherer Ordnung weist er 
dagegen in Ubereinstimmung mit Euklids Proportions- 
lehre auf die Bildung zusammengesetzter Verbal tnisse bin, 
wodurch auch indirekt eine Erklarung von dem gegeben 
wird, was die irrationalen Wurzelgrossen hoherer Ord 
nung, die wir bei Alkarchi getroffen haben, bedeuten 
mussen. Alchaijamis Auffassung, deren theoretische 
Bedeutung Alkarchi vermutlich auch anerkannt haben 
wiirde, ist also vollkommen griechisch. 


2. Die Arithmetik und Algebra der Araber. 397 

Was die Berechnung von Wurzelgrossen betrifft, so 
verweist Alchaijami auf das Ausziehen der Quadrat- und 
Kubikwurzel bei den Indern, und fiigt hinzu, dass er 
selbst anderswo - - dann aber in einem . unbekannten 
Werk - - Regeln fiir das Ausziehen von Wurzeln mit 
einem beliebigen Exponenten gegeben habe. Dazu muss 
er sicherlich Binomialkoefficienten fiir ganze Exponenten 
gekannt haben, muss also mit den Regeln fiir die Bildung 
dieser Koefficienten bekannt gewesen sein. Er sagt, dass 
er das Ausziehen dieser Wurzeln nur arithmetisch gezeigt 
habe. Dann hatte es fur ihn auch nur Giiltigkeit, wenn 
es sich mit Genauigkeit ausfiihren liess. Ohne dies hat 
er ja nach dem Vorhergehenden dessen wirkliche Bedeu- 
tung sogar nur angedeutet. Indessen ist es klar, dass 
sowohl das Ausziehen soldier Wurzeln wie dasjenige von 
Quadrat- und Kubikwurzeln sich auch fiir eine genaherte 
Berechnung irrationaler Wurzeln benutzen lasst. Als Bei- 
spiel fiir die Beschaftigung mit genahertem Wurzelaus- 
ziehen konnen wir im iibrigen anfiihren, dass Alkarchi 
fiir y&lt;2 2 4-r, wenn a die nachst kloinere ganze Zahl ist, 

f 

a -f- :- als weiteren Naherungswert angiebt. Diesen 

2i CL ~j 1 

Wert erhalt man, wenn man die Regel der zwei falschen 
Ansatze (S. 275) oder die Interpolation zwischen a und 
a -f- 1 anwendet. 

Wie verschieden die hier erwahnte Beschaftigung mit 
Wurzelgrossen bei Alkarchi und Alchaijami auch sein 
mag, so musste sie doch dazu beitragen bei den Arabern 
ein Problem hervorzuziehen, welches durch die griechische 
Behandlungsweise etwas verdeckt worden war, namlich 
die Losung der kubischen Gleichung durch Quadrat- und 
Kubikwurzeln. Wenn die Griechen sich auch moglicher- 
weise in alteren Zeiten mit dieser Aufgabe beschaftigt 
haben, so musste sie doch etwas von ihrem Interesse da- 

20* 


808 Das Mittelalter: 

durch verlieren, dass man die kubischen Gleichungen 
direkt durch eben dieselben geometrischen Mittel losen 
konnte, die gleichfalls zu einer allgemeingiiltigen Darstel- 
lung der Kubikwurzel dienen mussten, namlich das Dmvh- 
Bchneiden von Kegelschnitten. Ja wie wir gesehen haben, 
verschwand das Interesse dafiir, so wie Archimedes es 
gethan, Aufgaben auf kubische Gleichungen zuriickzu- 
fiihren, da man sah, dass man auch olme eine solche 
Zuruekfuhrung Aufgaben durch eben dieselben Hiilfsmittel 
losen konnte. 

Es gelang den Arabern nun allerdings nicht die L6- 
sung der kubischen Gleichung zu finden, aber das Inter 
esse, das sie ihr bewiesen, tritt in zahlreichen Unter- 
suchungen hervor. Der wichtigste Ausgangspunkt fur 
diese Untersuchung war teils Archimedes Aufgabe von 
der Kugelteilung, teils die alte Auflosung dieser Aufgabe 
durch Kegelschnitte (vergl. S. 217 ff.), von der man an- 
nimmt, dass sie von Archimedes oder doch aus seiner 
Zeit stammt. Da diese, wie wir gesehen haben, alle Glei 
chungen von der Form 

x 3 -fa a? 2 -\-b==0 

umfasst oder doch leicht dahin gebracht werden kann 
sie zu umfassen, da ferner die Bedingung fiir gleiche 
Wurzeln ausdriicklich angegeben wird, und da man leicht 
entweder die allgemeine Gleichung dritten Grades auf 
diese Form zuriickfuhren oder sie wesentlich auf dieselbe 
Weise behandeln kann, so waren auf diesem Punkte be- 
smiders grosse wissenschaftliche Schwierigkeiten nicht /u 
iiberwinden. Die Araber fiihrten indessen die Untersuchung 
der kubischen Gleichungen insofern weiter, als sie Ein- 
teilungen der Gleichungen dritten Grades aufstellten, teils 
nach den Vorzeichen der Koefficienten, teils nach &lt;1&lt; -n 
Werten von diesen, die zu mehr oder weniger Wurzeln 


2. Die Arithmetik und Algebra der Araber. 399 

fiihren. Die vollstandigste von diesen Einteilungen findet 
sich in C 0mar Alchaijamis Algebra. Fur den einzelnen 
Fall wird gezeigt, wie die Aufgabe sich durch Kegelschnitte 
16 sen lasst und wie viele Wurzeln sie erhalt, d. h. posi 
tive Wurzeln, denn nach anderen fragen die Araber nicht. 
Alchaijamis Einteilung leidet jedoch an Mangeln, die 
davon herriihren, dass er nicht den Diorismus genau an- 
giebt, der bei der griechischen Behandlung die Haupt- 
ausbeute aus der Losung durch Kegelschnitte ist. Anderen 
arabischen Schriftstellern, namentlich Alkuhi, gelingt 
dies besser im Anschluss an das durch Eutokius iiber- 
lieferte Manuskript. 

Dadurch dass die Gleichungen dritten Grades be- 
stimmter hervorgezogen wurden als es in der jetzt und 
damals iiberlieferten griechischen Geometric der Fall war, 
wurden sie auch ein mehr bestimmtes Durchgangsglied 
fiir die Losung von anderen Aufgaben, sowohl von solchen, 
die von den Griechen her vorlagen, als auch von neuen. 
Unter den ersteren fand namentlich die Dreiteilung des 
Winkels eine grosse Menge von Auflosungen. So haben 
wir diejenige, die man wegen ihres Zusammenhanges mit 
den archimedischen Hiilfsatzen vielleicht dem Archi 
medes zuschreiben darf (S. 79), von den Arabern erhalten. 
Alkuhi fand auch die Losung der Aufgabe, einen Kugel- 
abschnitt aus seinem Volumen und seiner krummen Ober- 
flache zu bestimmen, und schloss daran eine Begriindung 
des zu dieser Aufgabe gehorigen Diorismus, den Archi 
medes am Schlusse des 2ten Buches iiber die Kugel und 
den Cylinder mitteilt (vergl. S. 185 und 2 20). 

Da es den Arabern nicht gelang, eine allgemeine 
Losung der Gleichungen dritten Grades durch VVurzel- 
grossen zu finden, so mussten sie, wenn praktische Be- 
rechnungsaufgaben auf Gleichungen dritten Grades fiihrten, 
sich an eben diese halten was im iibrigen ja auch 


310 Das Mittelalter: 

jetzt noch leichtere Mittel fiir die Berechnung liefert als 
die Anwendung der allgemeinen Losung . Ein sehr 
hiibsches Beispiel fiir eine numerische Berechnung einer 
\Yurzel einer kubischen Gleichung ist uns erhalten ge- 
blieben. Sie rtihrt wahrscheinlich von dem Arzte Alkasrhi 
aus dem 15ten Jahrhundert her, und geht darauf aus 
sin 1 zu finden, der, da sin 3 bekannt ist, von einer 
Gleichung von der Form 


abhangt. Da x klein ist, so kann man es mit einer ge- 
wissen Annaherung gleich setzen. Fiir diese Grosse 

wird ein solcher Naherungswert a berechnet, dass der 
Divisionsrest R klein von derselben Ordnung wie a 3 wird; 
dann wird x = a -f- y gesetzt oder 


(a -f 

woraus /y = 


Da der Rest R, der von derselben Ordnung ist wie 
a 3 , im Vergleich zu a z y gross ist, so kann man in einer 
angenaherten Berechnung die Glieder im Zahler, die y 
enthalten, fortlassen, und man erhalt dann mit einer 
neuen Annaherung 

__a*_R S 

y- p- -p 

Dann wird in die genaue Gleichung y = b -f- z ein- 
gesetzt, worauf wieder z auf ahnliche Weise mit Annahe 
rung bestimmt wird. - - Die Briiche werden als Sexagesi- 
malbriiche dargestellt. 


2. Die Arithmetik und Algebra der Araber. 31 1 

Das Ziel der hier angefiihrten Berechnung gehort 
unter die Trigonometrie, mit der wir uns bald beschai tigen 
werden; aber bevor wir die Arithmetik, Algebra und 
Zahlentheorie der Araber verlassen, bei denen wir bis 
dahin namentlich die verschiedenen allgemeinen Auffas- 
sungen beriicksichtigt haben, wollen wir einige Proben 
von den Resultaten mitteilen, die innerhalb dieser Gebiete, 
namentlich in der Zahlentheorie gewonnen sind. Im 9ten 
Jahrhundert hat Thabit ibn Kurra, im Anschluss an 
Euklids Bestimmung von vollkommenenZahlen (S. 158), 
Regeln gegeben 1 iir die Bestimmung solcher Zahlen, die 
die Pythagoreer befreundete Zahlen nannten, d. h. 
solche, von denen die eine gleich der Summe der Fak- 
toren der anderen ist. Die Regel lautet f olgendermassen : 
Sind p = 3.2"-- 1, g = 3 . 2"- 1 1, r = 9 . 2 2n ~ l 1 
lauter Primzahlen, so sind 2 n .p . q und 2 n . r befreundete 
Zahlen. 

Vom IQten Jahrhundert an haben die Araber sich 
mit den sogenannten Zauberquadraten beschaftigt; bei 
diesen werden die dazu sich eignenden Zahlen so in Qua- 
draten zusammengestellt, dass die Summen der Zeilen, 
Kolumnen und Diagonalen gleich gross sind. Das alteste 
Beispiel fiir ein solches Zauberquadrat findet sich in einer 
vielleicht 4 5000 Jahre alten chine sischen Tafel; 
es ist 

834 
1 5 9 
6 7 2. 

Die Araber bildeten auch Zauberquadrate aus den 
Zahlen bis 16, 25 und 36, und gaben an, dass ahnliche 
sich aus den Zahlen bis 49, 64 und 81 bilden liessen. 
Ubrigens haben indische und byzantinische Mathematiker 
sich auch mit demselben Gegenstand beschaftigt. 


312 Das Mittelalter: 

Von grosserem mathematischen Interesse ist ein zahlen- 
theoretischer Satz, den Alchodschandi ungefahr um das 
Jahr 1000 fand, dass namlich die Gleichung x 3 -\- y 3 = z 3 
sich nicht rational losen lasst. 

Bei Alkarchi trifft man die von den Griechen her 
bekannten Summationen von I 2 -[- 2 2 -J- 3 2 -f- . . . und 
13_|_2 3 + 3 3 -f-... Mit dem Beweise fiir die erste kann 
er jedoch nicht fertig werden; er kennt also nicht den 
Beweis von Archimedes. Fiir die zweite giebt er da- 
gegen den Beweis, den wir anfiihrten, als wir von der 
Bekanntschaft der Griechen mit diesem Satze sprachen 
(S. 245). Dagegen bedeutet es einen wirklichen Fort- 
schritt, wenn der bereits genannte Alkaschi die Reihe 
l 4 -f-2 4 -|-3 4 -j-...-f-^ 4 summiert; als Summe giebt er an 


3, Die Trigonometrie der Araber. 

Ein Gebiet, auf dem man den Arabern bei ihrem 
Vertrautsein mit griechischer Geometric und indischer 
Rechenkunst umfassendere Fortschritte zu verdanken hat, 
ist die berechnende Geometric oder die Trigonometrie, 
wie wir sie jetzt um so mehr nennen konnen, als die 
Araber wie die Inder Sinustafeln statt der Sehnentafeln 
des Ptolemaus benutzten. Da der Name sinus auch 
insofern indischen Ursprung hat, als er die richtige latei- 
nische Ubersetzung eines arabischen Wortes ist, das durch 
Entstellung des indischen Wortes fiir sinus entstanden 
war, so konnen die Inder allerdings Veranlassung zu 
dieser Anderung gegeben haben, aber die Araber haben 


3. Trigonometrie der Araber. 

ihre Trigonometrie der Hauptsache nach nicht von ihnen 
gelernt. Die Anderung ist namlich ausdriicklich von dem 
Astronomen Albattani eingefiihrt als eine Erleichterung 
der vom Almagest her bekannten Berechnungsmethoden. 
Bei der Berechnung der Tafel karn es nun namentlich 
darauf an sin 1 oder sm-J zu finden, die sich ja nicht 
durch quadratische Gleichungen bestimmen lassen. Wir 
haben soeben eine von einem spateren Schriftsteller be- 
nutzte numerische Losung der dazu dienenden kubischen 
Gleichung kennen gelernt. Friiher benutzte man sowohl 
hier wie spater bei der Berechnung von sin 10 eine 
Interpolation zwischen solchen sinus, die sich durch 
Quadratwurzeln ausdruckeri liessen, und die im wesent- 
lichen von derselben Art war wie diejenige, wodurch 
Ptolemaus die Sehne von 1 fand. Eine solche wendet 
z. B. der grosse Astronom und Mathematiker Abul Wafa 
in der zweiten Halfte des lOten Jahrhunderte an. Die 
Araber blieben indessen nicht bei Sinustafeln stehen, 
sondern Abul Wafa berechnete zugleich Tangenten- 
tafeln. Was die Genauigkeit der Tafeln betrifft, so 
gelangte man zu Sinustafeln von 10 zu 10 Minuten mit 

der Fehlergrenze . Abul Waf as Tangententafeln haben 

sogar die Fehlergrenze . 

Was nun die Anwendung der Tafeln betrifTt, so 
finden wir bereits bei Albattani die Formel 
cos a = cos b cos c -f- sin b sin c cos A. 

Im ubrigen hielt man sich der Hauptsache nach 
an Ptolemaus Formeln (vergl. S. 234), die fur die Be- 
nutzung von Sinustafeln umgeformt worden waren. Ge- 
wohnlich geschieht dies ohne Aufstellung eines Beweises. 
Beweise, die zugleich von Ptolemaus Anwendungen 
des sogenannten Theoremes von Menelaus abweichen 


314 Das Mittelalter: 

finden wir bei Dschabir ibn Aflah, bekannter unter 
dem Nanien Geber, der im 11 ten Jahrhundert in 
Sevilla in Spanien lebte. Ihm gebuhrt zu gleicher 
Zeit die Ehre, die zu dem rechtwinkeligen spharischen 
Dreieck gehorenden Formeln durch eine Relation zwischen 
zwei Winkeln und einer Seite erganzt zu haben. Diese 
wird durch dieselbe Figur gefunden, die Ptolemaus 
benutzte, in der DEF ein grosster Kreis ist, der zum 
Pol den Scheitelpunkt des Winkels A in dem bei B 
rechtwinkeligen Dreieck ABC hat. "Das gleichfalls recht- 

winkelige Dreieck DEC hat 
namlich den Winkel C mit 
ABC gemeinsam, und DE = 
90 A, CD i 90 a woraus 
folgt , dass cos A = cos a sin C. 
Dieser Satz heisst derGebersche. 
Geber ist der einzige West- 
_, araber, von dem zu sprechen 

wir Veranlassung haben. Von 
der westarabischen Mathematik, 

die sich am unmittelbarsten zu den europaischen Volker- 
sahaften verbreitete, wollen wir im iibrigen nur bemerken, 
dass die arithmetisch-algebraische Behandlung sich bei 
ihr mehr als bei den ostarabischen Schriftstellern von den 
von den Griechen herriihrenden geometrischen Formen 
befreite. Hiermit waren einige Erweiterungen in der Be- 
nutzung mathematischer Zeichen verbunden, beispielsweise 
die Einfiihrung eines Zeichens fiir die QuadratwurzeL 
Die Ehrfurcht vor den griechischen Schriftstellern dauerte 
jedoch bei den Westarabern fort, so dass man durch 
diese in Europa die griechischen Schriftsteller kennen 
lernte, wenn auch bedeutend langsamer, als es geschehen 
ware, wenn man die Ostaraber zu Lehrern gehabt hatte. 
Dafiir kam Rechnen, Arithmetik und Algebra in leichter 


4 Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 315 

zuganglichen Formen nach Europa. Die hochste Vor- 
stellung von der Matkematik der Westaraber erhalt man 
durch ihren ersten grossen europaischen Schiiler Leo 
nardo von Pisa: denn em wie grosses mathematisches 
Genie er auch selbst sein mochte, der Umfang seiner 
Kenntnisse zeugt dennoch auch sowohl von der Tuchtig- 
keit seiner Lehrer, als auch von ihrem umfassenden 
Wissen und ihrer genauen Bekanntschaft mit der alteren 
arabischen und dadurch auch mit der griechischen 
Mathematik. 


4. Erstes Wiedererwachen der Mathematik 
in Europa, 

Es kann nicht unsere Absicht sein uns hier mit 
Einzelheiten in der bescheidenen Entwickelung zu be- 
schaftigen, die das von den Romern empfangene Rechnen 
auf dem Abacus in den Klostern erfuhr, oder mit den 
Wegen, auf welchen andere Mittel des Rechnens und 
eine bessere Mathematik als die von den Romern iiber- 
lieferte von den Arabern her in Europa eindrang. Wenn 
wir jedoch nun den grossten europaischen Mathematiker 
des Mittelalters, Leonardo von Pisa, etwa 1200, be- 
sprechen wollen, so miissen wir, um ihm den rechten 
Hintergrund zu geben, beriihren, wie weit man zu seiner 
Zeit sonst in Europa gekommen war. Damals lagen 
Ubersetzungen aus dem Arabischen vor von Rechenbiicherii 
(Algorithmen), von einer Algebra mit Gleichungen vom 
ersten und zweiten Grade, ja von Euklids Elementen 
und Ptolemaus Almagest; aber die einzelnen hand- 
schriftlichen Exemplare waren rein ausserlich nur ausserst 
wenigen zuganglich, und das wirkliche Eindringen in 
den Inhalt und das Vermogen ihn zu benutzen war bei 


316 Das Mittelalter: 

diesen gewiss auch sehr begrenzt. Das algorithmische, 
d. h. indische Rechnen war bereits damals im Begriff 
etwas Verbreitung in gelehrten Kreisen an mehreren 
Orten zu gewinnen, wahrend andere das Rechnen auf 
dem Abacus benutzten, zu dessen Forderung einige Jahr- 
hunderte fruher Gerbert, der spatere Papst Sylvester II 
beigetragen hatte, und bei dem man nun wohl meistens 
die Zahlzeichen auf die eingeteilten Kolumnen schrieb 
(S. 293). Der Unterschied zwischen den beiden Rechen- 
methoden bestand also darin, dass die algorithmische 
durch Benutzung des Zeichens dieEinteilung in Kolumnen 
entbehren konnte. An die verschiedenen Rechenrnethoden 
kniipften sich iibrigens verschiedene Traditionen, darunter 
die fur die Algorithmiker etwas herabsetzende, dass 
sie dauernd dem Muhammed ibn Musa darin folgten, 
Verdoppelung und Halbierung als besondei*e Rechnungs- 
arten auszuscheiden. Dagegen batten sie den Vorzug, 
dass sie nicht nur wie die Abac is ten Quadratwurzelh, 
sondern auch Kubikwurzeln kannten. Die Algorithmiker 
benutzten Sexagesimalbriiche, wahrend die Abacisten zum 
Teil fortf uhren die vom Miintzsystem der Romer stammende 
Zwolfteilung zu gebrauchen. 

Leonardo Fibonacci, das heisst Sohn des Bo- 
naccio, wie man ihn oft nach dem Beinamen seines 
Vaters nennt, stammt aus der wichtigen Handelsstadt 
Pisa, wo er friihzeitig das Rechnen auf dem Abacus 
lernte. Auf Geschafts- (oder vielleicht Dienst-) reisen 
besuchte er dann Agypten, Syrien, Griechenland, Sicilien 
und die Provence, wobei er sich weiter in Rechenkunst 
und Mathematik ausbildete. Was er auf diese Weise 
lernte, das suchte er dem lateinischen Volksstamme 
durch sein umfangsreiche Werk Liber abaci zuganglich 
zu machen, in dem er mit iibeiiegener Tiichtigkeit zahl- 
reiche Beispiele so zu sagen fur alles Rechnen giebt und 


4 Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 317 

behandelt, auf das wir bis dahin getroffen sind: Rechnen 
mit ganzen Zahlen, die nach dem Positionssystem geschrie- 
ben sind, und mit Briichen; alle Arten kaufmannisches 
Rechnen; Losung von Aufgaben, die auf eine Gleichung 
gebracht, von Gleichungen ersten Grades abhangen wiirden, 
mit Hiilfe der beiden Regeln des falschen Ansatzes und 
der indischen Umkehrungsmethode; Differenzreihen erster 
und zweiter Ordnung ; Aufgaben, die von Quotientenreihen 
abhangen, oder die, wie diejenige liber die Vermehrung 
der Kaninchen, als Aufgaben iiber Zinseszinsrechnung 
gelost werden; zum Teil solche, die von unbestimmten 
Gleichungen ersten Grades abhangen -- ohne dass Leo 
nardo jedoch wie die Inder bestirnmte Regeln fur ihre 
Auflosung giebt ; Ausziehen der Quadrat- und Kubik 
wurzel; endlich Aufgaben, die von bestimmten und un 
bestimmten Gleichungen zweiten Grades abhangen. 

Der Name Liber abaci scheint nicht ganz dazu zu 
stimmen, dass Leonardo durchweg das Zahlzeichen 
gebraucht. Indessen weiss man, dass er selbst von vorn 
herein in der Benutzung des Abacus unterrichtet worden 
ist. Die indische Rechenkunst hat er dagegen direkt von 
den Arabern gelernt, und er ist ihr vielleicht kaum ein- 
mal in Europa begegnet, wo sie wohl nur in einzelnen 
geistlichen Kreisen bekannt gewesen ist. Dass er nicht 
ursprunglich Algorithmiker ist, ergiebt sich daraus, dass 
er, wie er sagt, selbst das Ausziehen der Kubikwurzel 
gef linden hat. Dies findet sich noch nicht bei Alkarchi, 
der von den bekannten arabischen Schriftstellern derjenige 
ist, von dem er am starksten beeinflusst zu sein scheint. 
Von ihm hat er eine grosse Menge Aufgaben entlehnt, 
die er jedoch mit Selbststandigkeit behandet. Es stimmt 
auch zu Alkarchis angenaherter Berechnung einer 
Quadratwurzel (S. 307), wenn Leonardo eine weitere 
Annaherung an eine Kubikwurzel, von der die Anzahl 


318 Das Mittelalter: 

cler Ganzen bereits gefunden 1st, durch die Regel der 
zwei falschen Ansatze bestimmt. 1st |/a 4- r die gesuchtc 
Kubikwurzel imd sind a die darin enthaltenen Ganzen, 

-** 

so wird der Naherungswert a -f- ; . 


Leonardos Darstellung ist im Liber abaci durchweg 
von wirklichen Beweisen in geometrischer Form begleitet. 
Dasselbe ist der Fall mit seiner Practica geometrica, die 
unter anderem auch Anziige aus den damals aussiTst 
wenig bekannten stereometrischen Biichern Euklids ent- 
halt. Seine Beweise sind oft verschieden von denjenigen 
Euklids. Dadurch dass er iiberhaupt Beweise giebt, 
weiclit er nicht nur von den geometrischen Arbeiten ab, 
die damals in Europa entstanden, sondern auch von vielen 
arabischen Schriftstellern. 

In den hier genannten Schriften rnacht Leonardo in 
klarer Form, die selbststandige Aneignung und freie Be- 
handlung verrat, die wichtigsten vorher bekannten arith- 
rnetischen, algebraischen und elemental geometrischen 
Satze zuganglicher als sie durch Ubersetzung werden 
wiirden, und erlautert namenlich die ersten durch zahl- 
reiche Beispiele. Sein eigenes Vermogen bedeutende 
Schwierigkeiten zu iiberwinden tritt dagegen am besten 
hervor in seinen Losungen von einigen Aufgaben, die 
ihm in Gegenwart Kaiser Friedrichs II vom Philosophen 
des Kaisers, Magister Johannes von Palermo, gestellt 
wurden. Die eine von diesen lief darauf hinaus eine 
Quadratzahl zu finden, die, um die Zahl 5 vermehrt oder 
vermindert, neue Quadratzahlen giebt, oder die Gleichungen 


7 y _ 

y -x 


-- v 

a 


rational zu losen, wenn a 5. Die Gleichungen (1) waren 
fruher von arabischen Mathematikern behandelt worden, 


4. Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 319 

und diese batten gefunden, dass sowohl a? 2 -f- a wie 
x 2 a Quadratzahlen sind, wenn 

x = m^-^n 2 , a = 4mra(m 2 n 2 ). 

Diese Resultate ergeben sich iibrigens leicbt ausDiophants 
gewohnlicher Behandlung von doppelten Gleichungen 
(S. 251 ; siehe auch die erste Aufgabe S. 254) in Verbin- 
clung mit Euklids Bestimmung von rationalen rechtwinke- 
ligen Dreiecken. Leonardo gelangt auf einem etwas ver- 
schiedenen Wege zu deriiselben Resultat, indem er den 
Satz benutzt, dass die Quadratzahlen Summen der ersten 
ungeraden Zablen sind. 

Dernnachst kommt es darauf an m und n so zu 
bestimmen, dass 

41 o o \ 

mn[m* n*) 

einen gegebenen Wert erhalt, im vorliegenden Falle 5. 
Leonardo beweist zuerst, dass Zahlen von dieser Form, 
wenn m und n ganze Zahlen bedeuten, durch 24 teilbar 
sind. Um womoglich Gleichungen zu erhalten, die sich 
in ganzen Zahlen losen lassen, muss man also die gegebenen 
Gleichungen mit einem solchen Quadrat multiplicieren, 
dass das neue a durch 24 teilbar wird. Leonardo 
multipliciert mit 12 2 und findet, dass 

5.12 2 =4.5.4(5 + 4)(5 4), 

won ach 41 2 + 5.12 2 Quadratzahlen werden. Die gesuchten 
Quadrate findet man dann durch Division mit 12 2 ; es 
. 41V . /49V 

smd und 


/31V 

(w 


In seiner sehr allgemein angelegten Untersuchung 
findet Leonardo Gelegenheit eine allgemeine Bestimmung 
von der Summe der ersten ungeraden Quadratzahlen bis 
zu einer gewissen Grenze hinauf zu geben. Leonardos 
Losung bringt also mehr als wonach er gefragt ist. 


320 Das Mittelalter: 

Erne andere der gestellten Aufgaben verlangt x aus 
der Gleichung 

a? 3 + 2 a? 2 + 10^ = 20 

zu bestimmen. Leonardo findet zuerst, dass x zwischen 
1 und 2 liegt, also keine gauze Zahl sein kann. Darauf 
weist er nach, dass x kein rationaler Bruch sein kann, 
und auch keine von den irrationalen Grossen, die Eu- 
klid in seinein lOten Buche aufstellt. Den Inhalt dieses 
scbwierigen Buches, das er studierte um darin eben 
moglicherweise Fprmen fiir exakte Ausdriicke fiir die 
Wurzeln der vorgelegten Gleichung zu finden, hat Leo 
nardo vollkommen richtig verstanden, wenn er auch, wie 
er sagt, Zahlen an die Stelle der in geometrischer Form 
dargestellten allgemeinen Grossen setzt. 

Da die Wurzel nun keine Grosse von bekannter 
Form ist, so muss Leonardo sich damit begniigen einen 
Naherungswert zu suchen. Diesen driickt er in Sexagesi- 
malbruchen aus und findet 

x = 1 22 1" 42 " 33 7 ^ 4 V 40 VI , 

em Resultat, das nur etwa um 1^ VI zu gros ist. Leo 
nardo sagt nicht wie er es gefunden hat. Gewiss ist er 
auch keiner bestimmten vorgeschriebenen Methode gefolgt, 
sondern er hat wie es ein geiibter Rechner heutzutage 
auch thun wiirde nach und nach die Korrektionen zu 
den bereits gefundenen Werten gepriift, die bei Beriick- 
sichtigung aller vorliegenden Urnstande fiir die zweck- 
massigsten angesehen werden mussten. Um solche Ver- 
suchswerte zu finden, hat er die Regel der zwei falschen 
Ansatze besessen, die er, wie aus seinen Berechnungen 
von Kubikwurzeln hervorgeht, als Interpolation zu benutzen 
verstand. Als guter Rechner hat er iibrigens auch ver 
standen den Nennern in den durch diese Methode be- 


4. Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 321 

stimmten Korrektionen solche Abmndungen zu geben, 
dass seine Methode mehr derjenigen von Viet a geglichen 
hat, oder wie man sie gewohnlich nennt, der Newtonschen 
Methode zur angenaherten Berechnung der Wurzeln einer 
algebraischen Gleichung. Diese Methode 1st im iibrigen 
nur eine Erweiterung derjenigen, die von Leonardo be- 
nutzt wurde und die noch benutzt wird fur die successive 
Bestimmung der Ziffern in einer Quadrat- oder Kubik- 
wurzel, und die von den Astronomen seit Ptolemaus 
benutzt word en war fiir die Bestimmung der successiven 
Sexagesimalbruche einer Quadra twurzel. Es ist vor kurzern 
nachgewiesen, dass die vorgelegte Gleichung so gewahlt 
ist, dass man, wenn man wahrend der Rechnung Sexa 
gesimalbruche benutzt und die successiven Korrektionen 
mit einigem Geschick wahlt, verhaltnismassig sehr rasch 
den angegebenen Wert mit seiner kleinen Abweichung 
vom wahren Werte erreicht. 

Nach dieser letzten Bemerkung muss Leonardo die 
Ehre fiir die grosse Annaherung vielleicht mit demjenigen 
teilen, der die Aufgabe gestellt hat. Moglich ist es, dass 
dies auch Leonardo ist, der in Veranlassung der 
feierlichen Vorstellung vor dem Kaiser den Magister 
Johannes inspiriert haben kann; aber dieser, der selbst 
von Sicilien war und den fiir arabische Wissenschaft 
interessierten Kaiser begleitete, kann auch die Aufgabe 
von arabischen Mathematikern erhalten haben. Da auch 
Leonardo ein Schiiler der Araber war, so erkennt man, 
dass diese nun die mathematische Wissenschaft so weit 
gebracht batten, dass das Ausrechnen eines so feinen 
Naherungswertes die Krafte eines hervorragenden Rechners 
nicht iiberstieg. Das Beispiel fiir eine ahnliche Annahe 
rung, das man bei einem arabischen Schriftsteller gefunden 
hat (S. 310), ist einige Jahrhunderte jiinger. 

21 


322 Das Mittelalter: 

Dass Leonardo von Pisa in klarer Weise das Wich- 
tigste und Zuganglichste der damals bei den Arabern vor- 
liegenden Mathematik dargestellt hatte, bedeutete indessen 
nicht zugleich auch, dass die Mathematik nun in den 
Besitz derjenigen gebracht war, die sich danach in Europu 
mit dieser Wissenschaft beschaftigten. Die Buchdrucker- 
kunst existierte nicht, und zwischen den Bearbeitern des 
Faches gab es keinen so lebhaften Verkehr wie ehemals 
zwischen den weit zerstreuten Griechen. Der damalige 
gelehrte Stand, die Geistlichkeit, namentlich gewisse 
Monchsorden, und dann die aus diesen Kreisen allmahlich 
entstehenden Universitaten dehnten allerdings ihre Ver- 
bindungen iiber die Lander hin aus, aber dieser Stand 
scheint lange Zeit hindurch nicht von dem beeinflusst 
worden zu sein, was in italienischen Kaufmannskreisen 
entstanden war, deren Verbindung mit dem ketzerischen 
Kaiser Friedrich iiberdies kaum eine Empfehlune sein 
konnte. 

Wenn wir hier von gelehrten Kreisen und Universi 
taten gesprochen haben, so darf man dabei nicht an 
solche Bildungsanstalten denken, in denen z. B. immer 
in etwas Mathematik unterrichtet wurde. Allerdings gab 
es bei den Universitaten eine Facultas artium*, an der 
die erforderliche Vorbildung fiir andere Studien mitgeteilt 
wurde, aber diese beschrankte sich in der Regel auf das 
Trivium (woher das Wort triviell), das Grammatik, 
Rhetorik und Dialektik umfasste, und vernachlassigte das 
Quadrwium, das Arithmetik, Musik, Geometric und 
Astronomic enthielt. Selbst wo man dieses mitnahm, 
beschrankte sich die Arithmetik auf ein wenig Rechnen. 
die Geometric auf eine gewisse ausserst diirftige Durch- 
nahme einiger Biicher von Euklid, iiber den man noch 
lange so wenig genau unterrichtet war, dass einige glaubten, 
seine Elemente waren urspriinglich arabisch geschrieben, 


4 Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 323 

wahrend andere meinten, dass er nur die Satze, und der 
griechische Herausgeber The on die Beweise geliefert habe. 

Indessen gingen aus diesen Kreisen dann und wann 
Manner hervor, die sich mit Mathematik beschaftigten. 
Dann aber holten sie sich, wie schon gesagt, ihre Gelehr- 
samkeifc nicht bei Leonardo von Pisa, sondern in einer 
Arithmetik und Algebra (De numeris datis) seines Zeit- 
genossen J or d anus Nemorarius, eines hochst ange- 
sehenen Mitgliedes des Dominikanerordens, dessen Ordens- 
general mit dem Hauptsitz in Paris er wurde. Seine 
Arbeit hatte und verbreitete solche Vorziige und Mangel, 
wie wir sie den Algorithmikern beigelegt haben. Zu 
diesen fiigte er selbst den wesentlichen Vorzug hinzu, 
uberall willkiirliche Zahlen durch Buchstaben dar- 
zustellen, jedoch so, dass sie in den Wortverbindungen 
des Textes genannt und nicht zu einer Buchstabenrech- 
nung zusammengestellt werden. Er hat ferner eine geo- 
metrische Arbeit iiber Dreiecke geschrieben, in der er 
auf der Grundlage von Euklids Elementen verschiedene 
selbstandige geometrische Untersuchungen vornimmt. 

Wenn nun auch namentlich die hier erwahnte 
Arithmetik und Algebra bedeutend hinter Leonardos 
Liber abaci zuriicksteht, so beweist sie andererseits doch, 
dass man sich auch in den gelehrten Kreisen mit der 
Aneignung und einer selbstandigen Bearbeitung der 
Mathematik beschaftigte. Diese Beschaftigung wurde an 
vielen Orten fortgesetzt. Mit ihr verbanden sich fortge- 
setzte Ubersetzungen aus dem Arabischen, spater auch 
aus dem Griechischen. Lenardos Schriften waren wohl 
auch von einigem Einfluss, teils in Norditalien selbst, wo 
300 Jahre spater eine neue schopferische Mathematik 
sich Bahn brach, teils an anderen Orten, wo sich wahrend 
des genannten Zeitraumes allmahlich auch Fortschritte 
zeigten. Wir wollen hier jedoch nicht dieser Entwicke- 

21* 


324 Das Mittelalter: 

lung genauer nachgehen, sondern nur einzelne Beispiele 
fiir wirkliche Fortschritte anfiihren. 

Da haben wir denn aus dem 14ten Jahrhundert 
zwei Arbeiten des Franzosen Nicole Oresme zu nennen. 
Die eine ist sein Tractatus de latiludinibus formarum. 
Auf die Ebene iibertragen bedeuten hier die Worte Lange 
und Breite dasselbe wie sonst auf der Kugel, also recht- 
winkelige Koordinaten. Diese Benennungen werden be- 
sonders dadurch verstandlich, dass die Koordinaten inner- 
halb eines Rechtecks abgetragen werden, das seine 
grosste Ausdehnung in der Richtung der Abscissen (der 
Lange) hat. In dieser Figur wird die verschiedene Starke 
einer veranderlichen Naturerscheinung, z. B. der Warme, 
durch die Ordinaten (Breiten) mit den entsprechenden 
Zeiten als Abscissen (Langen) dargestellt. Auf diese 
Weise erhalt man eine graphische Darstellung von den 
Variationen der Warme in der Zeit durch eine Kurve, 
und es verdient bemerkt zu werden, dass schon Oresme 
beobachtet hat, dass die Variation am schwachsten in 
der Nahe der Maxima und Minima ist. Man sieht, dass 
die Anwendung von Koordinaten bei Oresme von anderer 
Natur ist als bei den alten Griechen, auf die er jedoch 
hinzuweisen scheint, von deren exakter, geometrisch- 
algebraischer Benutzung von Koordinaten zum Studieren 
der Kegelschnitte und zur Losung von Aufgaben er aber 
kaum, weder direkt noch durch die Araber, irgend welche 
eingehende Kenntnis gehabt haben kann. 

Aus dem zweiten Buche von Oresme, das den Titel 
Algorismus proportionum, fiihrt, wollen wir namentlich 
die Einfiihrung von Potenzen mit gebrochenen Ex- 
ponenten erwahnen und die einfachsten Regeln fur das 
Rechnen mit diesen. Oresme gebraucht auch eine be- 
sondere Bezeichnung fiir Potenzen. 4 ** schreibt er etwa 


4. Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 325 

so: [I p ^j4, wo der Buchstabe p proportion, Verhaltnis, 
bedeutet. Die Wurzeln dieser Potenzen sind namh ch, da 
Euklids exakte Proportion slehre zu Grande gelegt wird, 
Verhaltnisse, und die Potenzen mit ganzen Exponenten 
werden als zusammengesetzte Verhaltnisse gebildet. Ubri- 
gens hat die Bildung einer Potenz mit gebrochenem Ex 
ponenten auf diesem Wege ein Vorbild bei den Alten, 
denn Archimedes zeigt, dass das Verhaltnis zwischen 
dem grosseren und kleineren Abschnitt, worin eine Kugel 
durch eine Ebene geteilt wird, grosser ist als das Ver 
haltnis zwischen den krummen Oberflachen anderthalb- 
mal genommen, d. h. dieses Verhaltnis in der Potenz J. 
Dadurch dass die Regeln fiir das Rechnen mit Potenzen 
von derselben Basis und mit ganzen Exponenten auf 
Potenzen mit gebrochenen Exponenten erweitert werden, 
wird Oresmes Arbeit ein Vorlaufer fiir das Rechnen mit 
Logarithmen. 

Das zuerst genannte Werk von Oresme wurde nach 
Erfindung der Buchdruckerkunst verschiedene Male her- 
ausgegeben, und ist gewiss auch vorher ziemlich verbreitet 
gewesen. Das zweite, sowie dasjenige von Chuquet, das 
wir jetzt besprechen wollen, sind dagegen erst vor kurzem 
aus historischem Interesse gedruckt worden, und scheinen 
keinen sonderlichen Einfluss ausgeiibt zu haben. So 
verrat Chuquet, der auf andere Weise, als es sein 
Landsmann Oresme 100 Jahre friiher gemacht hatte, 
das Rechnen rnit Logarithmen vorbereitet, keine Kenntnis 
von dessen Arbeit. Beide Arbeiten verdienen jedoch hier 
erwahnt zu werden, als Zeugnisse fiir das, was tiichtige 
Manner unter den vorhandenen Umstanden vermochten. 
Sie zeigen, wie weit man gekommen war. 

Die Arbeit von Chuquet, auf die wir hindeuteten, 
und die uns als Beispiel fiir eine hervorragende Arith- 


326 Das Mittelalter: 

metik und Algebra des 15ten Jahrhunderts dienen soil, 
fiihrt den Titel Triparty en la science des nombres^ . Uin 
zunachst bei demselben Gegenstand zu bleiben, den wir 
bei Oresme getroffen haben, so treten gebrochene Expo- 
nenten indirekt in einzelnen Aufgaben auf, z. B. in der 
folgenden: Ein Mann reist den ersten Tag 1 Meile, den 
zweiten 3, den dritten 9, u. s. w., wie weit 1st er in 5 
Tagen gereist? Chuquet giebt in der That die Losung, 
die man erhalt, wenn man voraussetzt, dass die Geschwin- 
digkeit kontinuierlich zunimmt nach demselben Gesetze 
wie von einem Tage zum anderen. In einer Aufgabe 
wird geradezu nach einem Exponenten, also nach einem 
Logarithmus gefragt: Ein Gefass hat einen Spalt, durch 
den tagtich ^ vom Inhalt des Gefasses entleert wird; 
nach Verlauf von wie viel Tagen wird die Halfte des In- 
haltes geleert sein? Die Losung 6^^y- T ist diejenige, 
die durch einfache Interpolation gefunden wird oder durch 
Anwendung der zwei falschen Ansatze auf die Versuchs- 
werte 6 und 7. Chuquet selbst ist mit dieser Annahe- 
rung nicht zufrieden. An einer Stelle kommt er sogar 
dazu, formell eine Hauptregel fur das Rechnen mit Loga- 
rithmen zu geben, indem er eine Reihe von Potenzen der 
Zahl 2 nebst den zugehorigen Exponenten aufstellt und 
bemerkt, dass das Produkt von zwei Zahlen der ersten 
Reihe diejenige Zahl derselben Reihe ist, die der Summe 
der zu den Faktoren gehorenden Exponenten entspricht. 
Wenn Chuquet sein Verstandnis von gebrochenen 
Exponenten nur indirekt zeigt, so treten der Exponent 
und negative Exponenten in semen Bezeichnungen 
bestimmt hervor. Bereits Diophant hatte, wie wir 
gesehen haben, besondere Bezeichnungen fur jede von 
den Grossen 

x~ 6 , a?~ 5 , ... 1 ... a? 5 , a? 6 


4. Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 327 

und seine Rechenregeln zeigen, dass er nicht ohne Ver- 
standnis fur die Ubereinstimmung zwischen diesen Grossen 
war. Chuquet lasst diese Ubereinstimmung in der Be- 
zeichnung selbst hervortreten, indem er die Exponenten 
der verschiedenen Potenzen der Unbekannten durch em 
Exponentenzeichen ausdriickt, das er dem Zahlenkoeffici- 
enten, womit diese Potenz multipliciert werden soil, hin- 
zufiigt. Dieser Exponent kann positiv, Null oder negativ 
sein ; das letzte wird durch Hinzufiigung von m bezeichnet. 
So bedeutet 7 3 dasselbe, was wir jetzt 7a?~ 3 schreiben. 
Da Chuquet zugleich eine Bezeichnung fur die nte 
Wurzel hat (jedoch nur fur bestimmte Werte von n\ 
sowie die Zeichen p und m fur miser + un d &gt; so 
sieht man, dass er imstande war eine recht ubersicht- 
liche Darstellung von Gleichungen und dadurch auch von 
denjenigen von ihren Umformungen zu geben, die man 
bis dahin in Worten augesdriickt hatte. 

Wenn Chuquet, wie wir gesehen haben, sich nicht 
scheut negative Grossen in seine Exponenten einzufuhren, 
so darf man sich nicht wundern, dass er sich ruhig darin 
findet, wenn Gleichungen negative Losungen erhalten, und 
dass er versteht sie zu erklaren. Dass eine von seinen 
Aufgaben in Wirklichkeit imaginare Losungen erhalt, 
scheint dagegen nur auf einem Irrtum zu beruhen. 

Indem wir Chuquet s gute Behandlung solcher 
Gegenstande, die wir auch von friiheren Mathematikern 
haben bewaltigen sehen, iibergehen, wollen wir hier nur 
noch anfiihren, dass er, und zwar mit dem Anspruch sie 
selbst gefunden zu haben, die bekannte Regel benutzt 

fiir die Bildung von einfachen Mittelgrossen ( "T 

XC l ~| 

zwischen zwei bekannten Grossen - - und -^. Diese ge- 


328 Das Mittelalter: 

branch! er fur die Bildung neuer Versuchswerte fiir die 

genauere Losung einer Gleichung, die eine zwischen - 

"i 

und T^ ligende Wurzel hat. 

b 2 

Solche Fortschritte wie die hier erwahnten treffen 
wir nicht in einem Buche, das von Chuquets Zeit- 
genossen Luca Paciuolo herriihrt, 1494 in Venedig 
gedruckt wurde und den Titel Summa de Arithmetics 
Geometria Proportioni et Proportionalita fuhrt. Dieses 
Buch bringt im wesentlichen nur das, was friiher schon 
zustande gebracht war, und vieles ist nicht so klar und 
genau dargestellt wie friiher beispielsweise von Leonardo 
von Pisa; aber das Gebrachte ist nach grossem Maass- 
stabe angelegt und auf zahlreiche theoretische und prak- 
tische Beispiele angewandt. Die Hauptsache aber ist, 
dass dieses gedruckte Buch verbreitet wurde und in 
den Handen der verschiedenen Manner war, die in der 
nachsten Zeit namentlich die Algebra weiterfiihren sollten. 
Diese erhielten so einen gemeinsamen Ausgangspunkt 
und dadurch ein gutes Mittel sich gegenseitig zu verstehen 
und zusammenzuarbeiten. 

Wahrend wir hier auf dem Gebiete der Arithmetik 
und Algebra im wesentlichen nur Vorbereitungen auf die 
grossen Fortschritte sehen, die die nachstfolgende Zeit 
bringen sollte, so treffen wir noch in der hier besprochenen 
Zeit einen Mann, der auf einem anderen Gebiete selbst 
nrit thatig ist, um solche Fortschritte hervorzubringen, 
die im Gegensatz zu denjenigen von Chuquet bleibende 
Bedeutung erhielten. Das ist der Deutsche Johannes 
Miiller, gewohnlich Regiomontanus genannt. Er ist 
1436 geboren und war ein Schiiler von Peurbach, 
Professor in Wien, der sich grosse Verdienste um die 
Einfiihrung der Trigonometric des Ptolemaus und der 


4. Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 329 

Araber in Europa erworben hat. Regiomontanus fiihrte 
ein sehr bewegtes Leben, hielt sich bald in Italien, bald 
in Deutschland und Ungarn auf, und bereits in einem 
Alter von 40 Jahren machte der Tod seiner nach grossem 
Maassstabe angelegten mathematischen und astronomischen 
Thatigkeit ein Ende. Sein Umherschweifen wirkte jedoch 
nicht bios storend, sondern brachte ihn mit vielen Astro- 
nomen und Mathematikern in Beriihrung, und in Italien 
hatte er Gelegenheit Griechisch zu lernen, namentlich in 
der Absicht Peurbachs Ausgabe von Ptolemaus Al 
magest fortzusetzen. Dabei machte er aus erster Hand 
Bekanntschaft mit anderen griechischen Mathematikern, 
die er sehr hoch stellte. Einer von denen, die er kennen 
gelernt hatte, war Diophant, und er legte sein zahlen- 
theoretisches Interesse, das iibrigens gewiss schon vorher 
durch den Verkehr mit italienischen Mathematikern ge- 
nahrt worden war, dadurch an den Tag, dass er eine 
Reihe sehr schwieriger hierher gehoriger Aufgaben stellte. 

Die grosste Bedeutung haben jedoch seine trigono- 
metrischen Arbeiten erhalten. Unter diesen wollen 
wir im Anschluss an das, was wir bei arabischen Astro- 
nomen getroffen haben und was sein Lehrer Peurbach 
fortgesetzt hatte, zuerst seine trigonometrischen Tabellen 
erwahnen. Er ist der erste, der in diesen die Benutzung 
des Decimalsystemes durchgefuhrt hat. Seine zuletzt aus- 
gearbeiteten Sinustafeln gehen von Minute zu Minute, und 
da er den Radius gleich 10 7 setzt, so ist die Genauig- 
keitsgrenze dieselbe wie in einer 7-ziffrigen Tafel, ohne 
dass jedoch eigentliche Decimalbriiche schon in Gebrauch 
gekommen waren. 

Die Lehre von der geometrischen Anwendung solcher 
Tafeln wird bei Regiomontanus zum ersten Male selb- 
standig dargestellt und nicht nur in der Form von Hiilfs- 
satzen fiir die Benutzung in der Astronomic. Den Ge- 


330 Das Mittelalter 

danken, ein solches eigentlich trigonometrisches Werk 
auszuarbeiten, fuhrt Regiomontanus mit gewohnter 
Pietat gegen Peurbach auf diesen seinen Lehrer zuriick. 
Sein Buch fiihrt den Titel: De triangulis omnimodis 
libri quinque. Hierin werden nicht nur, wie bei den 
friiheren Schriftstellern, die rechtwinkeligen Dreiecke be- 
handelt, aus denen die iibrigen sich allerdings zusammen- 
setzen lassen, sondern sowohl in der Ebene wie auf der 
Kugel wird die Beantwortung mancher Fragen, die das 
schiefwinkelige Dreieck betreffen, durchgefiihrt. So hat 
Regiomontanus auf der Kugel gezeigt, wie die Seiten 
eines Dreiecks die Winkel bestimmen und umgekehrt. 

Die drei Jahrhunderte, die auf Leonardo von Pisa 
folgten, waren hauptsachlich dazu benutzt worden den 
Kenntnissen und Fertigkeiten, in deren Besitz er sich 
bereits befand, eine so allgemeine Verbreitung zu geben, 
dass sie den Ausgangspunkt fiir eine neue Entwickelung 
bilden konnten. Diese Grnndlage wurde dadurch ver- 
starkt, dass man nun direkte Kenntnis von den Schrift 
stellern des Altertums besass, denen man sie hauptsachlich 
verdankte, namlich von Euklid und zum Teil von Pto- 
lemaus, und dass man gleichzeitig begonnen hatte eine 
vorlaufige Bekanntschaft mit den Schriftstellern zu machen, 
die wahrend der folgenden Entwickelung die Fuhrung 
ubernehmen sollten: mit Archimedes, Apollo nius 
und Diophant. Eine wirklich neue Entwickelung war 
durch Regiomontanus auf dem Gebiete der Trigono 
metric begonnen worden. Von den technischen Hiili s- 
mitteln, welche die Algebra benutzen sollte, kannte man 
allgemeine Zeichen fiir -\- und , namlich p und m, 
und einige andere. Chuquets mehr entwickelte Zeichen- 
sprache zeigte, wenn sie auch nicht in allgemeinen Ge- 
brauch kam, dass man imstande war sich die Mittel der 


4. Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa. 331 

Darstellung zu verschaffen, die erne weitergehende Ent- 
wickelung verlangen musste. 

Hierdurch war erne neue Entwickelungsperiode der 
Mathematik vorbereitet, die an Fruchtbarkeit nur ver- 
glichen werden kann mit den wenigen Jahrhunderten, in 
denen die griechische Mathematik ihren hochsten Stand- 
punkt erreichte. Diese kam zum Durchbruch, als man 
durch die Losung der kubischen Gleichung erkannte, 
dass man eine Aufgabe bewaltigen konnte, die Griechen 
und Araber batten liegen lassen miissen, mid dadurch 
ein bisher unbekanntes Vertrauen zu seinen eigenen 
Kraften erhielt. Mit Hiilfe der Buchdruckerkunst 
konnten die mannichfaltigen Arbeiten, die jetzt in den 
verschiedenen Landern entstanden, auf fruchtbringende 
Weise zusammen wirken. In der Algebra folgten auf 
den genannten Durchbruch rasch andere grosse Fort- 
schritte. Gleichzeitig lernte man es, die schwierigen 
griechischen geometrischen Arbeiten zu verstehen; was 
man hieraus lernte, das setzte man in neue Verbindung 
mit der Algebra, der man selbst eine neue Form gegeben 
hatte, und die analytische Geometric entstand. 
Ausserdem ging man in der stereometrischen Behandlung 
der Kegelschnitte viel weiter als die Alten. Man studierte 
die statischen Arbeiten des Archimedes und schuf 
selbst die Dynamik. Vom Studium Diophants gelangte 
man durch ganz neue Untersuchungen zu den merkwur- 
digsten zahlentheoretischen Satzen. Das Studium von 
Archimedes infinitesimalen Untersuchungen fiihrte dazu, 
ahnliche Untersuchungen in wachsendem Umfange selbst 
vorzunehmem und die dazu dienenden Methoden so zu 
entwickeln, dass man am Schlusse des 1 7ten Jahrhunderts 
eine Infinitesimalrechnung besass. Die am Schlusse 
des Mittelalters erwahnten Anlaufe fuhrten zu einer 
wirklichen Benutzung von Logarithmen. 


332 Das Mittelalter: 

Das mag bereits hier am Ende unserer Schilderung 
von der Geschichte der Mathematik im Altertum und 
Mittelalter gesagt werden. Man wird dann verstehen, dass 
der Grund, weshalb wir solange namentlich bei der 
Mathematik des griechischen Altertums verweilt haben, 
nicht nur das grosse Interesse ist, das diese an und fur 
sich beansprucht als Glied in der Menge von Kenntnissen, 
die man nun am Schlusse des Mittelalters gewonnen 
hatte, sondern zugleich der Umstand, dass sie die Quelle 
ist, aus der man danach fortfuhr reiche Anregung zu 
schopfen zu einer Zeit, wo man gelernt hatte diesen An- 
regungen nachzugehen und so etwas wirklich Neues her- 
vorzubringen. 


Namen- und Saehregister, 


Bemerkung. Bei den haufiger vorkommende Namen und Be- 
griffen 1st immer nur auf die Seiten verwiesen, auf denen genauere 
Mitteilungen zu finden sind. Auch sind mehrmals Seiten zusammen- 
gezogen, wo solche Mitteilungen nur bin und wieder vorkommen. 


Abacisten 316. 

Abacus 293, 315317. 

Abbassiden 295. 

Abul Wafa 296, 313. 

Agrimensoren 9. 

Agypten 16, 259, 294. 

Agypter 8 14. 

Ahmes 10. 

Ahnlichkeit, 45, 113, 136, 149. 

Akademie 18, 20. 

Albattani 313. 

Alchaijami 306, 307, 309. 

Alchodschandi 312. 

Alchwarizmi 298. 

Aldschebr 299. 

Alexander der Grosse 23, 28, 261. 

Alexandria 2326, 240, 256, 261, 

288, 294, 295. 
Alfachri 303. 


Algebra der Araber 297312. 

- Inder 260, 278-287. 
geometrische 38- 54, 58, 

83, 90, 108, 109, 146-153, 

203205, 212, 300. 
Algorismus proportionum 324. 
Algorithiniker 316, 323. 
Algorithmus 297, 298, 315. 
Alkarchi 302307, 312, 317. 
Alkaschi 310, 312. 
Alkuhi 309. 
Almagest 29, 230, 231, 295, 313, 

315, 329. 

Almamun 295, 298, 299. 
Almansur 295. 
Almukabala 299. 
Alnasawi 301, 302. 
Analyse 9296, 101105. 
Analysis situs 139. 


334 


Annahmen, allgemeine 112. 
Ansatz, falscher 11, 247, 275, 277, 
317. 
zwei falsche 275, 307, 317, 

318, 320. 326. 

Antiphon 6971, 75, 227. 
Apagoge 98, 100, 103. 
Apollonius 25-28, 58, 81, 106, 

166, 191, 192, 198221, 229, 

233, 296, 330. 
Araber 293322. 
Archimedes 2527, 43, 58, 

7882, 166-199, 216219, 

227229, 243, 296, 308, 309, 

325, 330. 

Archimedische Hiilfssatze 79, 309. 
Archimedisches Princip 190. 
Archytas 1721,8487, 91, 97. 
Aristarch 28, 225-227, 229, 231. 
Aristaus 27, 198, 213. 
Aristoteles 20, 21, 29, 71. 
Arithmetik der Araber 297312. 

- Griechen 32, 36, 
58, 242-258. 

- Inder 260, 274 
287. 

geometrische 39 44, 

53, 54, 242, 243. 
Aritbmetische Dinge von Diophant 

32. 

Aryabhatta 260, 272, 275, 288. 
Aste der Hyperbel 200, 208, 211. 
Astronomen, Astronomic 9, 12, 20, 

21, 2730, 224, 225, 230234, 

260, 288, 313. 
Asymptoten 195, 199, 208, 210, 

219. 

Athen 17, 18, 21, 22. 
Aufgaben 92, 93, 94, 96. 
ebene 83, 212. 


I Aufgaben, raumliche 83, 86, 212. 
unbestimmte; s. Glei- 
chungen, unbest. 
Axengleichung 194, 195. 
Axiome 112, 115, 116, 119138. 

Babylon, Babylonier 12, 13, 37, 
I 58, 62. 

Bachet de MSziriac 255. 
Berechnung, numerische 30, 57, 

70, 222, 224, 241, 261, 310. 
Beruhrungen v. Apollonius, 27. 
Beriihrung zwischen Kreis u. Kugel 

v. Demokrit 68. 
Beweis 23, 93, 101105; s. auch 

Exhaustionsb. 
Bhaskara Acarya 260, 275, 

278, 287, 288. 
Bibliothek, alexandrinische 24, 31, 

295. 

Binomialkoefiicienten 307. 
Bolyai 139. 

Brahmagupta 260, 271, 286. 
Breite 232. 

Brennpunkte 210, 211. 
Brennspiegel 191. 
Briiche 10, 55, 157, 158, 248, 

298, 301, 317. 
Bryson 70, 227. 
Buchdruckerkunst 325, 328, 331. 
Biischel, projectivische 209. 
Byzantiner 311. 

Cauchy 130. 
Chinesen 269, 282, 311. 
Chronologie 25. 
Chuquet 325-330. 
Cissoide 236. 
cosinus 12. 


335 


Cylinder 26, 217, 309. 
Cylinderschnitt 195. 

Darstellungsform 23. 

synthetische, 92104. 
Data des Euklid 26, 48, 49, 106, 

107, 153, 154, 223, 224. 
Decimalbruche 62, 329. 
Dofinitionen bei Archimedes 176 
177. 

bei Euklid 112, 115 
118, 123, 126, 130 
133, 140144, 155. 
Demokrit 12, 17, 68. 
Desargues 216. 
Descartes 88, 238. 
Differenzreihen, s. Reihen, arith- 

metische. 

Dinostratus 21, 77, 78, 104. 
Diokles 27, 236, 237. 
Diophant, 32, 60, 241258, 279, 

296, 303, 326, 329331. 
Diorismus, 99, 102, 105, 122, 148, 

152, 186, 246, 309. 
Dodekaeder 36. 
Dreieckszahlen 35, 36, 42, 53. 
Dreiteilung des Winkels 76, 79 

82, 88-91, 215, 309. 
Dschabir ibn Aflah (Geber) 

314. 
Durchmesser der Kegelschnitte 

201, 202, 206208. 
Durchmesser, konjugirte 199, 208, 

211-213. 
Dynamik 331. 


Ebene 125, 132-137. 
Ecke, 162, 163 
Eindeutigkeit 124, 125 


Einfiihrung in die Arithmetik v. 

Nikomachus 32. 
Einheit 128, 155, 159. 
Einschiebung 27, 75, 7982, 88, 

184, 216. 

Einteilung der Ebene 35. 
| Ekthese 98, 99. 
I Eleatische Schule 65. 
! Elemente 105-108. 
j Elemente des Euklid 14, 25, 57, 

108-114, 315. 
Elemente des Euklid Istes Buch 

90, 91, 108, 113139. 
Elemente des Euklid 2tes Buch 

44-54, 108, 223. 
Elemente des Euklid 3tes Buch 

52, 108, 109, 125. 
Elemente des Euklid 4tes Buch 

108. 109. 

Elemente des Euklid 5tes Buch 

109, 139-149, 155, 156. 
Elemente des Euklid 6tes Buch 

47, 48, 109, 149 153. 
Elemente des Euklid 7. 9tes Buch 

109, 155-159, 242. 
| Elemente des Euklid lOtes Buch 

41, 109, 158 161, 164, 167, 320, 
I Elemente des Euklid lltes Buch 

109, 126, 130, 161-163. 
[ Elemente des Euklid 12tes Buch 

109, 163, 166-173, 180, 232. 
Elemente des Euklid 13tes Buch 

109, 163165. 
Elemente des Euklid, 14tes und 

15tes Buch 108, 113, 165166. 
Elimination 249. 
Ellipse 183, 191-207. 
Ellipsoide 183, 219. 
Eratosthenes 24, 27, 28, 87, 

227, 232, 243. 


336 


Eudemus 22, 3234, 39, 72, 73. 
Eudoxus 20, 21, 28, 37, 69, 70, 

78, 86-89, 108-110. 140, 141, 

166, 177, 224, 225, 236. 
Euklid 2526 und zerstreut im 

ganzen Buche. 
Eutokius 186, H09. 
Evolute 221. 
Exhaustionsbeweis 69, 78, 110. 

Ill, 141, 166-188, 228. 
Exponenten 325327. 

Facultas artium 322. 
Fehlschliisse von Euklid 26, 111. 
Fermat 174, 258. 
Fingerrechnung 265. 
Flachenanlegung 35, 37, 39, 45, 

46, 51, 52, 150, 
154, 204. 
elliptische, 45, 

47, 98, 104. 
hyperbolische 
45, 49, 52. 
krumme, 176, 
184, 237. 

Flachensatz 206, 208. 
Flachenschnitt 27, 210. 
Friedrich II, Kaiser 318, 322. 
Fiinfeck, regelmassiges 6, 36, 52, 

108, 109, 164. 
Fiinfzehneck, regelm. 108. 

Geber (Dschabir ibn Aflah) 314. 

Geodasie 25, 29. 

Geographie 25, 28. 

Geometrie, analytische, 94, 106, 

202,205,214,238,331. 

berechnende, 221 

232, 241. 


Geometrie, nicht euklidische 135, 
139. 

projektivische 26, 134, 
135. 

des Raumes 86, 237. 
spharische 232235. 
Gerade 118-126, 131-136. 
Gerbert 316. 
Gesellschaftsrechnung 275 
Gleichgewicht, Lehre davon bei 
Archimedes 26, 177, 187191, 
331. 
Gleichung, die doppelte des Dio- 

phant 251, 319 

Gleichungen 1. Grades, 10, 44. 
153, 275, HOC), 317. 

1. Grades, unbe- 
stimmte, 255, 281 
-283. 317. 

2. Grades, 3537, 
4753, 97, 107, 
148-154,205,215, 
280, 281, 296, 300. 
301, 3U4, 318. 

2. Grades, nume- 
rische , 54 64, 
222, 242, 257. 

2. Grades, reine 52. 

2. Grades, unbe- 
stimmte 41, 5, 
59, 60, 242, 243, 
249-258, 283- 
286, 303, 317 
319 

3. Grades, 82, 185, 
212, 216 219, 
307-310, 330, 
331. 

4. Grades, 216. 
diophantische 255 


337 


Gnomon 4149, 98, 99, 113, 245 

Grade 12, 28. 

Gradmessung 25, 227, 298. 

Grossen, inkommensurable und ir 
rationale 3439, 44, 53 
62, 69, 70, 110, 111, 141 
158161, 250-256,279 
305307, 320. 

kommensurable 37, 64. 
155-159. 
negative 38, 280, 327. 

Grossenbegriff 127, 128. 

Guldin 237. 

Halbierung 298. 

Harpedonapten 12, 259. 

Harun Arraschid 295. 

Hau-Rechnung 10. 

Hebel 187, 188. 

Hermotimus 106. 

Hero 30, 61, 62, 222, 223, 287, 

293, 296. 
Hiero 26. 
Hipp arch 28, 29, 230, 230, 233, 

234, 288, 296. 300. 
Hippias 17, 76. 
Hippokrates von Chios 17, 22, 

7174, 80, 84, 105. 
Hippopede 236. 

Hohenmessung durch Schatten 33. 
Hiilfsmittel, analytische 105108. 
Hiilfssatze, des Pappus 211, 238. 
Hydrostatik 190. 
Hyperbel 87, 191207, 218221. 

konjugierte 208, 211. 
Hyperbelaste 209, 211, 218. 
Hyperboloide 183, 219. 
Hypsikles 27, 108, 165. 

Jahrhundert, 6tes v. Chr. 15, 32, 34. 


Jahrhundert, 5tes, 1517, 34, 45, 
67, 70, 72, 79, 82, 
88. 

4tes, 1823. 
Ikosaeder 36. 
Infinitesimalrechnung 331. 
Infinitesimaluntersuchung 63 70, 

141, 166187, 331. 
Inhalt einer krummen Flache 176, 

184, 237. 

Integral, bestimmtes 173, 175. 
Integrationen 181, 183, 189, 221. 
Interpolation 231, 275, 307, 313, 

320, 326. 
Involution 215, 216. 
Johannes von Palermo 318, 

321. 

Jordanus Nemorarius 323. 
Irrrationalitat, s. Grossen, irrat. 
doppelte 57, 161, 
165, 279. 

Kegel 68. 

Kegelschnitte 18, 26, 27, 53, 81, 
82, 87, 178, 186, 
191121, 237, 308, 
309, 331. 
ahnliche 211. 
Kettenbriiche 60, 281, 282. 
Kleinasien 15, 22. 
Kolumnen 266, 267, 293, 316. 
Combinationen 287. 
tonchoide 82, 236. 
Congruenz 113, 128-131, 136. 
tonklusion 101, 103. 
Conoide 26, 181, 183, 184, 195. 
Constantinopel 292. 
onstruktionen 5, 6, 12, 7080, 
88-91, 96-103. 120, 121, 
162-165, 200, 217. 
22 


338 


Konstruktionsmittel 81. 

Konturen, geschlossene 133 139. 

Konvergenz 173176. 

Koordinaten, rechtwinkelige 5, 324. 
spharische 232. 

Koppernikus 28. 

Korper, platonische 20. 

die auf e. Fliissigkeit 
schwimmen, 26. 

Kreis 118125, 134. 

Kreisfunktionen 78. 

Kreismessung 26, 227. 

Kreisschnitte am Kegel 196, 233. 

Kubikwurzeln 83, 86, 275, SOS- 
SOS, 316, 317. 

Kubikzahlen 13, 43, 62, 244, 287. 

Kugel und Cylinder 26, 216, 219, 
309. 

Kugeloberflache 184, 186, 237. 

Kugelteilung 185, 216, 218, 308. 

Kurven, spirische 236. 

Kyzikos 20, 21. 


Lagrange 114, 286. 
Landmesser, agyptische 222. 

romische 9, 11, 53, 
293. 

Landmessung 29, 30, 222. 
Lange einer krummen Linie 176. 
Lange von Orten 227, 232. 
Latitudinibus, de, 324. 
Legendre 136, 137. 
Leibniz 174. 
Lehrgebaude, synthetisches 108, 

114. 

Lemniskate 236. 
Leon 105. 
Leonardo (Fibonacci) von 

Pisa 315323, 328. 


Liber abaci des Leonardo 316 

318, 322. 

Lilavati 260, 275279. 
Lineal 75, 80, 81, 97, 120, 198. 
Lobatschewsky 139. 
Logarithmen 325, 326, 331. 
Logistik, 29, 241. 

Maass, grosstes gemeinschaft- 

liches 55, 56, 156, 159, 282. 
Maxima 100, 186, 211, 217, 324. 
Mechanik 6, 29, 190. 
Mehrdeutigkeit 100, 101. 
Menachmus 21, 8790, 191 

193, 197199. 

Menelaus 29, 230, 234, 313. 
Methode, analytische 92104, 
106. 

apagogische 92. 
cyklische 285. 
Minima 100, 211, 217, 324. 
Minuszeichen 248, 327, 330. 
Mischungsrechnung 191 275. 
Mittel, arithmetisches 148. 

geometrisches (siehe rm ttl.) 

Proportionale). 

Moglichkeitsbedingungen 91, 96. 
Mondchen des Hippokrates 72 74. 
Muhammed ibn Musa Al- 

chwarizmi 298, 301, 316. 
Mii Her, Joh. (Regiomontanus) 

328. 

Multiplikation, Fouriersche 274. 
Musik 36. 
Museum 24. 

Naherungsformeln 30, 288. 
Nakerungswerte 54, 56, 229, 276, 

281, 282, 288, 307, 310, 320, 

321. 


339 


Neunerprobe 298. 
Newton 174. 321. 
Nikomachus 32. 43. 236, 244. 

293. 

Nikomedes 27, 82, 88. 
Xormale 200. 216, 220, 221. 
Null 262, 266. 271. 272. 316, 317. 

Oberflachenorter 26. 
Omar 295. 

Omar Alchaijami 306. 
Optik 26. 

Oresme, Nicole 324, 325, 326. 
Ort zu drei Geraden 213. 214. 
- vier 213 215, 

237. 

Orter, ebene 106. 212. 
geometrische 86, 94. 97, 
~ 106. 117, 198, 206, 212. 
raumliche 27. 128, 200, 212. 
Ostromer 292. 

Paciuolo, Luca 328. 

Pappus 31, 153, 166, 211, 216. 

237-239. 
Parabel 87, 191, 195. 197, 204, 

207. 218-220. 

Parabelsegment 171, 173, 189 
Paraboloide 183, 190. 
Parameter 193. 194. 
Pentagramm 35. 
Periode, astronomische, 282. 
Peripheriewinkel auf d. Halbkreis32. 
Permutationen 276. 
Perseus 27. 236. 
Perspektive 26. 
Peurbach 328. 329, 330. 
Phaenomena 26. 
Philosophic, Philosophen 17 25. 

65, 88. 


-T 12. 76, 226-229, 288, 301. 
, Planetarium 191. 
i Plato 1621, 35, 41, 57, 68, 87, 

88, 92. 97, 224 
Platoniker 88, 89. 
Pluszeichen 327, 330. 
Polare 208. 

Polyeder, halbregulare, 26, 166. 
regulare, 19, 27, 34, 36, 

110-113. 161-166. 
Polygonalzahlen 32, 43. 242, 244. 
. Polygone. regulare. 69, 108, 109, 

164, 224-227. 
, Porismen 26, 215, 234. 
| Positionssystem 262, 266, 270 - 

273. 298. 301. 317 
Postulate 112, 115126, 132-139, 

162. 176. 177. 192. 
; Potenz eines Punktes 52, 109. 
i Potenzen 146. 158. 248, 264, 305. 

306, 324. 327. 

Potenzsatze 197, 199, 208. 214. 
Practica geometrica des Leonardo 

218. 
Primzahlen 156, 158. 243. 

relative 156, 157. 
i Problem, delisches 83, 84, 191, 

197. 
Probleme 88-91, 99, 102. 103. 

104, 106, 111, 112, 120. 122 
Produkt, 40, 44, 145, 146. 
Projektion. stereographische 233. 
Proportionalen, zwei mittlere, 84, 
87, 88, 91. 97. 146, 191, 192, 
195. 

Proportionen 37. 50 52, 77, 84, 
108-110,128,139- 
156, 302, 306, 325 
arithmetische 35. 
fortlaufende 146, 158. 
22* 


340 


Proportionen, geometrische, 35. 
harmonische, 35. 
Protase, 98, 99, 101. 
Ptolemaer 24, 31. 
Ptolemaus 29, 62, 229235, 261, 

287, 288, 295, 312-315, 321, 

328330. 

Ptolemaus Lagi 23. 
Pyramidalzahl 44, 243, 244. 
Pyramide 163, 169-171, 173. 
Pythagoras 16, 34, 36, 39, 41, 64. 
Pythagoreer, 17, 18, 3239, 42, 

51, 64, 65, 242, 244, 311. 
Pythagoreischer Lehrsatz, 35, 37, 

47-53, 59, 109, 113, 153. 

Quadratur des Kreises 6978, 91, 
228. 

der Mondchen 72, 74. 
der Parabel 26178. 

Quadratrix 76 79, 91, 226, 237. 

Quadrattafeln 13, 62, 274. 

Qvadratwurzel 51, 5464, 110, 
227230, 275, 280, 305-307, 
314, 316, 317. 

Quadratzahlen 13, 40-43, 71, 182, 
249255, 286, 287, 312, 318, 
319. 

Quadrivium 322. 

Quotientenreihe, s. Reihen, geo 
metrische. 

Raumkurve 85, 86. 
Rechenbrett 58, 265, 293. 
Rechenbuch 10, 315. 
Rechenkunst, arabische, 298. 

griechische 29, 57, 

58, 294. 

indische, 259261, 


272274, 290-303, 
316, 317. 

Rechenmaschinen 265. 
Rechenpfennige 265267. 
Rechentafeln 273. 
Regel des falschen Ansatzes 11, 

247, 275, 277, 317. 
Regel der zwei falschen Ansatze 

275, 307, 317, 318, 320, 326. 
Regel der Umkehrung 276, 277, 

317. 
Regiomontanus (J. Miiller) 328, 

329, 330. 
Regula de tri 222, 275, 277, 278, 

302. 

Reihen, arithmetische 10, 36, 42 
44, 182, 276, 317. 
geometrische, 10, 67, 146, 
147, 158, 317,. 
unendliche 171-175, 181. 
Reihen von Quadratzahlen 182, 

287, 312. 
Reihen von Kubikzahlen, 244, 287, 

312. 

Reihen von Riquadraten 312. 
Resolution 99, 100, 101, 102, 107. 
Romer 31, 244, 265-269, 292, 
295, 315, 316. 

Sammlungen, mathem. d. Pappus 

31. 
Sandrechnung d. Archimedes 26, 

58, 264, 270. 
Sanskrit 259. 

Satz des Ptolemaus 230, 231. 
Schnitt, bestimmter 27, 215. 
Schnitte am Kegel 196. 
Schnittpunkte zw. zwei Kegel- 

schnitten 211. 
zw. Kreis und Ge- 


341 


rade etc. 121, 125, 
135. 

Schraubenflache 237. 
Schule, akademische 20. 

alexandrinische 15, 21. 
atomistische 67. 

eleatische 65. 

jonische 15. 
peripatetische 20, 22. 

Schwerpunkt 178, 188, 189, 237. 
Sehnentafeln 62, 229231, 287, 

288, 312. 
Sexagesimalbruche 230, 310, 316, 

320, 321. 
Sexagesimalsystem 12, 13, 28, 

58, 62, 264 
Simplicius 73. 
Sinustafeln 231, 287, 288, 312, 

313, 329. 

Sokrates 18, 19. 
Sophismen 65, 66. 
Sophisten 17, 23, 69, 70, 71. 
Spharoide 26, 181, 183, 184, 195. 
Spirale, archimedische 26, 43, 78 
80, 181184 
spharische 237. 
Stammbriiche 10. 
Stereometrie, elementare 110, 126, 

130, 161-166. 
Strecken, iiber inkommensurable 

etc. v. Demokrit 68. 
Subnormale 220. 
Substitution en 251. 
Suditalien 1522. 
Summation, siehe Reihen. 
Surya Siddhanta 260, 288. 
Symmetrie 130. 
Synthese 9295, 100, 101, 105, 

114 
Syrakus 26, 191. 


Tabellen 266, 274. 

Tangenten 184, 199, 202, 207, 209 

211, 219. 
Tangententafel 313. 
Tannery, Paul 8, 73. 
Teilung der Figuren 26. 

stetige 56, 109, 152, 164. 
Thabit ibn Kurra 311. 
Thales 15, 32, 33. 
Theatet 19, 57, 110, 158. 
Theon 323. 
Theoreme 8891, 99, 102106, 

111, 112. 

Transformation 98, 101103, 107. 
triangulis omnimodis, de 330. 
Trigonometric 29, 223232, 287, 

311-315, 328-330. 

spharische 232 -235, 

314. 

Triparly en la science etc. 326. 
Trivium 322. 

Umkehrung 276, 277, 317. 
Unendliche, das; s. Infinitesimal- 

untersuchung. 

Unendlichkeit d. Zahlenreihe 58. 
Universitaten 322. 

Verdoppelung 298. 

des Wiirfels 82-88, 
91. 
Verfall d. griech. Geometrie 235 

241. 
Verhaltnis s. Proportionen. 

zusammengesetztes 
144147, 238. 
Verhaltnisschnitt 27, 210. 
Verlegungsaxiom 131137. 
Vieta 82. 
Vijaganita 260, 278. 


342 


Volumen 110, 183186, 237. 
Vorgeschichte 1. 
Vorzeichen 218, 280. 
Voraussetzungen, geometrische, des 

Euklid 115-131. 

der Geometrie 132 

-139. 

Wasserschnecke 191. 
Wertheim 247. 
Westaraber 314, 315. 
Winkel 36, 119, 223227. 
Winkelsumme des Dreiecks 35. 

113, 136138. 
Wulst 85, 236. 

Zahl als Princip der Dinge 36, 64. 
Zahlbenennung 263274. 
Zahlbezeichnung 10, 57, 58, 262 

274. 

Zahlen, ahnliche 40, 42, 43. 
befreundete 36, 311. 

cyklische 71. 

ebene 40. 


Zahlen, ganze 3740, 60, 64, 65, 
155, 255, 284286. 

gerade 42. 

raumliche 43. 

ungerade 41, 42. 
vollkommene 36, 158, 242, 
311. 

Zahlen, iiber die, v. Demokrit 68. 
Zahlenrechnen 7, 30, 263278, 

298. 

Zahlenspekulationen 13. 
Zahlentheorie 37, 158, 242, 243, 

255, 258, 278-287, 311, 312, 

331 

Zauberquadrate 311. 
Zehnersystem 263, 264. 
Zeichensprache, algebraische 247, 

248, 257, 281, 203, 324-327, 

330. 

Zeno 65, 66, 67, 71. 
Zinsrechnung 275, 3J7. 
Zirkel und Lineal 75, 80, 81, 96, 

120, 198. 
Zwanzigersystem 263, 264. 


Inhaltsiibersicht 

Seite 

Einleitung, 

1. Vorgeschichte der Mathematik 1 

2. Agypter und Babylonier 8 

Die griechische Mathematik. 

1. Historischer Uberblick 14 

2. Die pythagoreische Mathematik 32 

3. Die geometrische Arithmetik 40 

4. Die geometrische Algebra 44 

5. Numerische quadratische Gleichungen; Ausziehen der 
Quadratwurzel 54 

6. Das Unendliche 64 

7. Die Quadratur des Kreises . 70 

8. Dreiteilung des Winkels; Einschiebungen 79 

9. Verdoppelung des Wiirfels 82 

10. Probleme und Theoreme; Bedeutung der geometrischen 
Konstruktion 88 

11. Die analytische Melhode; die analytisch-synthetische Dar- 
stellungsform 92 

12. Elemente ; analytische Hiilfsmittel 105 

13. Uberblick iiber Euklids Elemente; synthetisches Lehr- 
gebaude 108 

14. Euklids geometrische Voraussetzungen 115 

15. Anmerkung iiber die Voraussetzungen der Geometric. . . . 132 

16. Die allgemeine Lehre von den Proportionen ; Euklids 5tes 
und 6tes Buch 139 

17. Kommensurable Grossen und ihre Behandlung durch 
Zahlen; Euklids 7. 9. Buch 155 


Seite 

18. Inkommensurable Grossen; Euklids lOtes Buch 158 

19. Elemente der Stereometrie ; regulare Polyeder; Euklids 
lltes und 13tes Buch 161 

20. Der Exhaustionsbeweis ; Euklids 12tes Buch 166 

21. Infinitesimale Bestimmungen bei Archimedes 177 

22. Archimedes Lehre vom Gleichgewicht 187 

23. Die Lehre von den Kegelschnitten vor Apollonius 191 

24. Die Kegelschnitte des Apollonius 

25. Raumliche Orter und Aufgaben 

26. Die berechnende Geometric - 221 

27. Spharische Geometric 2 

28. Verfall der griechischen Geometric 235 

29. Die spatere griechische Arithmetik; Diophant 242 

Die indische Mathematik, 

1. Kurzer tfberblick 259 

2. Zahlbenennung, Zahlbezeichnung und Zahlenrechnen vor 
und bei den Indern 263 

3. Anwendungen des Zahlenrechnens 274 

4. Algebra und Zahlentheorie; Geometric 278 

Das Mittelalter. 

1. Allgemeine Einleitung 

2. Die Arithmetik und Algebra der Araber 297 

3. Die Trigonometrie der Araber . . . 

4. Erstes Wiedererwachen der Mathematik in Europa 315 


MATH.- ST AT. 
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